Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. Xét dấu: hàm nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Vậy $a=-1$, $b=0$, $c=1$, nên $a+2025b-c=-1+0-1=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-2).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (giá trị $5$) và cực tiểu tại $x=3$ (giá trị $1$). Trên khoảng $(1;3)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trên $(1;3)$. Các khoảng khác: $(3;+\infty )$ và $(0;1)$ hàm đồng biến; $(1;5)$ chứa điểm cực tiểu $x=3$ nên không nghịch biến trên toàn khoảng. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng riêng lẻ, không đồng biến trên hợp $(-\infty ;0)\cup (3;+\infty )$ vì phải qua khoảng nghịch biến $(0;3)$. Do đó trong các phương án, chỉ có $(3;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$ (không phải $3x^2-6x$). b) Sai vì tại $x=0$ thì $y=-2$, đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;-2)$. c) Đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<0$. d) Đúng vì $f^{\prime }(x)=3x(x+2)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$, với $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, đúng như bảng đã cho.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$, nên khẳng định $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $f(0)=-2$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;-2)$, không phải $(-2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)<0$ khi $-2<x<0$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, đúng như bảng xét dấu đã cho.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
+ Tính đúng $h^{\prime }(t)=12t^2-108t+216$
+ $h^{\prime }(t)=0\iff \{\begin{array}{l}t=3\\ t=6\end{array}$
+ Lập BBT trên đoạn $[0;10]$ đúng
+ KL đúng trong khoảng thời gian từ 3 phút đến 6 phút khinh khí cầu giảm dần độ cao.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$. Do đó hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Trong các đáp án, chỉ có $(1;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(1;+\infty )$ là khoảng đồng biến (đáp án A sai vì hàm không đồng biến trên hợp của hai khoảng do có điểm cực tiểu tại $x=1$ ngăn cách). Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$: đúng. b) $f(0)=-2$ nên $(C)$ cắt $Oy$ tại $(0;-2)$, không phải $(0;2)$: sai. c) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$: sai. d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<2$, đúng như bảng xét dấu: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $f(x)=x^3-3x^2-2$ là $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $f(0)=-2$, nên giao điểm với trục $Oy$ là $(0;-2)$, không phải $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, đúng như bảng.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
+ Tính đúng $h^{\prime }(t)=6t^2-54t+108$
+ $h^{\prime }(t)=0\iff \{\begin{array}{l}t=3\\ t=6\end{array}$
+ Lập BBT trên đoạn $[0;8]$ đúng
+ KL đúng trong khoảng thời gian từ 3 phút đến 6 phút khinh khí cầu giảm dần độ cao.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$. Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống từ giá trị cực đại $y=3$ xuống giá trị cực tiểu $y=-1$, tức $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ hàm đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 7, đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(-3;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-3;2)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực đại tại $x=0$ và điểm cực tiểu tại $x=2$. Trên khoảng $(0;2)$ hàm số nghịch biến; trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ hàm số đồng biến. Trong các phương án, chỉ có $(2;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 102: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-3;0)$ nên hàm số đồng biến trên $(-3;0)$. Trên $(-\infty ;-3)$ và $(0;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$, $x=-2$ (đổi dấu) và $x=0$ (tiếp xúc, không đổi dấu). Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-3;-2)$, $f^{\prime }<0$ trên $(-2;0)\cup (0;+\infty )$.
a) Trên $(-\infty ;-3)$ có $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến, không đồng biến → Sai.
b) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-3$ (cực tiểu) và $x=-2$ (cực đại); tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Vậy $f$ chỉ có 2 cực trị, không phải 3 → Sai.
c) $f$ đồng biến trên $(-3;-2)$ rồi nghịch biến trên $(-2;0)$ và tiếp tục nghịch biến trên $(0;1)$ (vì $f^{\prime }<0$), nên $f(-2)>f(0)>f(1)$ → Đúng.
d) Trên đoạn $[-3;0]$: $f$ đồng biến trên $[-3;-2]$ và nghịch biến trên $[-2;0]$ nên giá trị lớn nhất là $f(-2)$ → Đúng.
Kết quả khớp bảng HD chấm đề 101: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-3$ và $x=-2$ nên $f$ có 2 cực trị; tại $x=0$, $f^{\prime }$ tiếp xúc trục hoành không đổi dấu nên không cho cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ đồng biến trên $(-3;-2)$, nghịch biến trên $(-2;0)$ và $(0;+\infty )$, do đó $f(-2)>f(0)>f(1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;0]$, $f$ tăng trên $[-3;-2]$ và giảm trên $[-2;0]$ nên ${\max }_{[-3;0]}f=f(-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=2$) và cực tiểu tại $x=2$. Trên khoảng $(0;2)$ đồ thị đi xuống nên $f^{\prime }(x)<0$, tức hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$ hàm số đồng biến. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, khớp với đáp án D (bảng đáp án đề 101, câu 2: D).

Chọn A. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$.

Chọn C. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-1)$, $f^{\prime }(x)=0$ trên $(-1;1)$, và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;3)\subset (1;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên $(2;3)$. Kiểm tra các phương án khác: $(0;1)$ và $(0;2)$ nằm trong vùng $f^{\prime }(x)=0$ (hàm không đổi, không đồng biến); $(-10;-5)\subset (-\infty ;-3)$ là vùng nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=x^3+3x$, có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- B: $y=x^4-3x^2+1$, có $y^{\prime }=4x^3-6x=2x(2x^2-3)$, đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=\frac{x-1}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=x^3-3x$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, đổi dấu tại $x=\pm 1$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y=x^3+3x$.