Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $AC$ đi qua $A(2;1)$ và $C(-1;3)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AC}=(-3;2)$, nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3)$. Phương trình: $2(x-2)+3(y-1)=0\iff 2x+3y-7=0$. Kiểm tra: $A$: $4+3-7=0$; $C$: $-2+9-7=0$. Đúng.

b) Trung điểm của $AB$ là $I\left(\frac{2+(-1)}{2};\frac{1+0}{2}\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(-3;-1)$ làm pháp tuyến của đường trung trực. Phương trình: $-3\left(x-\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}\right)=0\iff 3x+y-2=0$.

c) Tam giác $ABM$ cân tại $M$ khi và chỉ khi $MA=MB$, tức $M$ nằm trên đường trung trực của $AB$: $3x+y-2=0$. Kết hợp với $M$ trên $(\Delta ):3x+2y-3=0$:
$$\{\begin{array}{l}3x+y-2=0\\ 3x+2y-3=0\end{array}$$
Trừ hai phương trình: $y-1=0\Rightarrow y=1$; suy ra $3x+2-3=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$.
Vậy $M\left(\frac{1}{3};1\right)$. Kiểm tra: $M{A}^2={\left(\frac{1}{3}-2\right)}^2+(1-1{)}^2=\frac{25}{9}$; $M{B}^2={\left(\frac{1}{3}+1\right)}^2+1^2=\frac{16}{9}+1=\frac{25}{9}$. Đúng $MA=MB$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):\sqrt{3}x-3y+1=0$ có hệ số góc $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$, nên $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \alpha =30^{\circ }$. Đường thẳng $(d^{\prime })$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}^{\prime }=(1;1)$, nên hệ số góc $a^{\prime }=1\Rightarrow {\alpha }^{\prime }=45^{\circ }$. Góc giữa hai đường thẳng là $|45^{\circ }-30^{\circ }|=15^{\circ }$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $P(1;3)$ đến đường thẳng $(\Delta ):3x-4y-1=0$ được tính theo công thức $$d(P,\Delta )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ Thay số: $$d=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 3-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3-12-1|}{5}=\frac{|-10|}{5}=\frac{10}{5}=2.$$ Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng qua $M(1;-3)$ và $N(3;-2)$ là $\vec{u}=\overrightarrow{MN}=(3-1;-2+3)=(2;1)$. Lấy điểm $M(1;-3)$, phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3+t\end{array}$. Kiểm tra: $t=0$ cho $M(1;-3)$; $t=1$ cho $N(3;-2)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A(1;0)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y+7=0$: $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 0+7|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|10|}{5}=2$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(M,{\Delta }_1)=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 6+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{25}{5}=5$ → Đúng. b) Đường thẳng $3x+4y+1=0$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;4)$ → Đúng. c) Thay $M(0;6)$ vào ${\Delta }_2$: $-2\cdot 0+6+3=9\ne 0$ nên $M\notin {\Delta }_2$ → mệnh đề Sai. d) $\cos \theta =\frac{|3\cdot (-2)+4\cdot 1|}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{(-2{)}^2+1^2}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\approx 0,179$, suy ra $\theta \approx 79^{\circ },7\ne 45^{\circ }$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, S, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,{\Delta }_1)=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 6+1|}{5}=\frac{25}{5}=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3x+4y+1=0$ cho pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(0;6)$ vào ${\Delta }_2$: $-2\cdot 0+6+3=9\ne 0$, nên $M\notin {\Delta }_2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{|3(-2)+4\cdot 1|}{5\sqrt{5}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\approx 0,179$, nên $\theta \approx 79^{\circ },7\ne 45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y-10=0$ là $d(O,\Delta )=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-10|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III Câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=-1-t,y=2+3t$, nên vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-1;3)$ (tương ứng hệ số của $t$). Đáp án C, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $3x-y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=-1$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-1)$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án mã đề 102 (Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(2;3)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3)$ có phương trình: $2(x-2)+3(y-3)=0\iff 2x+3y-13=0$. Kiểm tra: $M(2;3)$: $4+9-13=0$ đúng. Khớp đáp án B theo bảng đáp án mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(2;3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;4)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=3+4t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$). Kiểm tra: tại $t=0$ ta được điểm $(2;3)$, hệ số của $t$ đúng bằng toạ độ của $\vec{u}$. Khớp với đáp án A, cũng trùng với đáp án của đề (mã 102, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A(-1;0)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+8=0$: $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot (-1)-4\cdot 0+8|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-3+8|}{5}=\frac{5}{5}=1$. Kết quả khớp với đáp án A trong hướng dẫn chấm (mã đề 101, câu 10: A).

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y-8=0$ là $d(O,\Delta )=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0-8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{8}{5}=1,6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,6).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=-1+2t,y=3+t$, nên vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;1)$ (hệ số của $t$ trong hai phương trình). Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $x-2y-1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(3;1)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3)$ có phương trình: $2(x-3)+3(y-1)=0\iff 2x-6+3y-3=0\iff 2x+3y-9=0$. Thử lại: $2\cdot 3+3\cdot 1-9=0$ đúng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $A(3;4)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;2)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=4+2t\end{array}$. Khớp với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):2x-y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-1$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(2;-1)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-2y-7=0$ có VTCP $(2;3)$. Xét từng phương án:
- A: $-3x+2y-7=0$ có cặp hệ số tỉ lệ với $(3;-2;-7)$ theo hệ số $-1$ (tức $3x-2y+7=0$ sau khi nhân $-1$... thực chất $-3x+2y-7=0\iff 3x-2y+7=0$), khác hằng số nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- B: $3x-2y=0$ có cùng pháp tuyến $(3;-2)$ nhưng khác hằng số ($0\ne 7$) nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- C: $3x+2y=0$ có pháp tuyến $(3;2)$ không tỉ lệ với $(3;-2)$ nên cắt $(\Delta )$ tại một điểm. Giải hệ: $3x-2y=7$, $3x+2y=0$ $\Rightarrow x=\frac{7}{6},y=-\frac{7}{4}$ — có nghiệm duy nhất, hai đường cắt nhau.
- D: $6x-4y-14=0\iff 3x-2y-7=0$ chính là $(\Delta )$ (trùng nhau), không phải cắt tại một điểm.
Vậy $(\Delta )$ cắt đường thẳng $(d_1):3x+2y=0$.