Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=+$ trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }=-$ trên $(-2;1)$, $y^{\prime }=+$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$, khớp đáp án B (khớp đáp án nguồn, trang 28: Câu 2 - Mã đề 2102 - B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có phương án C là khoảng đồng biến. Khớp với đáp án nguồn (Câu 11, Mã đề 2101: C).

Áp dụng định lý về dấu đạo hàm để xét tính đơn điệu: $f^{\prime }(x)<0,\forall x\in (-2;1)\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;1)$. Trong đề Mã đề 2102 (trang nguồn 6), khoảng $(-2;1)$ là phương án B. (Lời giải nguồn in ở trang 12 với thứ tự phương án khác, chọn C tương ứng khoảng $(-2;1)$.)

Áp dụng định lý về dấu đạo hàm để xét tính đơn điệu: $f^{\prime }(x)<0,\forall x\in (-2;1)\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;1)$. Chọn C

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x)=3a(x+2)(x−2)=3a(x²−4) nên b=0, c=−12a. Có f(−2)=1 và f(2)=−3. Cộng hai đẳng thức: 2d=−2 ⇒ d=−1. Thay vào f(2)=8a+2c+d=−3 ⇒ 8a−24a=−2 ⇒ a=1/8, c=−3/2. Vậy f(x)=x³/8−3x/2−1.
a) Trên (−∞;−2) hàm đồng biến, mà (−∞;−3)⊂(−∞;−2) nên hàm đồng biến trên (−∞;−3): đúng.
b) 12a+c=12·(1/8)−3/2=0 và 4b=0 ⇒ 12a+c=4b: đúng.
c) f(x)=0 ⇔ x³−12x−8=0, tổng nghiệm theo Viết là −(hệ số x²)/1=0≠−2: sai.
d) f(4)=64/8−3·4/2−1=8−6−1=1: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên (−∞;−2) và (−∞;−3)⊂(−∞;−2) nên đồng biến trên (−∞;−3).
b) (AI giải đề cho tôi)
b=0, c=−12a nên 12a+c=0=4b.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=x³/8−3x/2−1=0 ⇔ x³−12x−8=0, tổng nghiệm bằng 0 (Viết), không phải −2.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(4)=8−6−1=1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-3;-1)$ hàm số đi lên (đồng biến), trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống từ điểm cao nhất $(-1;1)$ đến điểm thấp nhất $(1;0)$ nên hàm nghịch biến, trên khoảng $(1;3)$ đồ thị đi lên từ $(1;0)$ đến $(3;4)$ nên đồng biến. Vậy khẳng định đúng là 'nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$', tức phương án A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-3;-2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-2;-1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(-1;+\infty )$; hàm số không xác định tại $x=-2$ (tiệm cận đứng, hai nhánh đi từ $-\infty$ bên trái và từ $+\infty$ bên phải).
- A sai: hàm không nghịch biến trên hợp $(-3;-2)\cup (-2;-1)$ vì lấy $x_1\to -2^{-}$ thì $f(x_1)\to -\infty$ còn $x_2\to -2^{+}$ thì $f(x_2)\to +\infty$, khi đó $f(x_1)<f(x_2)$ dù $x_1<x_2$.
- B sai: $(-3;-1)$ chứa điểm $x=-2$ mà hàm không xác định.
- C sai: trên $(-2;-1)$ hàm nghịch biến.
- D đúng: vì $y^{\prime }>0$ trên toàn $(-1;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng con $(-1;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$. Với $x<3$ (và $x\ne 0$) thì $f^{\prime }(x)<0$, với $x>3$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;3)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-1;2)$ nằm hoàn toàn trong $(-\infty ;3)$, nên hàm số nghịch biến trên $(-1;2)$. Các khoảng $(2;4)$, $(3;+\infty )$, $(0;4)$ đều chứa điểm $x>3$ nơi hàm đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=e^x(x^2-3)+e^x\cdot 2x=e^x(x^2+2x-3)=e^x(x-1)(x+3)$. Vì $e^x>0$ nên $y^{\prime }<0\iff (x-1)(x+3)<0\iff -3<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$, khớp với đáp án A của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $y=f^{\prime }(x)$ có tiệm cận đứng $x=1$ và đi qua điểm $(0;-3)$, hai nhánh nằm dưới trục hoành tiến về 0. Vì $f^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$ nên $f^{\prime }(x)=\frac{k}{(x-1{)}^2}$ với $k<0$; do $f^{\prime }(0)=-3$ nên $k=-3$. Suy ra $f(x)=\frac{3}{x-1}+C$. Trên $[2;4]$, $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến, giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $f(4)=1+C=6\Rightarrow C=5$. Vậy $f(x)=\frac{3}{x-1}+5$.
a) Sai: vì $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
b) Sai: $f(2)=\frac{3}{1}+5=8\ne 6$.
c) Đúng: $y=5+\frac{3}{x-1}$ nguyên khi $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, tức $x\in \{2,4,0,-2\}$ cho các điểm $(2;8),(4;6),(0;2),(-2;4)$: đúng 4 điểm nguyên.
d) Sai: khoảng cách từ $M(x,y)$ đến $\Delta :3x+y-6=0$ là $d=\frac{|3x-1+\frac{3}{x-1}|}{\sqrt{10}}$. Đặt $t=x-1<0$: $3t+\frac{3}{t}+2\le -6+2=-4$ (đẳng thức khi $t=-1$), nên $d_{\min }=\frac{4}{\sqrt{10}}$ tại $x=0$, $y=2$, tức $M(0;2)$, $a+b=2\ne -2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{3}{x-1}+5$ nên $f(2)=8\ne 6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=5+\frac{3}{x-1}$ nguyên khi $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho 4 điểm nguyên: $(2;8),(4;6),(0;2),(-2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách nhỏ nhất đạt tại $M(0;2)$ với $a+b=2\ne -2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^5-5x^2+5(m-1)x-2026$, có $f^{\prime }(x)=5(x^4-2x+m-1)$.

