Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }<0$ khi $x\in (0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, hàm số $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=1$ và $x=3$. Trên khoảng $(1;3)$ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)>0$, do đó $f(x)$ đồng biến trên $(1;3)$. Trên $(-\infty ;-2)$ và $(3;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f(x)$ nghịch biến; trên $(0;2)$ chứa điểm $x\in (0;1)$ nơi $f^{\prime }(x)<0$ nên $f(x)$ không đồng biến. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-5)$ và $(-1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-5;-1)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$, khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-5)$ và $(-1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-5;-1)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$, khớp với đáp án D trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-5)$ và $(-1;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-5;-1)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$, khớp với đáp án C trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-5)$ và $(-1;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-1;+\infty )$. Trên $(-5;-1)$ hàm nghịch biến, còn $(-5;+\infty )$ và $(-\infty ;-1)$ chứa điểm tới hạn nên không đồng biến trên toàn khoảng. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
A) $y=x^2+2x+3$ có $y^{\prime }=2x+2$ đổi dấu tại $x=-1$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B) $y=x^3+x+1$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
C) $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D) $y=\frac{x+1}{x+3}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol bậc hai với bề lõm hướng lên trên, đỉnh tại $(1;-3)$ (đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ trên trục tung). Với parabol $a>0$, hàm số nghịch biến trên khoảng bên trái đỉnh $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên khoảng bên phải đỉnh $(1;+\infty )$. Do đó A sai (hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$), B sai, D sai (khoảng $(-\infty ;-3)$ không phải khoảng nghịch biến theo đỉnh). Phát biểu đúng là C: hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x-5$, ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-3(x-1)(x+1)>0\iff -1<x<1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{2x+1}{x-3}$, $y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x+1)}{(x-3{)}^2}=\frac{-7}{(x-3{)}^2}<0$ trên từng khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, nhưng hàm không nghịch biến trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3\}$ (không so sánh được giá trị qua điểm gián đoạn).
- B: $y=-x^3+2x^2-15x-1$, $y^{\prime }=-3x^2+4x-15$. Tam thức có $a=-3<0$, $\Delta =16-4\cdot (-3)\cdot (-15)=16-180=-164<0$ nên $y^{\prime }<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ = tập xác định của nó.
- C: $y=-2x^2+1$ chỉ nghịch biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=x^3-2x^2+2024x+5$, $y^{\prime }=3x^2-4x+2024$ có $\Delta =16-4\cdot 3\cdot 2024<0$, $a>0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$: hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy hàm nghịch biến trên tập xác định là hàm ở đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;0)$, tại $x=0$ hàm số không xác định (đồ thị đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, có tiệm cận đứng), $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;1)$, và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$, tức là nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$ (trừ điểm $x=0$ không thuộc tập xác định). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 14: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=2$) và cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $y=-2$). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức $(a;b)=(0;2)$, nên $a=0$, $b=2$. Do đó $a+2b=0+2\cdot 2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$ (hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$, gián đoạn tại $x=0$ do $y^{\prime }$ không tồn tại). Trong các phương án, chỉ có khoảng $(0;1)$ thỏa mãn. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ khoảng $(-1;0)$ là khoảng mà hàm số đồng biến (trên $(-1;1)$ hàm không đồng biến vì $f^{\prime }<0$ trên $(0;1)$; trên $(-1;+\infty )$ cũng vậy). Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2-2mx+(4m+9)$. Hàm số bậc ba với hệ số $a=-3<0$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức $y^{\prime }=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tương đương ${\Delta }^{\prime }\le 0$ với ${\Delta }^{\prime }=(-m{)}^2-3\cdot (-3)\cdot (4m+9)=m^2+12m+27=(m+3)(m+9)$. Do đó $m^2+12m+27\le 0⟺-9\le m\le -3$. Vậy $m\in [-9;-3]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=-x^2-4<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (do $x^2\ge 0$ nên $-x^2-4\le -4<0$), hàm số nghịch biến trên toàn trục $(-\infty ;+\infty )$. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x-5$, ta có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x^2-1)$. Cho $y^{\prime }>0\iff x^2<1\iff -1<x<1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$ (không đồng biến trên toàn tập xác định vì không liên tục tại $x=-2$). Do đó khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$ (không đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì không liên tục tại $x=-2$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(2;+\infty )$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;2)$; tại $x=0$ đạo hàm không xác định (||) nhưng hàm liên tục. Xét các khẳng định: A sai vì trên $(1;2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm không đồng biến trên toàn $(1;+\infty )$. B đúng vì $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ nên hàm đồng biến trên khoảng này. C sai vì trên $(-\infty ;-2)$ hàm đồng biến. D sai vì trên $(2;4)$ hàm đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 0107, câu 12: B).