Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;3)$ và $(8;+\infty )$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;4)$ và $(4;8)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;3)$, chọn B. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, hàm số không xác định tại $x=0$ (tiệm cận đứng), $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$ và $(0;1)$ → C đúng. A sai vì trên $(-1;1)$ hàm không xác định tại $x=0$. B sai vì hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ chứ không phải $(-\infty ;-\frac{1}{2})$. D sai vì hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$. Kết quả khớp đáp án nguồn (đề 2025, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, hàm số không xác định tại $x=0$ (tiệm cận đứng), $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, $y^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Xét các mệnh đề: A sai vì hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ chứ không phải $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$. B đúng vì $y^{\prime }<0$ trên cả hai khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$. C sai vì hàm nghịch biến trên $(0;1)$. D sai vì hàm không nghịch biến trên toàn $(-1;1)$ do có tiệm cận đứng tại $x=0$ (không liên tục). Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 1025, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-2;1)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Các khoảng khác $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$. Các khoảng khác: $(-2;1)$ hàm đồng biến, $(-2;3)$ và $(-\infty ;-1)$ không phải khoảng nghịch biến. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(3;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(3;+\infty )$ xuất hiện, tương ứng với phương án B. Các khoảng còn lại đều chứa điểm mà $f^{\prime }(x)\le 0$ (ví dụ $(0;3)$ thì $f^{\prime }<0$).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí $T(x)=50000+5x$, nên $M(x)=\frac{T(x)}{x}=5+\frac{50000}{x}$ với tập xác định $D=[1;+\infty )$ (a đúng). Vì $M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$, hàm số nghịch biến trên $[1;+\infty )$ (b sai). Do nghịch biến nên $M(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD (c đúng). Khi $x\to +\infty$, $\frac{50000}{x}\to 0$ nên $M(x)\to 5$, tức chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$T(x)=50000+5x$ nên $M(x)=5+\frac{50000}{x}$, xác định với $x\ge 1$, tức $D=[1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M^{\prime }(x)=-\frac{50000}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$, nên $M(x)$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M(x)$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$: $M(1)=5+50000=50005$ USD.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }M(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(5+\frac{50000}{x}\right)=5$, nên khi $x$ đủ lớn chi phí trung bình xấp xỉ 5 USD/sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có $(0;1)$ thỏa mãn (khoảng $(-1;1)$ không thỏa vì hàm đồng biến trên $(-1;0)$; $(-1;0)$ là khoảng đồng biến; $(0;+\infty )$ không thỏa vì hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$). Đáp án khớp với mã đề 102, câu 10: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-x^2+2mx-(6m+40)$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\le 0$ với mọi $x$, tức $x^2-2mx+6m+40\ge 0$ với mọi $x$. Điều kiện: ${\Delta }^{\prime }=m^2-(6m+40)\le 0\iff m^2-6m-40\le 0\iff (m-10)(m+4)\le 0\iff -4\le m\le 10$. Các giá trị nguyên của $m$: từ $-4$ đến $10$, gồm $10-(-4)+1=15$ giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn là 15.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ khoảng $(0;1)$ thỏa mãn, nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số không có cực trị (loại A, B) và không nghịch biến (loại D). Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên cả hai khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng đó. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty )$ (khẳng định C đúng). Các khẳng định A, D sai vì $(0;3)$ chứa điểm $x=1$ mà hàm không xác định; B sai vì hàm nghịch biến (không đồng biến) trên $(-\infty ;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ ($y=1$), cực tiểu tại $x=2$ ($y=-2$), cực đại tại $x=4$ ($y=3$). Do đó hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;4)$, nghịch biến trên $(0;2)$ và $(4;+\infty )$. Xét các khẳng định: A sai vì trên $(-2;1)$ hàm đồng biến trên $(-2;0)$ nhưng nghịch biến trên $(0;1)$. B sai vì trên $(0;3)$ hàm nghịch biến trên $(0;2)$ rồi đồng biến trên $(2;3)$. C sai vì trên $(2;3)$ hàm đồng biến. D đúng vì trên $(1;2)$ hàm nghịch biến (nằm trong khoảng nghịch biến $(0;2)$).