Ta có $y=|f(x)|$ nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ khi và chỉ khi: trên khoảng đó, tại những nơi $f(x)<0$ thì $f^{\prime }(x)\ge 0$ và tại những nơi $f(x)>0$ thì $f^{\prime }(x)\le 0$.

Xét $\phi (x)=x^4-2x$: ${\phi }^{\prime }(x)=4x^3-2=0\iff x=\alpha =2^{-1/3}\approx 0,794$, $\phi (\alpha )=-\frac{3\alpha }{2}\approx -1,1906$; $\phi$ giảm trên $(-\infty ;\alpha )$, tăng trên $(\alpha ;+\infty )$, và $\phi (x)\to +\infty$ khi $x\to -\infty$.

• Nếu $m-1>\phi (\alpha )$ (tức $m<1+\frac{3\alpha }{2}\approx 2,19$): $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại điểm $x_1<\alpha <1$. Trên $(x_1;\min (x_2;1))$ ta có $f^{\prime }<0$ mà $f$ vẫn âm (vì $f$ tăng từ $-\infty$ rồi $f(x_1)\le 0$), khi đó $|f|$ nghịch biến thành đồng biến — loại. (Kiểm tra $m=2$: $f^{\prime }(x)=5(x-1)(x^3+x^2+x-1)$, $f^{\prime }<0$ trên khoảng gần $1$ với $f(1)=5(2-407)<0$, nên $|f|$ đồng biến — loại.)

• Nếu $m-1\le \phi (\alpha )$ (tức $m\ge 2,19$, với $m$ nguyên thì $m\ge 3$): $x^4-2x+m-1\ge \phi (\alpha )+m-1\ge 0$ với mọi $x$, nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $\mathbb{R}$, tức $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khi đó $|f|$ nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ nếu $f(x)<0$ với mọi $x<1$, điều kiện đủ là $f(1)\le 0$:
$$f(1)=1-5+5(m-1)-2026=5m-2035\le 0\iff m\le 407.$$

Vậy $m\in \mathbb{Z}$, $3\le m\le 407$ (405 giá trị). Tổng:
$$S=\frac{(3+407)\cdot 405}{2}=410\cdot 202,5=83025.$$

Khớp với đáp án nguồn 83025.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$. $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-m$. Hàm số đồng biến trên $(4;+\infty )$ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x>4$, tức $m\le 3x^2-6x$ với mọi $x>4$. Xét $g(x)=3x^2-6x$ có đỉnh tại $x=1$, nên trên $(4;+\infty )$ hàm $g$ tăng dần và ${\min }_{x>4}g(x)=g(4)=48-24=24$. Vậy điều kiện là $m\le 24$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1,2,\dots ,24\}$, tập $S$ có 24 phần tử. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và trên $(2;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này. Trong các đáp án, chỉ có $(3;+\infty )\subset (2;+\infty )$ là khoảng mà hàm số nghịch biến. Các khoảng $(-2;2)$, $(-\infty ;-1)$ (chứa phần $(-2;0)$ và $(-1;0)$ nơi $f^{\prime }>0$... thực tế $(-\infty ;-1)$ chứa đoạn $(-2;-1)$ với $f^{\prime }>0$), và $(-2;0)$ đều có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến. Vậy đáp án A khớp với khóa đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$ (và trên $(-2;0)$), nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$. Các khoảng khác: $(-2;2)$ chứa điểm $x=0$ không thuộc miền xác định liên tục, $(3;+\infty )$ và $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên nghịch biến. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 12: B).

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-2x+2m$.

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )\iff f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (-1;+\infty )$

$$\iff 3x^2-2x+2m\ge 0,\forall x\in (-1;+\infty )$$

$$\iff 2m\ge -3x^2+2x,\forall x\in (-1;+\infty )$$

$$\iff m\ge -\frac{3}{2}{x}^2+x,\forall x\in (-1;+\infty )$$

Đặt $g(x)=-\frac{3}{2}{x}^2+x$ với $x\in (-1;+\infty )$. Ta có: $g^{\prime }(x)=-3x+1$.

$g^{\prime }(x)=0\iff -3x+1=0\iff x=\frac{1}{3}$



Ta có giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ là $\frac{1}{6}$.

Do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )\iff m\ge \frac{1}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(0;2)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-3;0)$ và $(2;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-3;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có A $(-3;0)$ thỏa mãn. B $(0;+\infty )$ sai vì $f^{\prime }>0$ trên $(0;2)$; C $(0;2)$ là khoảng đồng biến; D $(-\infty ;-3)$ là khoảng đồng biến.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0,\forall x\ne 2$. $\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Chọn đáp án D

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ khoảng $(0;1)$ là khoảng đồng biến. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2022, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$ (dấu + trước $x=-1$ và giữa $x=0$ và $x=1$). Trong các phương án, chỉ có khoảng $(0;1)$ mà hàm số đồng biến. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1101, Câu 6: B).