Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

a. (2 điểm) Với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ thỏa mãn $a\ge b\ge c>0$, chứng minh
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\le \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}.$$

Lời giải: biến đổi tương đương ta được:
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\ge a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2\iff (a-b)(b-c)(a-c)\ge 0$, suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$ hoặc $b=c$.

b. (3 điểm) Với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $n\ge 2$ và các các số thực $x_1\ge x_2\ge \dots \ge x_n>0$, chứng minh
$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\dots +\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1}\le \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\dots +\frac{x_n}{x_{n-1}}+\frac{x_1}{x_n}.$$

Lời giải:
Đặt $\frac{x_1}{x_2}=t_1,\frac{x_2}{x_3}=t_2,\dots ,\frac{x_{n-1}}{x_n}=t_{n-1}$ thì $t_i\ge 1,\forall i=1,2,\dots ,n-1$ và $\frac{x_n}{x_1}=\frac{1}{t_1{t}_2\dots t_{n-1}}$, ta chứng minh:

$$t_1+t_2+\dots +t_{n-1}+\frac{1}{t_1{t}_2\dots t_{n-1}}\le \frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\dots +\frac{1}{t_{n-1}}+t_1{t}_2\dots t_{n-1}$$

$$\iff f(t_1;t_2;\dots ;t_{n-1})=\sum _{i=1}^{n-1}\left(t_i-\frac{1}{t_i}\right)+\frac{1}{t_1{t}_2\dots t_{n-1}}-t_1{t}_2\dots t_{n-1}\le 0.$$

Coi $t_2,t_3,\dots ,t_{n-1}$ là tham số, $f$ là hàm của $t_1$, ta có

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(t_1)& =1+\frac{1}{t_1^2}-t_2{t}_3\dots t_{n-1}-\frac{1}{t_1^2{t}_2{t}_3\dots t_{n-1}}\\ & =1+\frac{1}{x^2}-M-\frac{1}{M{x}^2}(\text{với }x=t_1\ge 1,M=t_2{t}_3\dots t_{n-1}\ge 1)\\ & =(1-M)+\frac{1}{x^2}\left(1-\frac{1}{M}\right)\\ & =(1-M).\left(1-\frac{1}{x^{2}M}\right)\le 0\end{array}$$

suy ra $f(t_1;t_2;\dots ;t_{n-1})$ nghịch biến theo từng biến độc lập, nên $f(t_1;t_2;\dots ;t_{n-1})\le f(1;1;\dots ;1)=0$, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $x_1=x_2=\dots =x_n$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên $(-1;0)$ hàm đồng biến, trên $(0;2)$ hàm nghịch biến (đồ thị đi xuống từ cực đại tại $x=0$ đến cực tiểu tại $x=2$), trên $(2;6)$ hàm đồng biến. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, MD0911: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-x+1+x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không thể nói nghịch biến trên $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ hay trên $\mathbb{R}$. Khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (2.B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^3-3x^2-14$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-x^2+12x-9$ có $y^{\prime }=3x^2-2x+12$ với $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 12=4-144=-140<0$ và hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{2x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{4}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=-1$, nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^4+2x^2$ có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$, âm khi $x<0$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (8.B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^3-3x^2-1$, $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-x^2+6x-1$, $y^{\prime }=3x^2-2x+6$ có $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 6=4-72=-68<0$ và hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{x-2}{x+1}$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. D) $y=x^4+2x^2-1$ có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (7.B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên hợp của hai khoảng này (vì không liên tục tại $x=1$) và không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (8.B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=x^3-3x^2-14$, $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$ đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- B: $y=x^3-x^2+12x-9$, $y^{\prime }=3x^2-2x+12$ có $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 12=4-144=-140<0$ và hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- C: $y=\frac{2x-2}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=x^4+2x^2$, $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (10.B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(-x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không thể nói nghịch biến trên $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ hay trên $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn 12.B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^3-3x^2-1$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-x^2+6x-1$ có $y^{\prime }=3x^2-2x+6$ với $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 3\cdot 6=4-72=-68<0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng không xác định tại $x=-1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^4+2x^2-1$ có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1.B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(-1)(x-1)-(-x+2)(1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-x+1+x-2}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nhưng không nghịch biến trên hợp $(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$ (do không liên tục tại $x=1$) và không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (2.B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (đạt giá trị $-2$) và một điểm cực đại tại $x=0$ (đạt giá trị $-1$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$, tương ứng đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án đã cho (C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 12 (Mã đề 132): hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-2$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $2$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án D của câu 12 trong bảng mã đề 132.

(AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(t)=-3t^2+24t=3t(8-t)$. Với $0\le t\le 12$: $N^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<8$ và $N^{\prime }(t)<0$ khi $8<t<12$. Vậy khoảng thời gian lâu nhất mà số người nhiễm bệnh tăng lên là $(0;8)$, tức $a=0,b=8$. Do đó $P=2a^2-b^2=2\cdot 0^2-8^2=-64$.

Từ bảng biến thiên, ta thấy trên khoảng $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }>0$ và đồ thị hàm số đi lên nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$

(AI giải đề cho tôi)
Tàu đi lên khi $h^{\prime }(t)>0$. Ta có $h^{\prime }(t)=-\frac{12}{255}{t}^2+\frac{98}{85}t-\frac{98}{17}=-\frac{4}{85}{t}^2+\frac{98}{85}t-\frac{98}{17}$. Cho $h^{\prime }(t)=0$, nhân với $\frac{85}{-4}$: $t^2-\frac{49}{2}t+\frac{245}{2}=0$, tức $2t^2-49t+245=0$. Delta $=49^2-4\cdot 2\cdot 245=2401-1960=441$, $\sqrt{441}=21$, nên $t=\frac{49\pm 21}{4}$, cho $t=7$ hoặc $t=\frac{35}{2}=17,5$ (đều thuộc $[0;20]$). Vì $h^{\prime }(t)$ là parabol hướng xuống nên $h^{\prime }(t)>0$ trên $(7;17,5)$. Vậy $a=7$, $b=17,5$, $a+2b=7+35=42$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(3;2024)\subset (2;+\infty )$ là khoảng nghịch biến. Đáp án A sai vì trên $(0;2)$ hàm đồng biến; C sai vì $(-\infty ;2)$ chứa $(0;2)$ nơi hàm đồng biến; D sai vì $(0;+\infty )$ chứa $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ (đổi dấu từ âm sang dương) và $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ (tiếp xúc, không đổi dấu). Trên $(-2;1)$ và $(1;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$, nên $f$ đồng biến trên các khoảng này. Trong các đáp án, chỉ có $(1;+\infty )$ thỏa mãn. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2-18x-24=6(x-4)(x+1)$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<4$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;4)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-3x(x-2)>0\iff 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án D.