Chọn C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ khi $f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff (x-1)(x-m)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff x^2-(m+1)x+m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff \{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta =(m+1{)}^2-4m\le 0\end{array}$ $\iff m^2-2m+1\le 0$ $\iff (m-1{)}^2\le 0\iff m-1=0\iff m=1$.

a) Đúng: $C(x)=0,0005x^2+0,15x+5$. b) Sai: $C(100)=25$ triệu đồng. c) Đúng: $\overline{C}(x)=0,0005x+0,15+\frac{5}{x}$. d) Đúng: ${\overline{C}}^{\prime }(x)=\frac{5}{10^4}-\frac{5}{x^2}=0\iff x=100$; $\overline{C}(x)$ nghịch biến trên $(0;100)$.
a) Đúng: Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên $C(x)=0,0005x^2+0,15x+5$ (triệu đồng).
b) Sai: Khi $x=100$, ta có $C(100)=0,0005\times 100^2+0,15\times 100+5=25$.
c) Đúng: Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là $$\overline{C}(x)=\frac{0,0005x^2+0,15x+5}{x}=0,0005x+0,15+\frac{5}{x}.$$
d) Đúng: Xét hàm số $\overline{C}(x)=0,0005x+0,15+\frac{5}{x}$, $0<x\le 200$. Ta có ${\overline{C}}^{\prime }(x)=\frac{5}{10^4}-\frac{5}{x^2}$, ${\overline{C}}^{\prime }(x)=0\iff x^2=10^4\Rightarrow x=100$ (do $x\in (0;200]$). Bảng biến thiên: Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số $\overline{C}(x)$ nghịch biến, tức là $x\in (0;100)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $H(v)=33(10\sqrt{v}-v+10,45)$ với $v>0$. Ta có $H^{\prime }(v)=33\left(\frac{5}{\sqrt{v}}-1\right)$. Tốc độ mất nhiệt tăng khi $H^{\prime }(v)>0\iff \frac{5}{\sqrt{v}}>1\iff \sqrt{v}<5\iff 0<v<25$. Vậy $H$ tăng trên $(0;25)$, tức $a=0,b=25$ và $a+b=25$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+m^2}{x+2025}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2025\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+2025)-(x+m^2)}{(x+2025{)}^2}=\frac{2025-m^2}{(x+2025{)}^2}$. Vì $(x+2025{)}^2>0$ trên mỗi khoảng xác định, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi $2025-m^2>0$, tức $m^2<2025$, suy ra $-45<m<45$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-44,-43,\dots ,43,44\}$, gồm $44+44+1=89$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;3)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$, tương ứng đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên các khoảng đó. Trong các phương án, chỉ có $(3;+\infty )$ xuất hiện, tương ứng phương án B. (Lưu ý $(-\infty ;1)$, $(-1;3)$ là các khoảng nghịch biến hoặc sai, $(-3;+\infty )$ không phải khoảng đồng biến.) Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

Chọn A
Đặt $t=\sqrt{x^2-4x}$. Khi $x\in (-4;-1)$, ta có $t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$.
Ta có ${\left(\sqrt{x^2-4x}\right)}^{\prime }=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}}<0,\forall x\in (-4;-1)$.
Do đó hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-4x+m+2+3\sqrt{x^2-4x}}{\sqrt{x^2-4x}+2}$ nghịch biến trên khoảng $(-4;-1)$
$\iff$ Hàm số $y=g(t)=\frac{t^2+3t+m+2}{t+2}$ đồng biến trên khoảng $\left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$
$\iff g^{\prime }(t)=\frac{t^2+4t+4-m}{(t+2{)}^2}\ge 0,\forall t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$
$\iff t^2+4t+4-m\ge 0,\forall t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)\iff m\le t^2+4t+4,\forall t\in \left(\sqrt{5};4\sqrt{2}\right)$
$\iff m\le 9+4\sqrt{5}\approx 17,9$.
Vậy có 17 giá trị nguyên dương của $m$.