Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d: $\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}$. Thử từng điểm: A(2;1;1): $\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}$, $\frac{1+1}{1}=2$, $\frac{1-3}{1}=-2$ → không bằng nhau. B(3;1;-3): $3$, $2$, $-6$ → không thuộc. C(-2;-1;-1): $\frac{1}{2}$, $0$, $-4$ → không thuộc. D(1;1;5): $\frac{1+3}{2}=2$, $\frac{1+1}{1}=2$, $\frac{5-3}{1}=2$ → cả ba tỉ số đều bằng 2, nên D thuộc d (với $t=2$: $x=-3+4=1$, $y=-1+2=1$, $z=3+2=5$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;0;2)=2\cdot (-1;0;1)$. Chọn $\vec{u}=(-1;0;1)$ và điểm $A(2;1;0)$, phương trình tham số: $x=2-t,y=1,z=t$. Kiểm tra: $t=0$ cho $A(2;1;0)$; $t=-2$ cho $B(0;1;2)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }=(4;2;3)$. Vì d song song với Δ nên ${\vec{u}}_d=(4;2;3)$. d đi qua A(4;−2;2) nên phương trình chính tác: $\frac{x-4}{4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-2}{3}$. Khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=0$ vào phương trình tham số của $\Delta$: $x=3$, $y=1$, $z=0$ nên $M(3;1;0)$ thuộc $\Delta$. Kiểm tra các điểm khác: $N(3;1;2)$ yêu cầu $t=0$ (từ $x,y$) nhưng $z=2t=0\ne 2$, loại; $P(-1;3;2)$: từ $x=3-t=-1\Rightarrow t=4$, khi đó $y=1+12=13\ne 3$, loại; $Q(-1;-3;0)$: $t=4\Rightarrow y=13\ne -3$, loại.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng dạng chính đi qua điểm $(x_0;y_0;z_0)$ khi phương trình có dạng $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$. Với $A(3;-3;2)$, cần dạng $\frac{x-3}{a}=\frac{y+3}{b}=\frac{z-2}{c}$.
- A: $\frac{x-3}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+2}{2}$ có $z+2$ thay vì $z-2$, đi qua $(3;-3;-2)$, loại.
- B: có $x+3,y-3,z+2$, đi qua $(-3;3;-2)$, loại.
- C: $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-2}{2}$ đi qua $(3;-3;2)$, thỏa mãn.
- D: đi qua $(-1;3;-5)$, loại.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm M nằm trên d khi tồn tại t sao cho $x=1+2t,y=3-t,z=1-t$. Thử phương án B: $M(-3;5;3)$. Từ $x=-3\Rightarrow 1+2t=-3\Rightarrow t=-2$. Khi đó $y=3-(-2)=5$ và $z=1-(-2)=3$, khớp với tọa độ của M. Vậy d đi qua điểm $M(-3;5;3)$. Các phương án khác không cho ra cùng một giá trị t ở cả ba phương trình (ví dụ A: $x=1\Rightarrow t=0$ nhưng $z=1\ne -1$; C: $x=3\Rightarrow t=1$ nhưng $y=2\ne 5$; D: $x=1\Rightarrow t=0$ nhưng $y=3\ne 2$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;-2)$ có phương trình chính tắc $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-2}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{MN}=(8-0;7-(-5);8-5)=(8;12;3)$. Một vecto chỉ phương bất kỳ của $d$ phải cùng phương với $\overrightarrow{MN}$. Xét các đáp án: $\vec{u}=(-8;-12;-3)=-(8;12;3)$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$, nên thỏa mãn. Các đáp án A, B, D không cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ (ví dụ $8\cdot 2-12\cdot 6\ne 0$ với B). Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;1;1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;3)$ có phương trình tham số: $x=1+t$, $y=1+2t$, $z=1+3t$. Đây chính là đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-1;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;3)$ nên có phương trình chính tắc:
$$\frac{x-(-1)}{1}=\frac{y-0}{-1}=\frac{z-2}{3}⟺\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{3}.$$
