Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Do đó chọn A.

Ta có $(x+1{)}^2\ge 0$, do đó $f^{\prime }(x)<0⟺(x-2)(x+5)<0$ và $x\ne -1⟺x\in (-5;2)\setminus \{-1\}$. Vì $(-4;-2)\subset (-5;-1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-4;-2)$.

Ta có $3^x(x+1)=27^{y}y=(3^3{)}^{y}y=3^{3y}y⟺3^{x+1}(x+1)=3^{3y}(3y)$. Xét hàm số $f(t)=3^t\cdot t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, do đó $x+1=3y⟺x=3y-1$. Vì $0<x\le 2023⟺0<3y-1\le 2023⟺\frac{1}{3}<y\le \frac{2024}{3}\approx 674,67$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1,2,\dots ,674\}$, có 674 giá trị $y$, mỗi giá trị $y$ cho đúng một giá trị $x$ nguyên dương. Vậy có 674 cặp $(x;y)$ thỏa mãn.

Xét hàm số $g(x)=f(x-1)+2023$. Để hàm số $y=|g(x)|$ nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ thì cần $g(x)\ge 0$ và $g^{\prime }(x)\le 0$ với mọi $x\in (-\infty ;2)$ hoặc các trường hợp nghiệm đổi dấu tương đương. Xét các điều kiện đạo hàm và dấu của tam thức, ta tìm được đúng 2005 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 2000, trang 8), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án B.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(-1;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.

a) Dựa vào đồ thị, hàm số $f(x)=x^3-3x+1$ đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. (Đúng)
b) Trên khoảng $(1;3)\subset (1;+\infty )$, hàm số đồng biến nên $f^{\prime }(x)=3x^2-3>0$. (Đúng)
c) Phương trình $f(x)=0$ có $3$ nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ có $3$ đường tiệm cận đứng và $1$ đường tiệm cận ngang $y=0$, tổng cộng $4$ đường tiệm cận. (Sai)
d) Ta có $h^{\prime }(x)=-f^{\prime }(2025-x)$. Tại $x_0=2024$, ta có $2025-x_0=1$. Khi $x$ đi qua $2024$ thì $h^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x_0=2024$ là điểm cực tiểu của hàm số $h(x)$. (Sai)

Quan sát đồ thị, trên khoảng $(0;1)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.

Ta có $y^{\prime }=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)>0\iff x>3$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(3;+\infty )$. Chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)<0\iff x^3(x+2)<0$ (với $x\ne 1$) $\iff -2<x<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$. Chọn A.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2-2mx+4m+9\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=m^2+3(4m+9)\le 0\iff m^2+12m+27\le 0\iff -9\le m\le -3$. Có $7$ giá trị nguyên của $m$. Chọn C.

Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(2x+7)<0\iff -1<2x+7<0$ hoặc $2x+7>1\iff -4<x<-\frac{7}{2}$ hoặc $x>-3$. Do $(-3;0)\subset (-3;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên $(-3;0)$. Chọn B.

a) Sai: Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{-m-2\}$.
b) Đúng: Với $m=2$, $y^{\prime }=\frac{m^2+2m-3}{(x+m+2{)}^2}=\frac{5}{(x+4{)}^2}>0,\forall x\ne -4$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
c) Đúng: Với $m=0$, $y=\frac{3}{x+2}$ có $y^{\prime }=\frac{-3}{(x+2{)}^2}<0,\forall x\ne -2$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
d) Sai: Theo đáp án chính thức của đề, mệnh đề d sai.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 33, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 14 (C), Mã đề 103 Câu 13 (B), Mã đề 104 Câu 30 (B); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 33, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 31 (D), Mã đề 103 Câu 8 (D), Mã đề 104 Câu 10 (D); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$.
$y^{\prime }=0\iff 3x^2-3=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số $y=x^3-3x+2$ đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$.
Chọn đáp án D.

[IMAGE:img_1]

Dựa vào đồ thị, trên khoảng $(0;2)$ đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.
Chọn đáp án D.

Đặt $g(x)=x^3-3(m+2)x^2+3m(m+4)x+5\Rightarrow g^{\prime }(x)=3x^2-6(m+2)x+3m(m+4)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=m</td></tr><tr><td>x=m+4</td></tr></tbody></table>$.
Để hàm số $y=|g(x)|$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$ thì điều kiện cần và đủ là:
$[<table><tbody><tr><td>\{\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (1;3)</td></tr><tr><td>g(1)\le 0\end{array}</td></tr><tr><td>\{\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (1;3)</td></tr><tr><td>g(1)\ge 0\end{array}</td></tr></tbody></table>$.
- Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}m\le 1<3\le m+4\\ g(1)=3m^2+9m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1\le m\le 1\\ -3\le m\le 0\end{array}\iff -1\le m\le 0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0\}$ ($2$ giá trị).
- Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}[<table><tbody><tr><td>m\ge 3</td></tr><tr><td>m+4\le 1</td></tr></tbody></table>\\ g(1)=3m^2+9m\ge 0\end{array}\iff [<table><tbody><tr><td>m\ge 3</td></tr><tr><td>m\le -3</td></tr></tbody></table>$. Kết hợp $m\in [-8;8]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{-8;-7;-6;-5;-4;-3;3;4;5;6;7;8\}$ ($12$ giá trị).
Vậy có tất cả $2+12=14$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 378, trang 7), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị, trên khoảng $(0;2)$ đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$.

Chọn B
Vì $(x+2{)}^2\ge 0,\forall x$ nên dấu của $f^{\prime }(x)$ cùng dấu với $x-1$.
$f^{\prime }(x)>0\iff x>1$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.