Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $x\ne 2$. $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. Vì $(x-2{)}^2>0$ với mọi $x\ne 2$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-1)(x-3)$: $y^{\prime }<0$ khi $1<x<3$, $x\ne 2$. Trong các đáp án, chỉ có $(1;2)$ nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến (loại B vì $(1;3)$ chứa điểm $x=2$ mà hàm không xác định). Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $y^{\prime }>0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ ta có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 102: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (Câu 8): hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=1$) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $y=-3$). Trên khoảng $(0;2)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến; trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ hàm đồng biến. Vậy hàm nghịch biến trên $(0;2)$, đáp án C, trùng đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$. Hàm số đồng biến trên khoảng nơi $f^{\prime }(x)>0$, tức $(0;2)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, nên hàm nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Các khoảng khác đều chứa điểm cực trị nên không thỏa mãn. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=f(x)-2x$ trên $(0;2)$. Khi đó $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2$. Từ đồ thị, $f^{\prime }(0)=2$ và $f^{\prime }$ giảm dần, cắt trục hoành tại $x=2$, nên với mọi $x\in (0;2)$ ta có $f^{\prime }(x)<2$, tức $g^{\prime }(x)<0$: hàm $g$ nghịch biến trên $(0;2)$. Do đó $g(x)>{\lim }_{x\to 2^{-}}g(x)=f(2)-4$ với mọi $x\in (0;2)$ (giá trị $f(2)-4$ không đạt được vì $2\notin (0;2)$). Bất phương trình $f(x)>2x+m$ tức $g(x)>m$ đúng với mọi $x\in (0;2)$ khi và chỉ khi $m\le f(2)-4$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số giảm trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;1)$, giảm trên $(1;+\infty )$ (điểm cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=1$). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, đáp án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1, Mã đề 132: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-x^2+5x-4=-(x-1)(x-4)$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1$ hoặc $x>4$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $1<x<4$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;4)$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số giảm trên $(-\infty ;-1)$, đạt cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị $-4$), sau đó tăng trên $(-1;1)$, đạt cực đại tại $x=1$, rồi giảm trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số giảm trên khoảng từ $-\infty$ đến gần $x=0$ (có điểm cực tiểu tại $x=0$, $y=-2$), sau đó tăng trên khoảng $(0;2)$ (đạt cực đại tại $x=2$, $y=2$), rồi giảm trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Kết quả trùng với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: đồ thị nằm dưới trục hoành khi $x<-3$, cắt trục hoành tại $x=-3$, nằm trên trục hoành trên $(-3;-2)$, cắt trục tại $x=-2$, nằm dưới trục hoành trên $(-2;+\infty )$ (tiếp tục âm sau $x=0$). Do đó: A sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ nên hàm số nghịch biến; B sai vì trên $\left(-\frac{5}{2};-2\right)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến; D sai vì trên $\left(-\frac{1}{2};0\right)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến; C đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-2;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$, $x=-2$ và $x=0$; dấu của $f^{\prime }$ là: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (0;+\infty )$ (đồ thị $f^{\prime }$ chỉ chạm trục hoành tại $x=0$ rồi tiếp tục nằm dưới trục). Xét các mệnh đề:
- A: trên $\left(-\frac{5}{2};-2\right)$ có $f^{\prime }>0$ nên $f$ đồng biến, không nghịch biến → sai.
- B: trên $\left(-\frac{1}{2};0\right)$ có $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến → sai.
- C: trên $(-2;+\infty )$ ta có $f^{\prime }\le 0$ (chỉ bằng $0$ tại điểm $x=0$) nên $f$ nghịch biến trên khoảng này → đúng.
- D: trên $(-\infty ;-3)$ có $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến → sai.
Vậy mệnh đề đúng là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số: hàm giảm trên $(-\infty ;0)$, đạt cực tiểu tại điểm $(0;-2)$; hàm tăng trên $(0;2)$, đạt cực đại tại điểm $(2;2)$; sau đó hàm giảm trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, tương ứng đáp án B. Điều này khớp với đáp án của đề (mã 1701, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$. Vậy mệnh đề đúng là D: hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$. Kết quả này trùng với đáp án D trong bảng mã đề 1114.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(0;1)$ (vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ và từ $+$ sang $-$ tại $x=1$). Do đó hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến; khoảng $(-1;1)$ không phải khoảng đồng biến vì hàm không đồng biến trên toàn khoảng. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1114).

