Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc bù của nó), nên $\cos \phi =\frac{\left|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\right|}{\left|{\vec{n}}_1\right|\left|{\vec{n}}_2\right|}$ vì $0^{\circ }\le \phi \le 90^{\circ }$ nên $\cos \phi \ge 0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=-4+t$, $y=9-t$. Thử từng điểm: với $(-4;9)$, lấy $t=0$ thì $x=-4+0=-4$, $y=9-0=9$ nên điểm này thuộc $d$. Các điểm khác: $(9;4)$ cần $t=13$ từ $x$ nhưng $y=9-13=-4\ne 4$; $(-1;1)$ cần $t=3$ nhưng $y=9-3=6\ne 1$; $(1;-1)$ cần $t=5$ nhưng $y=9-5=4\ne -1$. Vậy chỉ điểm $(-4;9)$ thuộc $d$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 0102).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. d2: -2x+y+12=0 có vectơ pháp tuyến n=(-2;1), nên vectơ chỉ phương phải là u=(1;2) (hoặc (-1;-2)), không phải u1=(-2;1). b) Đúng. Thay M(3;-1) vào d1: 3+2(-1)-1=0, nên M thuộc d1. c) Đúng. d1 có hệ số góc k1=-1/2, d2 có hệ số góc k2=2, và k1·k2=-1 nên d1 vuông góc d2 (tương đương a1·a2=1·(-2)+2·1=0). d) Đúng. Giải hệ x+2y-1=0 và -2x+y+12=0: từ phương trình đầu x=1-2y, thay vào: -2(1-2y)+y+12=0 ⟹ 5y+10=0 ⟹ y=-2, x=5. Giao điểm duy nhất là M(5;-2). Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 0102 (a S, b Đ, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
d2 có vectơ pháp tuyến n=(-2;1) nên vectơ chỉ phương là u=(1;2), không phải (-2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
3+2(-1)-1=0 nên M(3;-1) thuộc d1.
c) (AI giải đề cho tôi)
a1·a2=1·(-2)+2·1=0 nên d1 vuông góc d2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được y=-2, x=5, giao điểm duy nhất M(5;-2).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d$ song song với $d^{\prime }:x+3y-1=0$ và có dạng $ax+3y+c=0$ nên $a=1$. Đường thẳng $d:x+3y+c=0$ qua $M(1;1)$ nên $1+3+c=0\Rightarrow c=-4$. Vậy $S=a+c=1+(-4)=-3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-4y+3=0$ có vecto pháp tuyến dạng $(a;b)=(2;-4)$. Nhân với $\frac{1}{2}$ ta được $(1;-2)$, vẫn là một vecto pháp tuyến của $d$. Kiểm tra các đáp án: $(-2;3)$ có $(-2)(2)+3(-4)=-16\ne 0$... thực chất chỉ cần vecto cùng phương với $(2;-4)$: $(1;-2)=\frac{1}{2}(2;-4)$ thỏa mãn. Vậy đáp án B, trùng với bảng đáp án (mã đề 0102, câu 2: B).

