Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-3;-1,5)$ hàm số nghịch biến, trên $(-1,5;0)$ hàm số đồng biến, và trên $(0;3)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến. Do đó: A sai vì trên $(-2;-1,5)$ hàm nghịch biến nhưng trên $(-1,5;0)$ hàm đồng biến; B sai vì hàm không nghịch biến trên toàn $(-3;3)$; C sai vì trên $(-1,5;0)$ hàm đồng biến. Khẳng định đúng là D: hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;3)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số giảm trên khoảng từ $x=-3$ đến điểm cực tiểu (khoảng $x\approx -1,5$), sau đó đồng biến từ điểm cực tiểu đến $x=0$ (đạt cực đại $y=1$), rồi giảm từ $x=0$ đến $x=3$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$ vì khoảng này nằm trọn trong khoảng đồng biến (từ điểm cực tiểu đến $x=0$). Các khoảng $(-2;3)$, $(-3;3)$, $(-3;1)$ đều chứa cả đoạn giảm nên sai. Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3+4x=4x(x^2+1)$. Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$, nên $f^{\prime }(x)>0\iff x>0$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)<0$ tức $3(x-1)(x+1)<0$, suy ra $-1<x<1$. Vậy tập nghiệm là $(-1;1)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, hàm số có cực đại tại $x=-2$ và cực tiểu tại $x=0$. Do đó hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$. Trong các đáp án, chỉ có $(-\infty ;-2)$ là khoảng đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2: hàm số $y=f(x)$ có dạng chữ W với hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $-2$) và một điểm cực đại tại $x=0$ (giá trị $-1$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các khoảng A, B, C, D, chỉ có khoảng $(-1;0)$ là khoảng đồng biến. Đáp án C, trùng với bảng đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị dạng chữ W, có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ với $y=-2$, và một điểm cực đại tại gốc $O$ với $y=-1$; hai nhánh ngoài đi xuống dưới khi $x\to \pm \infty$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ khoảng $(1;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $(0;-4)$ và cực đại tại điểm $(2;0)$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;2)$. Phép cộng hằng số $y=f(x)+2024$ chỉ tịnh tiến đồ thị lên trên theo phương trục tung nên không thay đổi tính đơn điệu: $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$. Vậy $y=f(x)+2024$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(2;+\infty )$ (đáp án A) thỏa mãn; các khoảng $(-\infty ;-1)$, $(-1;1)$, $(0;1)$ đều chứa phần hoặc nằm trọn trong khoảng nghịch biến $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 7: hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến điểm cực đại (khoảng $x\approx -0,5$), sau đó nghịch biến từ điểm cực đại này đến điểm cực tiểu (khoảng $x\approx 1,5$), rồi lại đồng biến đến một điểm cực đại nhỏ gần $x\approx 3$, nghịch biến đến điểm cực tiểu gần $x\approx 4$, cuối cùng đồng biến. Vậy hàm nghịch biến trên khoảng chứa $(0;1)$, tức khoảng $(0;1)$ nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến. Các khoảng $(-1;1)$, $(-\infty ;-1)$, $(1;2)$ đều chứa cả đoạn đồng biến hoặc không nằm trọn trong khoảng nghịch biến. Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+7$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Hàm đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-5;-2)\subset (-\infty ;-1)$ nên hàm đồng biến trên khoảng này. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;+\infty )$; hàm đạt cực tiểu $f(2)=-1$ và cực đại $f(3)=2$. Xét các khẳng định: A sai vì hàm đồng biến trên $(2;3)$ nên không nghịch biến trên $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$. B sai vì hàm đồng biến trên $(2;3)$, không thể nghịch biến trên $(-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$ như một khẳng định liên tục. C sai vì trên $[-1;2]$ hàm nghịch biến ($f^{\prime }<0$), không đồng biến. D đúng vì $(2;\frac{5}{2})\subset (2;3)$, nơi $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm đồng biến trên khoảng $(2;\frac{5}{2})$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23: Cho hàm số $y=\frac{x-2024}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2024)}{(x+1{)}^2}=\frac{2025}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ vì gián đoạn tại $x=-1$. Do đó mệnh đề đúng là C: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$. A và D sai vì hàm đồng biến chứ không nghịch biến; B sai vì hàm không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ do không liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 24: Hàm số $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)(x+1)-(x^2-3x+5)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2-x-3-x^2+3x-5}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1{)}^2}$. Vì $(x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -1$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x+4)(x-2)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-4$ hoặc $x>2$; $y^{\prime }<0$ khi $-4<x<2$ (loại $x=-1$). Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-4;-1)$ và $(-1;2)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2-9x+7$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $x<-1$ hoặc $x>3$. Xét các đáp án: A. $(1;+\infty )$: trên $(1;3)$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến, loại. B. $(-5;-2)\subset (-\infty ;-1)$: với mọi $x\in (-5;-2)$, cả $(x-3)$ và $(x+1)$ đều âm nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên khoảng này — đúng. C. $(-\infty ;1)$: trên $(-1;1)$ hàm nghịch biến, loại. D. $(-1;3)$: $y^{\prime }<0$ trên khoảng này nên hàm nghịch biến, loại. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;2)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;3)$. Xét các khẳng định: A sai vì hàm đồng biến trên $(2;3)$, không nghịch biến trên toàn bộ $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$. B sai vì hàm không nghịch biến trên $[3;+\infty )$ với dấu ngoặc vuông tại $3$ (đồng biến cục bộ quanh lân cận trái của 3 thuộc miền xét, và cách viết hợp khoảng không đúng vì $(-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$ không phải khoảng nghịch biến chuẩn). C sai vì $[-1;2]$ chứa điểm $x=2$ là điểm cực tiểu, hàm không đồng biến trên cả đoạn này (trên $(-\infty ;2)$ hàm nghịch biến). D đúng vì $(2;\frac{5}{2})\subset (2;3)$, nơi $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -\frac{d}{c}$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\left(-\infty ;-\frac{d}{c}\right)$ và $\left(-\frac{d}{c};+\infty \right)$, nhưng không đồng biến trên toàn tập xác định (không liên tục tại $x=-\frac{d}{c}$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+3}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+3)-(x-2)}{(x+3{)}^2}=\frac{5}{(x+3{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -3$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-3;+\infty )$ (không đồng biến trên toàn miền xác định vì không liên tục tại $x=-3$). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2024}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2024)}{(x+1{)}^2}=\frac{2025}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ (không đồng biến trên toàn miền xác định vì không liên tục tại $x=-1$). Do đó mệnh đề đúng là C: hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (nên $y^{\prime }<0$ với $\forall x\ne 2$, loại B, D) và trên mỗi nhánh hàm số nghịch biến (nhánh trái đi xuống từ gần $y=3$ tới $-\infty$, nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ tới gần $y=3$). Với hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$ có dấu không đổi trên tập xác định, nên $y^{\prime }<0,\forall x\ne 2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có điểm cực đại tại $x=-1$ và điểm cực tiểu tại $x=1$ (đỉnh cao nằm bên trái trục $Oy$, đáy thấp nằm bên phải). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(-1;1)$. Vậy đáp án D.