Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2793, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1234, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;2)$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $1$, trên $(2;+\infty )$ hàm số tăng từ $1$ lên $+\infty$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $y^{\prime }<0$ trên khoảng $(-1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x+1)-(x^2-x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+x-1-x^2+x+1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$.

$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$ (đều thuộc $D$).

- Trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.
- Trên $(-2;-1)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
- Trên $(-1;0)$: $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
- Trên $(0;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$; nghịch biến trên các khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.

b. Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$: $y(-2)=\frac{4+2-1}{-1}=-5$, tức điểm $A(-2;-5)$; đạt cực tiểu tại $x=0$: $y(0)=\frac{-1}{1}=-1$, tức điểm $B(0;-1)$.

Khoảng cách $AB=\sqrt{(0-(-2){)}^2+(-1-(-5){)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$. Các khoảng khác: $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$ thì $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến), còn $(-1;1)$ chứa điểm $x=0$ với $f^{\prime }(0)=0$ nên không đồng biến trên cả khoảng. Đáp án khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-3x-2$, có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$: Đúng. b) $f(-1)=-1+3-2=0\ne 3$ nên $M(-1;3)\notin (C)$: Sai. c) Trên đoạn $[-1;1]$, hàm nghịch biến nên GTNN tại $x=1$: $f(1)=1-3-2=-4$: Đúng. d) Hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{CT}=f(1)=-4\ne 1$: Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)-2=0\ne 3$, do đó $M(-1;3)\notin (C)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$ hàm nghịch biến nên $\min f=f(1)=1-3-2=-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=f(1)=-4\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, hàm không xác định tại $x=1$ (y' có dấu ||), $y^{\prime }>0$ trên $(1;2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(2;+\infty )$. Do đó hàm đồng biến trên $(1;2)$ (đáp án C). A sai vì trên $(2;+\infty )$ hàm nghịch biến; B sai vì trên $(-5;0)$ hàm nghịch biến nhưng trên $(0;1)$ đồng biến; D sai vì trên $(0;1)$ hàm đồng biến. Đáp án trùng với key đã cho (C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;1)$ (đi từ cực đại tại $x=-1$ xuống cực tiểu tại $x=1$), đồng biến trên $(1;2)$ và $(2;+\infty )$. Trong các khoảng được đưa ra, hàm số nghịch biến trên $(0;1)\subset (-1;1)$. Đáp án B, trùng với đáp án ma đề 1202.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát đồ thị của hàm số $y=f(x)$ ở hình vẽ Câu 12 (mã đề 1201):
- Cùng phía trái: đường cong đi lên từ dưới lên, cắt trục hoành tại $x=-1$, đạt cực đại tại một điểm nằm giữa $x=-1$ và gốc $O$ (đỉnh đồ thị nằm bên trái trục $Oy$), sau đó đi xuống liên tục, cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương rồi cắt trục hoành tại $x=1$, đạt cực tiểu tại $x=1$.
- Từ $x=1$ đến $x=2$: đường cong đi lên.
- Từ $x=2$ đến $x=4$: đường cong đi xuống (có gợn sóng nhỏ), đạt cực tiểu tại $x=4$.
- Từ $x=4$ trở đi: đường cong đi lên.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;x_{CD})$, $(1;2)$, $(4;+\infty )$ (với $x_{CD}$ là hoành độ điểm cực đại, $-1<x_{CD}<0$) và nghịch biến trên các khoảng $(x_{CD};1)$, $(2;4)$.

Xét các phương án:
- A. $(1;2)$: hàm số đồng biến trên khoảng này → sai.
- B. $(-1;1)$: trên khoảng $(-1;x_{CD})$ hàm số đồng biến (vì cực đại nằm giữa $-1$ và $0$), nên hàm số không nghịch biến trên toàn khoảng $(-1;1)$ → sai.
- C. $(-\infty ;-1)$: hàm số đồng biến trên khoảng này → sai.
- D. $(0;1)$: vì điểm cực đại có hoành độ $x_{CD}\in (-1;0)$ và điểm cực tiểu là $x=1$, nên trên $(0;1)$ đồ thị đi xuống liên tục, hàm số nghịch biến → đúng.

Đối chiếu với đáp án chính thức của đề (Câu 12, mã đề 1201): D. Khớp với kết quả giải độc lập.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số giảm từ $-\infty$ đến $x=-1$ (đạt cực tiểu tại $x=-1$), tăng trên $(-1;1)$ (đạt cực đại tại $x=1$), rồi giảm trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$, tương ứng phương án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 122: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ mang dấu $+$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ (và trên $(1;+\infty )$). Trong các phương án, chỉ có $(-1;0)$ thỏa mãn: A đúng; B sai vì trên $(-\infty ;-1)$ hàm nghịch biến; C sai vì trên $(0;1)$ hàm nghịch biến; D sai vì trên $(0;1)$ hàm nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-2x^2-4x=-2x(x+2)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0\iff -2x(x+2)<0\iff x(x+2)>0\iff x<-2$ hoặc $x>0$. Trong các đáp án, khoảng nghịch biến là $(-\infty ;-2)$, tương ứng đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(5;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-\infty ;-2)$ thỏa mãn, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$. Khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm trùng phương dạng bậc bốn với cực đại tại $(0;-1)$ và hai cực tiểu tại $(-1;-2)$, $(1;-2)$. Xét tính đơn điệu: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;0)$, đồng biến... cụ thể: từ $-\infty$ đến $x=-1$ hàm giảm (đi xuống tới cực tiểu), từ $-1$ đến $0$ hàm tăng (lên cực đại $(0;-1)$), từ $0$ đến $1$ hàm giảm (xuống cực tiểu $(1;-2)$), từ $1$ đến $+\infty$ hàm tăng. Vậy hàm số nghịch biến trên $(0;1)$, tương ứng đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 2346: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (dạng chữ W): hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, một điểm cực đại tại $x=0$. Do đó hàm nghịch biến trên $(0;1)$ (và $(-\infty ;-1)$), đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ $(0;1)$ là khoảng nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến) trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$; $f^{\prime }(x)<0$ (hàm nghịch biến) trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ là khoảng đồng biến. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(0;2)$, nên hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$ và $(0;2)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;2)$ thỏa mãn (đáp án B). Lưu ý $(-\infty ;2)$ và $(0;4)$ không thỏa vì hàm đổi chiều biến thiên tại $x=-2$ và $x=2$; $(-4;0)$ không phải khoảng nghịch biến vì $-4$ là giá trị của hàm số chứ không phải điểm tới hạn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=5$; $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(-2;5)$, $y^{\prime }<0$ trên $(5;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đồng biến trên khoảng từ điểm cực tiểu (khoảng $x=0$) đến điểm cực đại tại $x=2$, và nghịch biến khi $x>2$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có khoảng $(2;3)$ nằm hoàn toàn trong miền nghịch biến ($x>2$). Các khoảng $(-1;2)$, $(-2;2)$, $(1;+\infty )$ đều chứa cả phần đồng biến nên không thỏa mãn. Vậy hàm số nghịch biến trên $(2;3)$, đáp án B, trùng với đáp án của đề.