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Vì hình chữ nhật ABCD với chiều dài $AD=14$ m, chiều rộng $AB=10$ m và độ dài các đoạn thẳng $AE=5$ m, $CF=6$ nên ta tìm được tọa độ $A(0;10),B(0;0),C(14;0),D(14;10),E(5;10),F(14;6)$. Đường thẳng EF đi qua $E(5;10),F(14;6)$ nên có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{EF}(9;-4)$, từ đó có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}(4;9)$. Khi đó phương trình của đường thẳng $EF$ là $4(x-5)+9(y-10)=0$ hay $4x+9y-110=0$. Suy ra phương trình đoạn thẳng $EF$ là $4x+9y-110=0$ với $5\le x\le 14$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với đường thẳng $EF$. Khi đó đường thẳng $\Delta$ có phương trình dạng $9x-4y+c=0$. Do điểm $B(0;0)\in \Delta$ nên tìm được $c=0$, suy ra đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $9x-4y=0$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên đường thẳng $EF$. Khi đó tọa độ $H$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}4x+9y-110=0\\ 9x-4y=0\end{array}$. Giải hệ ta được: $\{\begin{array}{l}x=\frac{440}{97}\approx 4,54\\ y=\frac{990}{97}\approx 10,2\end{array}$ Nên $H\left(\frac{440}{97};\frac{990}{97}\right)$. Ta có điểm $H$ không thuộc đoạn thẳng $EF$. Vậy điểm $E$ nằm trong khu vực nuôi vịt gần gốc tọa độ $B$ nhất, và $BE=\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt{5}\approx 11,18$. Hơn nữa theo giả thiết An đứng ở vị trí $B$ câu cá và có thể quăng lưới câu xa 10,5m < 11,18m. Vậy lưới câu không thể vào nơi nuôi vịt được.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\Delta }=(1;-2)$, suy ra vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1)$. Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ phải có vectơ pháp tuyến cùng phương với ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1)$. Xét các phương án: A có $\vec{n}=(1;2)$, tích vô hướng $1\cdot 1+2\cdot (-2)=-3\ne 0$; B có $\vec{n}=(2;1)$, tích vô hướng $1\cdot 2+(-2)\cdot 1=0$ nên vuông góc; C có $\vec{n}=(2;-1)$, tích $2+2=4\ne 0$; D có $\vec{n}=(2;-4)$ cùng phương với ${\vec{n}}_{\Delta }$ nên song song với $\Delta$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và $d_2:-3x+6y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương, do đó $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau. Xét hệ số tự do: $\frac{1}{-10}\ne -3=\frac{-3}{1}=\frac{6}{-2}$, tức $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$, nên hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Ví dụ điểm $(-1;0)$ thuộc $d_1$ nhưng thay vào $d_2$: $3+0-10=-7\ne 0$. Vậy $d_1$ và $d_2$ song song, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1$, $b=-2$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(1;-2)$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $d_2:6x-2y-2=0$ chia hai vế cho 2 ta được $3x-y-1=0$, trùng với phương trình của $d_1$. Vậy hai đường thẳng trùng nhau. Đáp án C, khớp với bảng đáp án (mã đề 0101, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 0101): $d_1:2x-y+1=0\iff y=2x+1$ và $d_2:-2x+y+4=0\iff y=2x+4$. a) Hai đường thẳng có cùng hệ số góc $k=2$ nhưng $1/4\ne 2/(-2)$ tỉ số hệ số không khớp hệ số tự do, nên $d_1\parallel d_2$: Đúng. b) Thay $M(1;2)$ vào $d_2$: $-2(1)+2+4=4\ne 0$, nên $M$ không thuộc $d_2$: Sai. c) Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}(2;-1)$, vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}(1;2)$; do đó $(2;-1)$ là pháp tuyến chứ không phải chỉ phương: Sai. d) Vì $d_1\parallel d_2$ nên hai đường thẳng không có điểm chung: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã 0101 (a Đ, b S, c S, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d_1:y=2x+1$ và $d_2:y=2x+4$ có cùng hệ số góc $2$ và khác nhau tại hằng số, nên song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;2)$ vào $d_2$: $-2(1)+2+4=4\ne 0$, nên $M$ không nằm trên $d_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(2;-1)$ là vectơ pháp tuyến của $d_1$; vectơ chỉ phương là $(1;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $d_1\parallel d_2$ nên hai đường thẳng không có điểm chung nào.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d$ song song với $d^{\prime }:2x+y-1=0$ và $d$ có dạng $2x+by+c=0$ nên $b=1$. Đường thẳng $d:2x+y+c=0$ đi qua $M(3;1)$ nên $2\cdot 3+1+c=0\Rightarrow c=-7$. Vậy $S=b+c=1+(-7)=-6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-6).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x+y-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(2;1)$, hệ số góc $k_{\Delta }=-2$. Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ phải có hệ số góc $k=\frac{1}{2}$ (tích hai hệ số góc bằng $-1$), tức có vectơ pháp tuyến cùng phương với $(1;-2)$. Xét các phương án: A có hệ số góc $-2$ (song song với $\Delta$); B có hệ số góc $2$; C: $2x-4y+2=0\iff x-2y+1=0$ có hệ số góc $\frac{1}{2}$, thỏa mãn $-2\cdot \frac{1}{2}=-1$; D có hệ số góc $-\frac{1}{2}$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 2: C).

