Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Hệ số góc của $d$ là $m_1=\frac{3}{7}$, của $\Delta$ là $m_2=-\frac{2}{5}$. $\tan \phi =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|=\left|\frac{\frac{3}{7}+\frac{2}{5}}{1-\frac{6}{35}}\right|=\frac{\frac{29}{35}}{\frac{29}{35}}=1\Rightarrow \phi =45^{\circ }$. Đúng.
b) $d(A,d)=\frac{|3\cdot 2-7\cdot 1+4|}{\sqrt{9+49}}=\frac{3}{\sqrt{58}}\ne \frac{3}{58}$. Sai.
c) Đường vuông góc với $d$ có hệ số góc $-\frac{7}{3}$, qua $A(2;1)$: $y=-\frac{7}{3}x+\frac{17}{3}$, nên $a=7,b=3,c=17$, $c-a-b=17-7-3=7$. Đúng.
d) VTPT của $d$ là $(3;-7)$, VTCP là $(7;3)$; $(7;-3)$ là VTPT chứ không phải VTCP. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
tan(góc) = |(3/7+2/5)/(1-6/35)| = 1 nên góc = 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,d) = 3/√58, không phải 3/58.
c) (AI giải đề cho tôi)
y = -7/3 x + 17/3, c-a-b = 17-7-3 = 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
(7;-3) là vecto pháp tuyến; VTCP của d là (7;3).

(AI giải đề cho tôi)
Thế phương trình tham số của $d_2$ vào dạng tổng quát: từ $x=1+t$ suy ra $t=x-1$, khi đó $y=2+3(x-1)=3x-1$, tức $d_2:3x-y-1=0$. Vì $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương không cùng phương nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất. Giải hệ: $\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ y=3x-1\end{array}$. Thế $y=3x-1$ vào phương trình đầu: $x-2(3x-1)+3=0\iff -5x+5=0\iff x=1$, suy ra $y=3(1)-1=2$. Vậy $M(1;2)$, tức $a=1,b=2$. Do đó $2026a-b=2026\cdot 1-2=2024$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}(40;30)$ (có thể rút gọn thành $(4;3)$). Phương trình tham số: $x=1+40t,y=1+30t$ với $t\in \mathbb{R}$ (hoặc $x=1+4t,y=1+3t$).

b) Gọi $\theta$ là góc giữa $AB$ và $d$. Với $B\in AB$, gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $d$, tam giác $BEH$ vuông tại $H$ nên $d(B,d)=BE\cdot \sin \theta$. Điều kiện $BE=2d(B,d)$ (với $B\ne E$) suy ra $\sin \theta =\frac{1}{2}$, tức góc giữa $AB$ và $d$ bằng $30^{\circ }$.

Đường thẳng $d:x-\sqrt{3}y-2=0$ có hệ số góc $k_d=\frac{1}{\sqrt{3}}$, tương ứng góc $30^{\circ }$ với trục $Ox$. Vậy $AB$ qua $A(1;\sqrt{3})$ và tạo với $d$ góc $30^{\circ }$, nên góc của $AB$ với trục $Ox$ là $0^{\circ }$ hoặc $60^{\circ }$.

- Trường hợp 1: $AB\parallel Ox$ qua $A$: $y=\sqrt{3}$. Kiểm tra: $AB$ cắt $d$ tại $E(5;\sqrt{3})$, với mọi $B\ne E$ trên đường này, $d(B,d)=\frac{|x_B-5|}{2}=\frac{BE}{2}$, thỏa $BE=2d(B,d)$. (Lưu ý $A(1;\sqrt{3})$ không thuộc $d$ vì $1-3-2=-4\ne 0$.)

- Trường hợp 2: $AB$ có hệ số góc $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$: $y-\sqrt{3}=\sqrt{3}(x-1)\iff y=\sqrt{3}x$. Kiểm tra: giao điểm $E=(-1;-\sqrt{3})$, góc giữa hai đường bằng $|60^{\circ }-30^{\circ }|=30^{\circ }$, thỏa điều kiện.

Vậy có hai đường thẳng: $AB:y=\sqrt{3}$ và $AB:y=\sqrt{3}x$ (tức $\sqrt{3}x-y=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $2x-3y+6=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-3$, nên một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;-3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $(1;2)$ với $t=0$ và có VTCP $(2;3)$. Thử từng điểm: $P(-1;-2)$: $1+2t=-1\Rightarrow t=-1$, khi đó $y=2+3(-1)=-1\ne -2$, loại. $M(1;-2)$: $t=0\Rightarrow y=2\ne -2$, loại. $N(3;5)$: $1+2t=3\Rightarrow t=1$, khi đó $y=2+3\cdot 1=5$ ✓. $Q(-3;5)$: $1+2t=-3\Rightarrow t=-2$, khi đó $y=2-6=-4\ne 5$, loại. Vậy $\Delta$ đi qua $N(3;5)$.

