Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AC đi qua A(4;-1) và C(10;7) có vecto chỉ phương (6;8), tức vecto pháp tuyến (4;-3), phương trình: 4x - 3y - 19 = 0 (kiểm tra: 4·4 - 3·(-1) - 19 = 0; 4·10 - 3·7 - 19 = 0). Bình ở B(5;1) trên con đường vuông góc với AC, nên đoạn đường Bình phải đi là khoảng cách từ B đến đường AC: d(B, AC) = |4·5 - 3·1 - 19| / √(4² + (-3)²) = |20 - 3 - 19| / 5 = 2/5 = 0,4 (km). Vậy Bình phải đi 0,4 km (tức 2/5 đơn vị độ dài).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3. a) Đường thẳng $\Delta$: $x-3y-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-3)$. Vectơ chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-1;-2)$, nên $\overrightarrow{n_2}=(-2;1)$ là pháp tuyến của $AB$ (hoặc dùng trực tiếp $\overrightarrow{AB}$).

$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|}=\frac{|1\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{|-1+6|}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Vậy góc giữa $\Delta$ và $AB$ là $\phi =45^{\circ }$ (hoặc $\frac{\pi }{4}$).

b) Vì $d$ song song với $\Delta$ nên $d$ có dạng $x-3y+c=0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
$$d(\Delta ,d)=\frac{|c-(-5)|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{|c+5|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$$
Suy ra $|c+5|=10\Rightarrow c=5$ hoặc $c=-15$.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: $d_1:x-3y+5=0$ và $d_2:x-3y-15=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 2x + y - 1 = 0 có VTCP (1;-2) và pháp tuyến (2;1). a) Sai vì pháp tuyến là n(2;1), không phải (1;2). b) Thay A(1;-1): 2(1) + (-1) - 1 = 0, đúng. c) d(B,Δ) = |2·4 + (-2) - 1|/√5 = 5/√5 = √5, đúng. d) Bán kính R = d(I,Δ) = |2·4 + 8 - 1|/√5 = 15/√5 = 3√5, nên R² = 45 ≠ 49, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của Δ: 2x + y - 1 = 0 là n(2;1), không phải (1;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1) vào phương trình: 2·1 + (-1) - 1 = 0, nên A thuộc Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(B,Δ) = |2·4 + (-2) - 1|/√(2²+1²) = 5/√5 = √5.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = d(I,Δ) = |2·4 + 8 - 1|/√5 = 15/√5 = 3√5, nên R² = 45 ≠ 49; phương trình đúng phải là (x-4)² + (y-8)² = 45.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x - 2y + 1 = 0 có vectơ chỉ phương u = (2; 3). Vì d vuông góc với Δ nên d nhận u = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến: d: 2x + 3y + c = 0. d đi qua A(1; -2): 2(1) + 3(-2) + c = 0 ⟹ c = 4. Vậy a = 2, b = 3, c = 4, do đó a² + b² - c = 4 + 9 - 4 = 9.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ A bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Vecto $\overrightarrow{BC}=(-5;-3)$ nên đường thẳng BC có vecto pháp tuyến $(3;-5)$, qua $B(3;2)$: $3(x-3)-5(y-2)=0\iff 3x-5y+1=0$. Độ dài đường cao kẻ từ A: $h_a=d(A,BC)=\frac{|3\cdot 1-5\cdot 0+1|}{\sqrt{3^2+(-5{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{34}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$, nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:-x+3y+5=0$ và $d_2:2x-6y+15=0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(-1;3)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-2\overrightarrow{n_1}$, nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương, do đó $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau. Xét thêm hệ số tự do: $\frac{2}{-1}=\frac{-6}{3}=-2$ nhưng $\frac{15}{5}=3\ne -2$, nên hai đường thẳng không trùng nhau. Vậy $d_1$ và $d_2$ song song với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;1)$ đến đường thẳng $\Delta :5x-12y-6=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|5\cdot 1-12\cdot 1-6|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{|-13|}{13}=1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+5=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-3$. Một vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(2;-3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-y-1=0$ và $d_2:2x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(1;-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-2)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=2\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng có cùng vectơ pháp tuyến (cùng hệ số góc $a=1$), tức là song song hoặc trùng nhau. Xét tỉ số các hệ số tự do: $\frac{c_2}{c_1}=\frac{-1}{-1}=1\ne 2=\frac{b_2}{b_1}=\frac{a_2}{a_1}$, cụ thể $\frac{2}{1}=\frac{-2}{-1}=2\ne \frac{-1}{-1}=1$. Vì $\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}\ne \frac{c_2}{c_1}$ nên hai đường thẳng song song. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(4-1;2-1)=(3;1)$ nên $\vec{u}=(3;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ → đúng.
b) Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;1)$ với VTCP $(3;1)$ nên có VTPT $\vec{n}=(1;-3)$, phương trình: $1(x-1)-3(y-1)=0\iff x-3y+2=0$. Thử $B(4;2)$: $4-6+2=0$ ✓ → đúng.
c) Giải hệ $\{\begin{array}{l}x-y+2=0\\ x-3y+2=0\end{array}$: trừ hai phương trình được $2y=0\Rightarrow y=0$, suy ra $x=-2$. Giao điểm là $I(-2;0)$, không phải $I(2;0)$ → sai.
d) $M(a;b)\in d\Rightarrow b=a+2$. $AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$. Khoảng cách từ $M$ đến $AB$: $h=\frac{|a-3b+2|}{\sqrt{10}}=\frac{|a-3(a+2)+2|}{\sqrt{10}}=\frac{|-2a-4|}{\sqrt{10}}$. Diện tích $\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot h=4\Rightarrow |2a+4|=8\Rightarrow a=2$ (nhận, vì $a>0$) hoặc $a=-6$ (loại). Vậy $a=2,b=4$, $a\cdot b=8$ → đúng.
Lưu ý: trang 11 là đáp án của ĐỀ 4 (khớp Câu 2 tổ 5 nam/3 nữ), không phải đáp án của đề này, nên không có mâu thuẫn với kết quả trên.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(3;1)$ là vectơ chỉ phương của $AB$ → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Qua $A(1;1)$, VTPT $(1;-3)$: $x-3y+2=0$, thỏa cả $B(4;2)$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giao điểm của $AB$ và $d$ là $I(-2;0)$, không phải $I(2;0)$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $b=a+2$, diện tích $=4\Rightarrow |2a+4|=8\Rightarrow a=2$ ($a>0$), $b=4$, $a\cdot b=8$ → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y+8=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$ (tỉ lệ với $(2;-1)$). Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(3;m)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$, tức $1\cdot 3+2\cdot m=0\Rightarrow m=-\frac{3}{2}$. Vậy $m=-1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $A+C=3G-B=(1;2)-(-12;1)=(13;1)$. Phản điểm $B(-12;1)$ qua phân giác $d:x+2y-5=0$: đường vuông góc với $d$ qua $B$ có vectơ chỉ phương $(1;2)$, giao điểm $H=(-9;7)$, nên $B^{\prime }=2H-B=(-6;13)$ nằm trên đường thẳng $AC$. Gọi $A=(a;\frac{5-a}{2})$ (thuộc $d$), khi đó $C=(13-a;\frac{a-3}{2})$. Điều kiện $A,B^{\prime },C$ thẳng hàng cho $(-6-a)(a-4)-\frac{(13-2a)(21+a)}{2}=0\Rightarrow 25a-225=0\Rightarrow a=9$. Vậy $A=(9;-2)$, $C=(4;3)$. Đường thẳng $BC$ qua $B(-12;1)$ và $C(4;3)$: $x-8y+20=0$, tức $a=-8$, $b=20$, nên $a+b=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y+4=0$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$. Đường thẳng cần tìm vuông góc với $d$ nên nhận $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}=(1;2)$ làm VTCP, tức có VTCP $\vec{u}=(2;-1)$ (vì $1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$), tương ứng hệ số góc $k=-\frac{1}{2}$ (vì $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$). Đường thẳng đi qua $I(-1;2)$: $y-2=-\frac{1}{2}(x+1)\iff 2y-4=-x-1\iff x+2y-3=0$. Kiểm tra: thay $I(-1;2)$: $-1+4-3=0$ (đúng); tích vô hướng VTCP với $\overrightarrow{u_1}=(1;2)$: $2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ (đúng). Vậy phương trình tổng quát cần tìm là $x+2y-3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm song song với $d_1:5x-7y+4=0$ và $d_2:5x-7y+6=0$ nên có dạng $d:5x-7y+c=0$ (với $c\ne 4,6$). Khoảng cách từ $d$ đến $d_1$ là $\frac{|c-4|}{\sqrt{5^2+(-7{)}^2}}=\frac{|c-4|}{\sqrt{74}}$; khoảng cách từ $d$ đến $d_2$ là $\frac{|c-6|}{\sqrt{74}}$. Cách đều yêu cầu $|c-4|=|c-6|$, suy ra $c-4=-(c-6)$, tức $2c=10$, $c=5$. Vậy đường thẳng cần tìm là $5x-7y+5=0$. Kiểm tra: khoảng cách từ $d$ đến $d_1$ là $\frac{|5-4|}{\sqrt{74}}=\frac{1}{\sqrt{74}}$ và đến $d_2$ là $\frac{|5-6|}{\sqrt{74}}=\frac{1}{\sqrt{74}}$, hai khoảng cách bằng nhau, thỏa mãn yêu cầu bài toán. (Ghi chú: khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$ là $\frac{2}{\sqrt{74}}$, nên đường cách đều nằm chính giữa với khoảng cách $\frac{1}{\sqrt{74}}$ đến mỗi đường.)