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ. Vì hình chữ nhật $ABCD$ với chiều dài $AD=16$ m, chiều rộng $AB=12$ m và độ dài các đoạn thẳng $AE=6$ m, $CF=7$ nên ta tìm được tọa độ $A(0;12),B(0;0),C(16;0),D(16;12),E(6;12),F(16;7)$. Đường thẳng $EF$ đi qua $E(6;12),F(16;7)$ nên có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{EF}(10;-5)$, từ đó có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}(1;2)$. Khi đó phương trình của đường thẳng $EF$ là $1(x-6)+2(y-12)=0$ hay $x+2y-30=0$. Suy ra phương trình đoạn thẳng $EF$ là $x+2y-30=0$ với $6\le x\le 16$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $B$ và vuông góc với đường thẳng $EF$. Khi đó đường thẳng $\Delta$ có phương trình dạng $2x-y+c=0$. Do điểm $B(0;0)\in \Delta$ nên tìm được $c=0$, suy ra đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $2x-y=0$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $B$ trên đường thẳng $EF$. Khi đó tọa độ $H$ là nghiệm của hệ $$\{\begin{array}{l}x+2y-30=0\\ 2x-y=0\end{array}$$ Giải hệ ta được: $$\{\begin{array}{l}x=6\\ y=12\end{array}$$ Ta có điểm $H(6;12)$ trùng với điểm $E$ nằm trên đoạn thẳng $EF$ nên $H$ là điểm nằm trong phần tam giác $DEF$ (khu vực nuôi vịt) mà gần gốc tọa độ $B$ nhất. Khoảng cách ngắn nhất đó là $BH=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}\approx 13,4$ m. Hơn nữa theo giả thiết Bình đứng ở vị trí $B$ câu cá và có thể quăng lưới câu xa 10,5m $<13,4$m. Vậy lưới câu không thể vào nơi nuôi vịt được.

(AI giải đề cho tôi)
Thay t=0 vào phương trình tham số của d ta được x=1-5·0=1, y=4-3·0=4, tức điểm (1;4) thuộc đường thẳng d. Kiểm tra các điểm khác: (4;-3) yêu cầu t=-3/5 từ x nhưng y=4+9/5≠-3; (1;-5) cho t=0 từ x nhưng y=4≠-5; (-5;-3) cho t=6/5 từ x nhưng y=4-18/5≠-3. Vậy chỉ có điểm (1;4) thuộc d, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):-3x+2y+5=0$ có một vecto pháp tuyến là ${\vec{n}}_0=(-3;2)$, và mọi vecto cùng phương với ${\vec{n}}_0$ đều là vecto pháp tuyến của $(d)$. Xét các đáp án: B $(-3;2)={\vec{n}}_0$ đúng; C $(-6;4)=2{\vec{n}}_0$ đúng; D $(6;-4)=-2{\vec{n}}_0$ đúng; A $(2;-3)$ có tích có hướng $2\cdot 2-(-3)\cdot (-3)=4-9=-5\ne 0$ nên không cùng phương với ${\vec{n}}_0$, do đó không là vecto pháp tuyến của $(d)$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
(Δ1): x=2+2t, y=1+3t có VTCP u1=(2;3), đi qua P(2;1). (Δ2): 3x−2y+2=0 có VTCP u2=(2;3), pháp tuyến n2=(3;−2). a) Thay M(2;4): 3·2−2·4+2=0 nên M∈(Δ2) → Đúng. b) (Δ1) có dạng 3(x−2)−2(y−1)=0 ⇔ 3x−2y−4=0, song song với (Δ2). Khoảng cách d=|−4−2|/√13=6/√13≈1,66<3 → Sai. c) Cùng VTCP (2;3) và P(2;1) không thuộc (Δ2) (3·2−2·1+2=6≠0) nên hai đường song song, không trùng nhau → Đúng. d) Pháp tuyến của (Δ1) là (3;−2), không phải (3;2) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(2;4) vào (Δ2): 3·2−2·4+2=0 nên M thuộc (Δ2).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Δ1): 3x−2y−4=0 song song với (Δ2): 3x−2y+2=0; d=|−4−2|/√13=6/√13≈1,66<3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường cùng VTCP (2;3) và không trùng nhau (P(2;1) không thuộc (Δ2)) nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (Δ1) là n=(3;−2), không phải (3;2).

(AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc với (d): x + y - 2 = 0 (hệ số góc -1) qua B(1;5) có hệ số góc 1: y - 5 = x - 1, tức y = x + 4. H là giao của (d) và đường này: thay y = x + 4 vào x + y - 2 = 0 được x + x + 4 - 2 = 0, suy ra x = -1, y = 3. Vậy H(-1; 3), tức a = -1, b = 3. Khi đó a² + b² = 1 + 9 = 10.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $(d):2x+3y-6=0$ với trục Oy có hoành độ $x=0$. Thay vào phương trình: $2\cdot 0+3y-6=0\Rightarrow y=2$. Vậy $M(0;2)$, tức $a=0,b=2$. Do đó $a+2b=0+2\cdot 2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $({\Delta }_1):x-3y+2=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-3)$. Đường thẳng $({\Delta }_2)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;2)$.

$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1\cdot 1+(-3)\cdot 2|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai lộ trình là $45^{\circ }$.