Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Lập bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:

Dựa vào bảng xét dấu, hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

Từ bảng biến thiên, ta có $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x\in (1;+\infty )$ (dấu '=' chỉ xảy ra tại $x=3$), do đó hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$. Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2(m+1)x+m^2+2m=(x-m)(x-m-2)$. Nghiệm của $y^{\prime }=0$ là $x=m$ và $x=m+2$. Để hàm số đồng biến trên $(1;5)$ thì khoảng $(1;5)$ không được giao với khoảng $(m;m+2)$, tức là $m+2\le 1\iff m\le -1$ hoặc $m\ge 5$. Kết hợp $m\in [-100;100]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có: $m\in \{-100;-99;\dots ;-1\}$ (100 giá trị) hoặc $m\in \{5;6;\dots ;100\}$ (96 giá trị). Tổng số giá trị nguyên của $m$ là $100+96=196$.


Chọn D.

Ta có $f^{\prime }(x)>0\iff (x+1)(2-x)>0\iff -1<x<2$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;2)$. Vì $0<1<2$ nên $f(0)<f(1)<f(2)$. Chọn D.

Xét hàm số $y=3x^3+3x-2$, ta có $y^{\prime }=9x^2+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Chọn C.

Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.

Xét hàm số $y=x^3+x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=3x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy hàm số $y=x^3+x$ đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.

Dựa vào đồ thị, trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Chọn D.

Đồ thị $f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba $f^{\prime }(x)=x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2{)}^2$. Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x+1)-\frac{8x}{4x^2+1}-2m\le 0,\forall x\in \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\iff m\ge f^{\prime }(2x+1)-\frac{4x}{4x^2+1}$. Đặt $t=2x+1\in (0;2)$, khảo sát hàm số tìm được giá trị lớn nhất bằng 5. Do đó $m\ge 5$. Với $m\in (-2023;2023)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{5;6;\dots ;2022\}$. Số giá trị nguyên của $m$ là $2022-5+1=2018$. Chọn C.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, ta thấy $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x\in (-1;+\infty )$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm rời rạc $x=0$ và $x=2$). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$.

Ta có $g(x)=0\iff f^{\prime }(x^3+2)=0\iff x\in \{-2;0;2;3\}$.

Suy ra các nghiệm của $f^{\prime }(u)=0$ là:
- $x=-2\Rightarrow u=(-2{)}^3+2=-6$.
- $x=0\Rightarrow u=0^3+2=2$.
- $x=2\Rightarrow u=2^3+2=10$.
- $x=3\Rightarrow u=3^3+2=29$.

Xét hàm số $h(x)=f(x-m)\Rightarrow h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-m)$.
$h^{\prime }(x)=0\iff x-m\in \{-6;2;10;29\}\iff x\in \{m-6;m+2;m+10;m+29\}.$

Vì hệ số cao nhất dương và đạo hàm đổi dấu khi qua các nghiệm đơn, hàm số $h(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;m-6)$ và $(m+2;m+10)$.

Để hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ thì $(-\infty ;0)\subset (-\infty ;m-6)\iff m-6\ge 0\iff m\ge 6$.

Kết hợp $m\in [-2023;2023]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{6;7;\dots ;2023\}$, có $2023-6+1=2018$ giá trị nguyên thỏa mãn.

**Chọn B**

f '( x) = x 2 (1 - x 2 ) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1 .
Vậy hàm số nghịch biến trên ( -1;0 )

**Chọn D**

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;3) .

**Chọn C**

(

)

(

)

Đặt f ( x ) = 12x - (15m + 30) x + 20x - 30 m - 4m + 3 x +120 m +1 x + 2023 + m .
5

4

3

2

2

2

f ' ( x ) = 60x4 - 60 ( m + 2) x3 + 60x2 - 60 ( m2 - 4m + 3) x +120 ( m2 +1)

[x = 2
f '( x) = 0 ⇔ 3
2
2
] x - mx + ( -2m + 1) x - m - 1 = 0.

(1)

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) suy ra y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) hoặc nghịch
biến trên khoảng (1;3)

⇒ x = 2 không là cực trị của hàm số f ( x )
⇒ x = 2 là nghiệm của phương trình (1 ) .

*Điều kiện cần: x = 2 là nghiệm của phương trình (1 )

[m = 1
8 - 4m - 4m + 2 - m 2 - 1 = 0 ⇔ -m 2 - 8m + 9 = 0 ⇔
] m = -9.
*Điều kiện đủ:
f ' ( x ) = 60 ( x - 2 )2 ( x 2 + x + 1) ≥ 0, ∀ x ∈ (1; 3 )

Với m = 1 . Khi đó

f (1) = 2251 > 0

suy ra hàm số y = f ( x )

đồng biến trên (1;3) .
f ' ( x ) = 60 ( x - 2 )2 ( x 2 + 11x + 41) ≥ 0, ∀ x ∈ (1; 3 )

Vớ m = - 9 . Khi đó

f (1) = 8391 > 0

suy ra hàm số

y = f ( x ) đồng biến trên (1;3) .
Vây m = 1; m = -9 nên có 2 giá trị nguyên thoả mãn.

a a

Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(2;3)$, do đó hàm số nghịch biến trên $(2;3)$. Chọn D.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{m\}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{-m^2+4}{(x-m{)}^2}$. Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )\iff \{\begin{array}{l}-m^2+4<0\\ m\notin (0;+\infty )\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2>4\\ m\le 0\end{array}\iff m<-2$. Vì $m\in (-6;6)$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-5,-4,-3\}$, có 3 giá trị nguyên. Chọn A.

Ta có $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(2-x)-x+1=-[f^{\prime }(2-x)-(1-x)]$. Đặt $t=2-x\Rightarrow 1-x=t-1$. Khi đó $g^{\prime }(x)\le 0\iff f^{\prime }(t)\ge t-1$. Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(t)$ và đường thẳng $y=t-1$, ta xác định các khoảng nghịch biến của hàm số, suy ra hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$. Chọn B.

Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-3{)}^4(2-x)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=3\\ x=2\end{array}\right]$.



Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;2)$, do đó đồng biến trên khoảng $(1;2)$.