Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến khi $f^{\prime }(x)>0$: $2x-4>0\iff x>2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 104).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến khi $f^{\prime }(x)>0$: $2x-4>0\iff x>2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$, trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 0103, câu 12 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ N(0)=80: 20(m+1)=80 nên m=3 (d đúng). Khi đó N(t)=20(4+3t)/(1+0.05t). N'(t)=20[3(1+0.05t)-0.05(4+3t)]/(1+0.05t)^2=56/(1+0.05t)^2>0 với mọi t≥0, nên N luôn tăng dần, không giảm (c sai). lim N(t)=20·3/0.05=1200, nên N(t)<1200 với mọi t hữu hạn, không bao giờ vượt 1200 con (b đúng). N(t)>500 ⟺ 80+60t>500+25t ⟺ 35t>420 ⟺ t>12, vậy cần ít nhất hơn 12 năm chứ không phải 10 năm (a sai). Kết quả ĐSĐS khớp đáp án nguồn (mã 104).
a) (AI giải đề cho tôi)
N(t)>500 ⟺ 20(4+3t)>500(1+0.05t) ⟺ 80+60t>500+25t ⟺ t>12. Cần hơn 12 năm, không phải 10 năm.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim_{t→+∞} N(t)=20·3/0.05=1200 và N(t)<1200 với mọi t≥0, nên không bao giờ vượt quá 1200 con.
c) (AI giải đề cho tôi)
N'(t)=56/(1+0.05t)^2>0 với mọi t≥0 nên N(t) luôn tăng dần, không giảm sau đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
N(0)=20(m+1)=80 ⟹ m+1=4 ⟹ m=3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến khi $f^{\prime }(x)>0$, tức $2x-4>0\iff x>2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án D trong đề và bảng đáp án (mã đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $N(0)=80$: $N(0)=\frac{20(m+1)}{1}=80\Rightarrow m+1=4\Rightarrow m=3$. Vậy $N(t)=\frac{20(4+3t)}{1+0,05t}$.
b) $N^{\prime }(t)=\frac{20\left[3(1+0,05t)-0,05(4+3t)\right]}{(1+0,05t{)}^2}=\frac{20\cdot 2,8}{(1+0,05t{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$, nên số cá thể luôn tăng (tiệm cận lên 1200), không giảm dần → sai.
c) ${\lim }_{t\to +\infty }N(t)=\frac{20\cdot 3}{0,05}=1200$ và $N$ tăng nên $N(t)<1200$ với mọi $t$, không bao giờ vượt quá 1200 con → đúng.
d) $N(t)>500\iff 20(4+3t)>500(1+0,05t)\iff 80+60t>500+25t\iff 35t>420\iff t>12$. Tại $t=10$: $N(10)=\frac{20\cdot 34}{1,5}\approx 453,3<500$ con, tức phải chờ hơn 12 năm mới vượt 500 con, nên khẳng định rằng chỉ cần (đủ) 10 năm để vượt mức 500 con là sai. Đáp án: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai (khớp ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$N(0)=20(m+1)=80\Rightarrow m=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(t)=\frac{56}{(1+0,05t{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ nên số cá thể luôn tăng dần, không giảm.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{t\to +\infty }N(t)=1200$ và hàm số tăng nên $N(t)<1200$ với mọi $t\ge 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$N(t)>500\iff t>12$; tại $t=10$ thì $N(10)\approx 453,3<500$ con, nên 10 năm chưa đủ để vượt 500 con.

(AI giải đề cho tôi)
Tại t=0: N(0)=20(m+1)=80 ⟹ m+1=4 ⟹ m=3 (ý c đúng). Khi đó N(t)=20(4+3t)/(1+0.05t). Xét N'(t)=20[3(1+0.05t)−0.05(4+3t)]/(1+0.05t)²=20(3+0.15t−0.2−0.15t)/(1+0.05t)²=56/(1+0.05t)²>0 với mọi t≥0, nên N(t) luôn tăng dần (ý d sai). Giới hạn lim(t→∞) N(t)=20·3/0.05=1200, và vì N tăng dần nên N(t)<1200 với mọi t, số cá thể không bao giờ vượt quá 1200 con (ý a đúng). Với ý b: N(t)>500 ⟺ 20(4+3t)>500(1+0.05t) ⟺ 80+60t>500+25t ⟺ 35t>420 ⟺ t>12. Vậy cần ít nhất 12 năm (không phải 10 năm) để số cá thể vượt 500 con, ý b sai. Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai, khớp đáp án nguồn (ĐSDS).
a) (AI giải đề cho tôi)
N(t) tăng dần và lim(t→∞) N(t)=1200, nên N(t)<1200 với mọi t≥0, không bao giờ vượt quá 1200 con.
b) (AI giải đề cho tôi)
N(t)>500 ⟺ t>12, vậy cần ít nhất 12 năm chứ không phải 10 năm.
