Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \{m\}$.

- **Trường hợp 1:** $m<10$.

Để hàm số đồng biến trên $(-5;5]$ thì $5<m<10$.

- **Trường hợp 2:** $m>10$.

Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;10)$ nên không thể đồng biến trên $(-5;5]$.

Vậy $5<m<10$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{6;7;8;9\}$ (có $4$ giá trị nguyên).

Phương trình tương đương với $g(x)=2^{xy}+{\log }_2(xy)+\frac{30-10y}{x}=y^4+15y$ $(1)$.

- Với $y\in \{1;2\}$: thử trực tiếp đều tồn tại $x>1$ thỏa mãn phương trình.
- Với $y\ge 3$: hàm số $g(x)$ có $g^{\prime }(x)=y\cdot 2^{xy}\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}+\frac{10y-30}{x^2}>0,\forall x>1$ nên $g(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$.

Do ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$, phương trình $(1)$ có nghiệm $x>1$ khi và chỉ khi $g(1)<y^4+15y\iff 2^y+{\log }_{2}y-25y+30-y^4<0$.

Xét $h(y)=2^y+{\log }_{2}y-25y+30-y^4$ với $y\in \mathbb{Z},y\ge 3$: ta có $h(y)<0$ với mọi $y\in \{3;4;\dots ;16\}$ và $h(y)>0$ với mọi $y\ge 17$.

Vậy $y\in \{1;2;\dots ;16\}$, có tất cả $16$ giá trị nguyên dương $y$ thỏa mãn.

Xét hàm số $y=x^3+3x+2$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=3x^2+3>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Dựa vào bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(0;1)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2)=0\iff x=-2$ hoặc $x=1$.
Tam thức bậc hai $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (-2;1)$.
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;1)$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$.

Vì $f^{\prime }(x)>0,\forall x\in (-1;0)$ nên hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.

Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2+3x-4\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2-6x+3=3(x-1{)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$, dấu bằng chỉ xảy ra tại điểm $x=1$. Do đó hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Do đó chọn khoảng $(0;1)$. Chọn B.

**Chọn D**
Ta có f ' ( x ) = 3 x 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.
Nên hàm số đã cho đồng biến trên ℝ .

**Chọn D**

**Chọn A**
Do f ” ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ nên f ' ( x ) nghịch biến trên ( -∞; +∞ ) . Mà f ' ( 2023) = 0 nên x = 2023
là nghiệm duy nhất của phương trình f ' ( x ) = 0 .
-2
Ta có h ' ( x ) =2 ( cot x - 1) f ' ( cot 2 x - 2 cot x + 2024 ) = 0
sin x
[cot x - 2 cot x + 2024 = 2023
2
[cot 2 x - 2 cot x + 1 = 0 π
   cot x = 1  x = + kπ .
] cot x = 1 ] cot x = 1 4
Bảng biến thiên:

(π (
Từ bảng biến thiên, ta thấy được h ( x ) nghịch biến trên ; π nên h (1)  h ( 2 )
)4 )
 h (1) - h ( 2 )  0 .

24

Dựa vào bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Do khoảng $(-2;-1)\subset (-\infty ;-1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;-1)$. Chọn B.

Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)$, do đó dấu của $g^{\prime }(x)$ cùng dấu với $f^{\prime }(x)$. Từ bảng biến thiên, hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $(1;3)$. Vì khoảng $\left(\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)\subset (1;3)$ nên hàm số $g(x)$ nghịch biến trên $\left(\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)$. Chọn A.

Ta có $f^{\prime }(x)=x^2+2mx+4$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=m^2-4\le 0\iff -2\le m\le 2$.

Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1;2\}$. Có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$.

Xét hàm số $f(x)=2x^3-3(2m+3)x^2+6m(m+3)x$, ta có $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)=6[x^2-(2m+3)x+m(m+3)]=0\iff \left[\begin{array}{c}x=m\\ x=m+3\end{array}\right]$.



- **Trường hợp 1:** $0<m<m+3$. Để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ thì $m\ge 2$.
- **Trường hợp 2:** $m\le 0<m+3$. Để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ thì $m+3\ge 2\iff -1\le m\le 0$.
- **Trường hợp 3:** $m<m+3\le 0\iff m\le -3$. Khi đó hàm số $y=|f(x)|$ luôn đồng biến trên khoảng $(0;2)$.

Vậy $m\in (-\infty ;-3]\cup [-1;0]\cup [2;+\infty )$, kết hợp $m\in [-20;20]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có $39$ giá trị nguyên thỏa mãn.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).