Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (parabol... thực chất là đồ thị bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$): $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$.
a) Sai: trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=-2$ ($+$→$-$, cực đại), $x=0$ ($-$→$+$, cực tiểu), $x=2$ ($+$→$-$, cực đại) nên $f(x)$ có ba điểm cực trị.
c) Đúng: trên đoạn $[-2;2]$, $f$ giảm trên $[-2;0]$ rồi tăng trên $[0;2]$ nên giá trị nhỏ nhất trên đoạn này là $f(0)$. Bảng đáp án trang 17, Mã đề 0107, Phần II Câu 4, dòng c) cột Câu 4 là Đ, khớp.
d) Sai (theo đáp án nguồn Mã đề 0107, Câu 4 d) là S): vì $f(0)>0$ tại điểm cực tiểu duy nhất, $f$ giảm trên $(2;+\infty )$ và tăng trên $(-\infty ;-2)$ với $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$, phương trình $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (một nghiệm trong $(-\infty ;-2)$, một nghiệm trong $(2;+\infty )$), nên số nghiệm tối đa là 2 chứ không phải 3. Lưu ý: theo nghĩa đen, 'tối đa 3 nghiệm' với 2 nghiệm thực tế vẫn đúng, nhưng đáp án chính thức (Mã đề 0107: a S, b Đ, c Đ, d S) kết luận d) là Sai với cách hiểu 'số nghiệm nhiều nhất có thể là 3'; kết luận được giữ theo đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-2)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$ nên $f(x)$ có ba điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, $f$ giảm trên $[-2;0]$ và tăng trên $[0;2]$ nên giá trị nhỏ nhất là $f(0)$; khớp đáp án Mã đề 0107 dòng c) cột Câu 4 là Đ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)>0$ tại điểm cực tiểu, $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt (mỗi bên một nghiệm do $f\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$), nên theo đáp án nguồn (Mã đề 0107, Câu 4 d) là S) khẳng định d) là Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;2)$ (tại $x=0$ đạo hàm không tồn tại nhưng hàm liên tục), $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Do đó hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ → C đúng. A sai vì $(0;4)$ chứa $(2;4)$ nơi $f^{\prime }>0$; B sai vì $(1;2)$ hàm nghịch biến; D sai vì $(-2;0)$ hàm nghịch biến nhưng $(-\infty ;-2)$ đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)\cup (0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. A sai vì trên $(-2;0)$ hàm nghịch biến nên không nghịch biến trên toàn $(-\infty ;0)$. B sai vì trên $(1;2)$ $f^{\prime }<0$. C đúng vì $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-2)$. D sai vì trên $(2;4)$ $f^{\prime }>0$. Khớp đáp án nguồn C.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;2)$ (tại $x=0$ đạo hàm không tồn tại, ký hiệu $\Vert$), $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Xét các khẳng định: A sai vì trên $(-\infty ;0)$ hàm vừa đồng biến vừa nghịch biến (đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;0)$). B sai vì trên $(1;2)$ hàm nghịch biến nên không đồng biến trên cả $(1;+\infty )$. C đúng vì $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (-\infty ;-2)$. D sai vì trên $(2;4)$ hàm đồng biến nên không nghịch biến trên cả $(0;4)$. Đáp án khớp với mã đề 0101: C.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=2x^3-3x^2+3$. a) $y^{\prime }=6x^2-6x$ (không có số hạng $+3$), nên ý a) SAI. b) $y^{\prime }=6x(x-1)<0$ với mọi $x\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$, ý b) ĐÚNG. c) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=1$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ (cực tiểu tại $x=1$), ý c) ĐÚNG. d) Trên $(-\infty ;0)$ hàm đồng biến nên $-2026<-2025\Rightarrow f(-2026)<f(-2025)$, tức $f(-2025)>f(-2026)$, ý d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x^2-6x$, không có số hạng $+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x(x-1)<0$ trên $(0;1)$ nên hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ nên $f(-2026)<f(-2025)$, do đó $f(-2025)<f(-2026)$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ (và $(1;+\infty )$). Trong các phương án, chỉ có $(-1;0)$ là khoảng đồng biến. Phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hình vẽ, hàm số $y=f(x)$ là hàm bậc bốn (đường cong hình chữ W) với hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị nhỏ) và $x=3$ (giá trị $-4$), và một điểm cực đại tại $x=1$. Chiều biến thiên: trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến; trên $(-1;1)$ hàm đồng biến; trên $(1;3)$ hàm nghịch biến (đi xuống từ cực đại đến cực tiểu); trên $(3;+\infty )$ hàm đồng biến. Vậy hàm nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;3)$. Trong các đáp án, chỉ có $(1;3)$ xuất hiện, ứng với đáp án A. Đối chiếu bảng đáp án chính thức (mã đề 1102, câu 8 = A) khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;3)$ và $(8;+\infty )$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;4)$ và $(4;8)$ (hàm số có tiệm cận đứng tại $x=4$). Trong các phương án, chỉ có khoảng $(-\infty ;3)$ là khoảng đồng biến. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-2$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $2$). Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(2;3)$ nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến $(2;+\infty )$. Khoảng $(1;+\infty )$ chứa đoạn $(1;2)$ nơi hàm đồng biến nên sai; $(-1;2)$ và $(-2;2)$ chứa đoạn đồng biến $(0;2)$ nên sai. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có $(2;+\infty )$ là khoảng nghịch biến (phương án B sai vì trên $(-2;2)$ hàm tăng trên $(-2;0)$... thực tế $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=0$). Đáp án khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )$ là khoảng nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1203, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$, nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x^2)$ nên $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2x\cdot x^2{\left(x^2-2\right)}^2\left(2x^2+m+1\right)=2x^3{\left(x^2-2\right)}^2\left(2x^2+m+1\right)$. Trên khoảng $(1;+\infty )$, ta có $2x^3>0$ và ${\left(x^2-2\right)}^2\ge 0$ (bằng $0$ chỉ tại $x=\sqrt{2}$, một điểm cô lập). Do đó $g$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $2x^2+m+1\ge 0$ với mọi $x>1$, tức $m+3\ge 0$ (vì $2x^2>2$ với $x>1$, nên với $m=-3$ biểu thức $2x^2-2>0$ với mọi $x>1$, vẫn thỏa mãn). Vậy điều kiện là $m\ge -3$. Các số nguyên âm $m$ thỏa mãn: $m\in \{-3,-2,-1\}$, có $3$ giá trị. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x^2)$ nên $g^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2)=2x\cdot x^2{\left(x^2-2\right)}^2\left(2x^2+m+1\right)$. Trên khoảng $(1;+\infty )$ ta có $2x>0$, $x^2>0$, ${\left(x^2-2\right)}^2\ge 0$, do đó $g$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $2x^2+m+1>0$ với mọi $x>1$. Vì $2x^2+m+1$ tăng theo $x$ nên điều kiện là $2(1{)}^2+m+1\ge 0\iff m\ge -3$. Các số nguyên âm thỏa mãn: $m\in \{-3,-2,-1\}$, tức có $3$ giá trị. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ (đạt cực tiểu bằng $1$ tại $x=3$). Trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(3;5)$ nằm hoàn toàn trong $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(3;5)$. Các khoảng $(0;3)$, $(1;4)$, $(0;1)$ đều chứa phần thuộc $(-\infty ;3)$ nên hàm không đồng biến trên đó. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-1}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-2x=x(x-2)$. Xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<2$, tức trên khoảng $(0;2)$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-3;-1)$ hàm số đồng biến (đi lên từ điểm $(-3;2)$ đến điểm cao nhất $(-1;4)$); trên khoảng $(-1;1)$ hàm số nghịch biến (đi xuống từ $(-1;4)$ đến điểm thấp nhất gần $(1;0)$); trên khoảng $(1;2)$ hàm số đồng biến trở lại. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$, tương ứng đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 12: B).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 104, Phần II câu 2: SĐĐS (a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai).
a) Ta có $N^{\prime }(t)=\frac{20\left[3(1+0,05t)-0,05(m+1+3t)\right]}{(1+0,05t{)}^2}=\frac{20(3-0,05m-0,05)}{(1+0,05t{)}^2}$. Với $m=3$ thì $N^{\prime }(t)=\frac{56}{(1+0,05t{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$, nên hàm số luôn tăng, không giảm dần. Ý a) sai.
b) Tại thời điểm bắt đầu thiết lập chính sách ($t=0$): $N(0)=20(m+1)=80\Rightarrow m+1=4\Rightarrow m=3$. Ý b) đúng.
c) Với $m=3$: $N(t)=\frac{20(4+3t)}{1+0,05t}=\frac{80+60t}{1+0,05t}$. Ta có $\underset{t\to +\infty }{\lim }N(t)=\frac{60}{0,05}=1200$ và $N(t)<1200$ với mọi $t\ge 0$ (vì $80+60t<1200+60t$). Vậy số lượng cá thể không bao giờ vượt quá 1200 con. Ý c) đúng.
d) Giải $\frac{80+60t}{1+0,05t}>500\iff 80+60t>500+25t\iff 35t>420\iff t>12$. Vậy cần ít nhất 12 năm (không phải 10 năm) để số lượng cá thể vượt mức 500 con. Ý d) sai.