(AI giải đề cho tôi)
Tường phản xạ là trục $Oy$. Lấy điểm đối xứng của $B(1;5)$ qua $Oy$ là $B^{\prime }(-1;5)$. Theo tính chất góc tới bằng góc phản xạ, đường bắn $AM$ phải đi qua $A(2;0)$ và $B^{\prime }(-1;5)$. Vecto chỉ phương $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(-3;5)$ nên vecto pháp tuyến là $(5;3)$. Phương trình đường thẳng: $5(x-2)+3(y-0)=0\iff 5x+3y-10=0$. So sánh với $5x+ay+b=0$ ta được $a=3$, $b=-10$, suy ra $a+b=3+(-10)=-7$. Kiểm tra: đường thẳng đi qua $A(2;0)$: $5\cdot 2-10=0$ đúng; đi qua $B^{\prime }(-1;5)$: $-5+15-10=0$ đúng; giao điểm với $Oy$ là $M(0;10/3)$ nằm trên trục $Oy$ như hình vẽ.

Ta chứng minh $EM\perp BD$.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Thật vậy, vì $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$ do đó ta có $\Delta ABE\sim \Delta ACB$.

Vậy $BC=2BE$ mà $BC=2BM$ do đó $\Delta EBM$ cân tại $B$.

Mặt khác, $IE=\frac{1}{2}IA=\frac{1}{2}AB,IM=\frac{1}{2}AB$ (đường trung bình $\Delta ABC$).

Vậy $IB$ là đường trung trực của $EM$. Do vậy $EM\perp BD$.

Phương trình đường thẳng $EM$ qua $E$ và vuông góc với $BD$ là $(EM):y=7$.

Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}2x+y-18=0\\ (EM):y=7\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{11}{2};7\right)$.

Như vậy ta có $ME=3$.

Mặt khác
$$S_{BEDC}=2S_{\Delta BEC}=4S_{\Delta BEM}\Rightarrow d_{\left(B;(EM)\right)}\times ME=18\Rightarrow d_{\left(B;(EM)\right)}=6.$$

Gọi tọa độ tham số điểm $B(4;b)$ ta có $d_{\left(B;(EM)\right)}=\frac{\left|b-7\right|}{1}=6\Rightarrow b=13\vee b=1$.

Vì $B$ có tung độ bé hơn 2 nên ta chọn $B(4;1)$.

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

Do $\Delta$ song song với đường thẳng $3x-2y+5=0$ nên $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2)$. $\Delta :3(x-5)-2(y-2)=0\iff \Delta :3x-2y-11=0$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Phương trình đường thẳng EF.** EF đi qua E(3;−3) và F(5;−9), vectơ chỉ phương $\overrightarrow{EF}=(2;-6)$, có vectơ pháp tuyến $(3;1)$. Vậy $EF:3(x-3)+(y+3)=0\iff 3x+y-6=0$.