c) (AI giải đề cho tôi)
N(0)=20(m+1)=80 ⟹ m=3.
d) (AI giải đề cho tôi)
N'(t)=56/(1+0.05t)²>0 với mọi t≥0 nên N(t) luôn tăng dần, không giảm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến khi $f^{\prime }(x)>0$: $2x-4>0\iff x>2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x<1$ và $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x>1$ (điểm $x=-3$ không đổi dấu). Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(2;+\infty )\subset (1;+\infty )$ là khoảng nghịch biến. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=12x^{2025}(x+1)(3-x)$ với $12>0$. Trên $(-\infty ;-1)$: $x^{2025}<0$, $x+1<0$, $3-x>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ → đồng biến. Trên $(-1;0)$: $x^{2025}<0$, $x+1>0$, $3-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Trên $(0;3)$: cả ba thừa số dương nên $f^{\prime }(x)>0$ → đồng biến. Trên $(3;+\infty )$: $x^{2025}>0$, $x+1>0$, $3-x<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;3)$; trong các phương án, chỉ $(-\infty ;-1)$ xuất hiện.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+(1-m)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức ${\Delta }^{\prime }=6^2-3(1-m)\le 0$ (hoặc $\Delta =144-12(1-m)\le 0$). Suy ra $144-12+12m\le 0\iff 12m\le -132\iff m\le -11$. Kiểm tra lại: $\Delta =144-12(1-m)=132+12m\le 0\iff m\le -11$. Vậy $m\le -11$, các giá trị nguyên thuộc $(-20;20)$ là $-19,-18,\dots ,-11$: tất cả $9$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên các khoảng này. Trong các đáp án, chỉ có $(3;+\infty )\subset (0;+\infty )$ là khoảng đồng biến. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-2;0)$. Trên $(0;2)$ và $(-\infty ;-2)$ hàm số nghịch biến; trên $(-2;2)$ hàm không đồng biến toàn phần vì nghịch biến trên $(0;2)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{x+3}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3+2x$ có $y^{\prime }=3x^2+2>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\frac{x^2+1}{x-2}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^4+2x^2$ có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y=x^3+2x$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$. $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<1$, nên khoảng nghịch biến là $(-3;1)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;2)$ xuất hiện, nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Kiểm tra: trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến), trên $(-\infty ;0)$ hàm không nghịch biến toàn bộ vì $f^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=-x^3-2x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2-2<0$ với mọi $x$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{x-2}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-1$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. C) $y=3x^3+3x-2$ có $y^{\prime }=9x^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. D) $y=2x^3-5x+1$ có $y^{\prime }=6x^2-5$ đổi dấu tại $x=\pm \sqrt{5/6}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-2;1)$ nên hàm số đồng biến trên $(-2;1)$. Trên $(-\infty ;-2)$ và $(1;+\infty )$ hàm số nghịch biến. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đi lên từ $(-3;-1)$ đến đỉnh $(-1;1)$, sau đó đi xuống đến điểm $(1;0)$, rồi lại đi lên đến $(3;4)$. Vậy hàm đồng biến trên $(-3;-1)$ và $(1;3)$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó A sai (khoảng $(1;4)$ ngoài tập xác định và hàm không đồng biến liên tục qua $(-1;1)$), B sai (đồ thị chỉ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, khoảng $x=-2$ và $x=1$), D sai vì trên $(-2;1)$ hàm vừa đồng biến vừa nghịch biến. Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^3+3x^2+2$, ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-3x(x-2)>0\iff x(x-2)<0\iff 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\sqrt{x^3+x-5}$, tập xác định là $D=\{x:x^3+x-5\ge 0\}=[\alpha ;+\infty )$ với $\alpha$ là nghiệm duy nhất của $x^3+x-5=0$. Đặt $g(x)=x^3+x-5$, có $g^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ nên $g$ đồng biến, do đó $y=\sqrt{g(x)}$ đồng biến trên $D$ (khoảng xác định). Vậy hàm số đơn điệu (đồng biến) trên tập xác định.
- B: $y=\frac{4x-2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{4(x-1)-(4x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nhưng tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ không phải khoảng nên không đơn điệu trên toàn tập xác định.
- C: $y=x^4+x^3+x+11$ có $y^{\prime }=4x^3+3x^2+1$ đổi dấu (ví dụ $y^{\prime }(-1)=0$, $y^{\prime }(-0.8)=4(-0.512)+3(0.64)+1=0.272>0$, $y^{\prime }(0)=1>0$, nhưng $y^{\prime }(-1.5)=-13.5+6.75+1<0$), nên hàm không đơn điệu trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=\cot 2x$ có tập xác định là hợp của nhiều khoảng, không đơn điệu trên toàn tập xác định.
Vậy đáp án đúng là A.