So sánh với các phương án, ta thấy khớp với đáp án B. Kiểm tra: thay $A(-1;0;2)$ vào phương trình B, cả ba tỉ số đều bằng $0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ với $(x_0;y_0;z_0)$ là tọa độ điểm và $(a;b;c)$ là tọa độ vectơ chỉ phương, các mẫu số phải là hằng số khác 0. Xét các phương án: A có mẫu $z$ (biến) ở phân thức $\frac{y-1}{z}$ nên sai; C có mẫu $z$ ở $\frac{z-5}{z}$ nên sai; D có mẫu $y$ ở $\frac{x-1}{y}$ nên sai. Phương án B: $\frac{x-9}{7}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-6}{-2}$ có điểm $(9;8;6)$ và vectơ chỉ phương $(7;-1;-2)$, các mẫu đều là hằng số khác 0, đây là phương trình chính tắc hợp lệ.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+3}{1}$ có vecto chỉ phương là các hệ số trong mẫu: $\vec{u}=(-1;2;1)$. So với các đáp án, ${\vec{u}}_3=(-1;2;1)$ trùng khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+3}{2}$ đi qua điểm $M(2;-1;-3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-1;2)$. Do đó điểm $M(2;-1;-3)$ thuộc $d$. Kiểm tra các điểm khác: $N(-2;1;3)$: $\frac{-2-2}{3}=-\frac{4}{3}\ne \frac{1+1}{-1}=-2$, loại. $P(5;-2;1)$: $\frac{5-2}{3}=1\ne \frac{-2+1}{-1}=1$ bằng nhau nhưng $\frac{1+3}{2}=2\ne 1$, loại. $Q(-1;0;5)$: $\frac{-1-2}{3}=-1\ne \frac{0+1}{-1}=-1$ bằng nhau nhưng $\frac{5+3}{2}=4\ne -1$, loại. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1+2t,y=3t,z=-2+t$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $(1;0;-2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;1)$. Do đó phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+2}{1}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(x;y;z)$ thuộc $\Delta$ khi tồn tại $t$ sao cho $x=1+2t,y=-1+3t,z=2-t$. Thử từng phương án: A $(2;3;-1)$: $t=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$ nhưng $y=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\ne 3$, loại. B $(-1;-4;3)$: từ $x=-1\Rightarrow t=-1$; khi đó $y=-1+3(-1)=-4$ và $z=2-(-1)=3$, thỏa cả ba phương trình. C $(-1;1;-2)$: $t=-1$ cho $y=-4\ne 1$, loại. D $(2;-2;4)$: $t=\frac{1}{2}$ cho $y=\frac{1}{2}\ne -2$, loại. Vậy điểm thuộc $\Delta$ là $(-1;-4;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-7}{5}$ đi qua điểm $(1;-3;7)$ với $t=0$. Thử từng điểm: $M(1;-3;5)$: $\frac{0}{3}=\frac{0}{-2}=0\ne \frac{5-7}{5}=-\frac{2}{5}$, loại. $N(2;-1;7)$: $\frac{1}{3}\ne \frac{2}{-2}=-1$, loại. $P(1;-3;7)$: $\frac{0}{3}=\frac{0}{-2}=\frac{0}{5}=0$, thỏa mãn. $Q(3;-5;7)$: $\frac{2}{3}\ne \frac{-2}{-2}=1$, loại. Vậy điểm thuộc $\Delta$ là $P(1;-3;7)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $O(0;0;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;3;2)$ có phương trình tham số: $x=t,y=3t,z=2t$ ($t\in \mathbb{R}$). Kiểm tra: tại $t=0$ điểm là $O$, hệ số tương ứng với $\vec{u}$. Phương án D khớp; A là điểm cố định, B có vectơ chỉ phương $(-1;-2;-3)$, C có vectơ $(0;3;2)$. Khớp đáp án nguồn (mã đề 211: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z+1}{1}$ đi qua điểm $(4;2;-1)$ (từ mẫu số $x-4$, $y-2$, $z+1$). Thử từng điểm: $Q(2;5;1)$ cho $\frac{2-4}{2}=-1$, $\frac{5-2}{-5}=-\frac{3}{5}$, không khớp. $M(4;2;1)$ cho $\frac{1+1}{1}=2\ne 0$, không khớp. $P(2;-5;1)$ không thỏa. $N(4;2;-1)$ cho cả ba tỉ số bằng $0$, nên $N\in d$. Đáp án khớp với mã đề 211: D.