**b) Chứng minh AC ⊥ EF.** Vì hình thang vuông tại A và D nên AB ∥ CD. Tam giác EAB đồng dạng ECD (góc đồng vị) với tỉ số $\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$, tức $E=A+\frac{1}{4}(C-A)=B+\frac{1}{4}(D-B)$.
Gọi $\vec{u}$ là vectơ đơn vị cùng hướng AB, $\vec{v}$ là vectơ đơn vị cùng hướng AD, khi đó $\vec{u}\perp \vec{v}$, $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$. Đặt AB = AD = t (t>0), CD = 3t:
- $\overrightarrow{AC}=3t\vec{u}+t\vec{v}$;
- Vì AF = 5FB nên $F=A+\frac{5}{6}t\vec{u}$, do đó $\overrightarrow{FE}=E-F=\frac{3t}{4}\vec{u}+\frac{t}{4}\vec{v}-\frac{5t}{6}\vec{u}=-\frac{t}{12}\vec{u}+\frac{t}{4}\vec{v}$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{FE}=t^2\left(3\cdot (-\frac{1}{12})|\vec{u}{|}^2+\frac{1}{4}|\vec{v}{|}^2\right)=t^2\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=0$ (các số hạng chứa $\vec{u}\cdot \vec{v}$ bằng 0). Vậy $AC\perp EF$.

**c) Tìm A, D.** Từ b), hệ $\{\vec{u},\vec{v}\}$ trực chuẩn. Viết $\vec{u}=(\cos \theta ;\sin \theta )$, $\vec{v}=(-\sin \theta ;\cos \theta )$. Vì AC ⊥ EF nên hệ số góc của AC bằng $\frac{1}{3}$ (EF có hệ số góc −3):
$$\frac{3\sin \theta +\cos \theta }{3\cos \theta -\sin \theta }=\frac{1}{3}\Rightarrow 9\sin \theta +3\cos \theta =3\cos \theta -\sin \theta \Rightarrow \sin \theta =0.$$
Vậy $\vec{u}=(1;0),\vec{v}=(0;1)$ (hoặc $\vec{u}=(-1;0),\vec{v}=(0;-1)$).

Với $\vec{u}=(1;0),\vec{v}=(0;1)$: $A=(a;b)$, $F=(a+\frac{5t}{6};b)=(5;-9)\Rightarrow b=-9$; $E=(a+\frac{3t}{4};b+\frac{t}{4})=(3;-3)\Rightarrow -9+\frac{t}{4}=-3\Rightarrow t=24$, suy ra $a=3-\frac{3\cdot 24}{4}=-15$. Kiểm tra: $a+\frac{5t}{6}=-15+20=5$ ✓. Vậy $A(-15;-9)$ (tung độ âm ✓), $D=A+t\vec{v}=(-15;15)$.

Trường hợp $\vec{u}=(-1;0),\vec{v}=(0;-1)$ cho $t=-24<0$, loại.

Kiểm tra lại: $B=(9;-9)$, $F(5;-9)$ thuộc AB với AF = 20 = 5·FB ✓; $C=(-15+72;15)=(57;15)$, CD = 72 = 3·AB ✓; $E=A+\frac{1}{4}(C-A)=(3;-3)$ ✓.

Kết luận: $A(-15;-9)$, $D(-15;15)$; đường thẳng EF: $3x+y-6=0$; và $AC\perp EF$ như đã chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:(2m-1)x+2y-5=0$ (có $a_1=2m-1$, $b_1=2$) và $d_2:x+my+1=0$ (có $a_2=1$, $b_2=m$) vuông góc khi và chỉ khi $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$, tức là $(2m-1)\cdot 1+2\cdot m=0\iff 4m-1=0\iff m=\frac{1}{4}$. Kiểm tra: với $m=\frac{1}{4}$, $d_1:-\frac{1}{2}x+2y-5=0$ có hệ số góc $\frac{1}{4}$; $d_2:x+\frac{1}{4}y+1=0$ có hệ số góc $-4$; tích hai hệ số góc bằng $-1$, thỏa mãn vuông góc.