Có $P(2;1),Q(10;7)\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=(8;6)\Rightarrow vtpt\vec{n}=(6;-8)\Rightarrow PQ:6x-8y-4=0$
Khoảng cách ngắn nhất chính là độ dài đường cao KH hay khoảng cách từ K đến PQ
$d(K;PQ)=\frac{\left|6.13-8.2-4\right|}{\sqrt{6^2+(-8{)}^2}}=5,8$. Kết quả 5,8

Đường thẳng $d_1$ có vtcp $\overrightarrow{a_1}=(1;-3)\Rightarrow$ vtpt $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$
Đường thẳng $d_2$ có vtpt $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$. Vì $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\Rightarrow d_1\perp d_2\Rightarrow$ chọn D

(AI giải đề cho tôi)
VT của đường thẳng qua $A(3;-1)$, $B(-6;2)$ là $\overrightarrow{AB}=(-9;3)$, có một VT chỉ là $(3;-1)$. Đường thẳng qua $A(3;-1)$ với VT $(3;-1)$: $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1-t\end{array}$. Kiểm tra $B(-6;2)$: với $t=-3$ ta được $x=3-9=-6$, $y=-1+3=2$ ✓. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1106, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng qua $A(3;-1)$ và $B(-6;2)$ là $\overrightarrow{AB}=(-9;3)$, lấy $\vec{u}=(3;-1)$ (chia cho $-3$). Đường thẳng đi qua $A(3;-1)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-1-t\end{array}$. Kiểm tra $B(-6;2)$: với $t=-3$ ta được $x=3-9=-6$, $y=-1+3=2$ ✓. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình 5 cho thấy các đường thẳng $a$, $b$, $c$, $d$ vẽ trên mặt phẳng. Theo hình, $a$ cắt $b$ tại một đỉnh và tạo với $b$ một góc vuông, nên $a\perp b$; tương tự $a$ cắt $c$ và tạo với $c$ một góc vuông, nên $a\perp c$. Các cặp còn lại ($b$ với $c$, $b$ với $d$, $c$ với $d$) không vuông góc theo hình vẽ. Vậy hai cặp đường thẳng vuông góc là $a$ và $b$; $a$ và $c$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-3y+2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-3)$. Vectơ chỉ phương của $d$ phải vuông góc với $\vec{n}$. Kiểm tra: $\vec{u}=(3;1)$ thì $\vec{n}\cdot \vec{u}=1\cdot 3+(-3)\cdot 1=0$, nên $\vec{u}=(3;1)$ là vectơ chỉ phương của $d$. Các vectơ còn lại: $(1;-3)=\vec{n}$ (pháp tuyến), $(1;3)$ có tích $1-9=-8\ne 0$, $(3;-1)$ có tích $3+3=6\ne 0$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (10B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$ và $d_2:x+2y-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2\cdot 1+(-1)\cdot 2=2-2=0$. Vì $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$ nên $d_1\perp d_2$, hai đường thẳng vuông góc với nhau. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11 chọn C).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $A(1;2)$ và $B(3;5)$ là $\overrightarrow{AB}=(3-1;5-2)=(2;3)$, nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-2)$. Phương trình: $3(x-1)-2(y-2)=0\iff 3x-2y+1=0$. Kiểm tra: $A(1;2)$: $3-4+1=0$; $B(3;5)$: $9-10+1=0$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (12A).

a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. (Theo đáp án nguồn trang 11: Câu 2: a-D, b-D, c-D, d-S.)
a) Đáp án nguồn: a-D (Đúng).
b) Đáp án nguồn: b-D (Đúng).
c) Đáp án nguồn: c-D (Đúng).
d) Đáp án nguồn: d-S (Sai).

Đáp án nguồn (trang 11): 3) $m=-2$.

Đáp án nguồn (trang 11): 4) $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Đáp án nguồn (trang 11): a) $d:4x+3y-11=0$. b) $H(1,4;1,8)$; $A^{\prime }(0,8;2,6)$.

(AI giải đề cho tôi) $d_1:x+5=0$ là đường thẳng đứng ($x=-5$). $d_2:2x+y=0$ có hệ số góc $k=-2$, không phải đường thẳng đứng nên không song song với $d_1$. Giao điểm: thay $x=-5$ vào $d_2$: $-10+y=0\Rightarrow y=10$, hai đường cắt nhau tại $(-5;10)$. Vì $d_1$ thẳng đứng còn $d_2$ có hệ số góc $-2$ (khác $0$), nên chúng không vuông góc. Vậy hai đường cắt nhau nhưng không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:mx+y=m+1$ và $d_2:x+my=2$ song song khi $\frac{m}{1}=\frac{1}{m}\ne \frac{m+1}{2}$. Điều kiện $m^2=1\Rightarrow m=\pm 1$. Với $m=1$: $d_1:x+y=2$ và $d_2:x+y=2$ trùng nhau (loại). Với $m=-1$: $d_1:-x+y=0$ và $d_2:x-y=2$ song song, thỏa mãn. Vậy $m=-1$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $d_1:2x+y-1=0$ và $d_2:x+2y+1=0$: từ phương trình đầu $y=1-2x$, thay vào $d_2$: $x+2(1-2x)+1=0\Rightarrow -3x+3=0\Rightarrow x=1$, suy ra $y=-1$. Vậy giao điểm là $P(1;-1)$. Để ba đường thẳng đồng quy thì $P\in d_3$: $m\cdot 1-(-1)-7=0\Rightarrow m-6=0\Rightarrow m=6$.