a) TXĐ: $\mathbb{R}$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=0\iff x=1;-3$. (0,25 điểm)
Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:

(0,25 điểm)
Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3);(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;1)$. (0,25 điểm)
b) Ta có hai điểm cực trị là $A(-3;28)$, $B(1;-4)$ (0,25 điểm)
$\overrightarrow{AB}=(4;-32)\Rightarrow AB:8x+y-4=0$ (0,25 điểm)
$AB\cap Ox=M\left(\frac{1}{2};0\right)$, $AB\cap Oy=N(0;4)\Rightarrow S_{OMN}=1$ (đvdt) (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(2;5)$ nên hàm số đồng biến trên $(2;5)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(3;4)$ nằm hoàn toàn trong $(2;5)$. Các khoảng $(4;6)$, $(0;3)$, $(-1;0)$ đều chứa điểm mà $f^{\prime }(x)\le 0$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (2.C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f'(x) là hàm bậc ba đạt cực đại tại (-2;0), đi qua (-1;-2), cực tiểu (0;-4) và cắt trục hoành tại x=1. Suy ra f'(x)=x³+3x²-4=(x+2)²(x-1).
a) Với x<-2, ví dụ f'(-3)=-27+27-4=-4<0 nên f nghịch biến trên (-∞;-2) → Sai.
b) g'(x)=f'(x)-x+1. Trên (-2;-1): f'(x)∈(-2;0) và -x+1∈(2;3) nên g'(x)>0, hàm g đồng biến → Đúng.
c) Trên [-3;1]: f'<0 trên (-3;-2), f'>0 trên (-2;1) nên f đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại x=-2. So sánh hai đầu: f(1)-f(-3)=∫_{-3}^{1}f'(x)dx = ∫_{-3}^{-2}f'dx + ∫_{-2}^{1}f'dx. Với F(x)=x⁴/4+x³-4x: F(1)=-11/4, F(-2)=4, F(-3)=21/4, nên tổng = -8 <0, tức f(1)<f(-3). Vậy max trên đoạn là f(-3), không phải f(-2) → Sai.
d) g(x)=(x²+x-2)/f'(x)=(x+2)(x-1)/[(x+2)²(x-1)]. Tại x=-2: tử bậc nhất, mẫu bậc hai nên lim g=∞ → tiệm cận đứng x=-2. Tại x=1: lim g = 3/9=1/3 (thế giá trị, không phải tiệm cận). lim_{x→±∞} g=0 → tiệm cận ngang y=0. Vậy đồ thị có đúng 2 đường tiệm cận → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=x³+3x²-4<0 với mọi x<-2 (ví dụ f'(-3)=-4), nên f nghịch biến trên (-∞;-2).
b) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=f'(x)-x+1; trên (-2;-1) có f'(x)∈(-2;0) và -x+1∈(2;3) nên g'(x)>0, g đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
f' đổi dấu từ âm sang dương tại x=-2 nên f(-2) là giá trị nhỏ nhất. Vì f(1)-f(-3)=∫_{-3}^{1}f'(x)dx=-8<0 nên max trên [-3;1] là f(-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=(x+2)(x-1)/[(x+2)²(x-1)] có tiệm cận đứng x=-2 (lim g=∞), x=1 chỉ là điểm loại bỏ (lim g=1/3), và tiệm cận ngang y=0; tổng cộng 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;2)$ (cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$). Đặt $t(x)=\sqrt{x^2-4x+4}-2x=|x-2|-2x$. Với $x<2$: $t=2-3x$, $t^{\prime }=-3<0$; với $x\ge 2$: $t=-x-2$, $t^{\prime }=-1<0$, nên $t$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(t(x))\cdot t^{\prime }(x)$; vì $t^{\prime }(x)<0$ nên $y^{\prime }>0\iff f^{\prime }(t)<0\iff t(x)\in (0;2)$. Với $x\ge 2$: $t=-x-2<0$, không thỏa. Với $x<2$: $0<2-3x<2\iff 0<x<\frac{2}{3}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{2}{3}\right)$, khớp đáp án A và bảng đáp án chính thức (câu 11 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$, đồng biến trên $(1;3)$, nghịch biến trên $(3;4)$. Vậy khoảng đồng biến là $(1;3)$, chọn đáp án D.