Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Cho $A(3;-5)$, $B(1;1)$.

a) VTCP của $AB$: $\overrightarrow{AB}=(1-3;1-(-5))=(-2;6)$, chọn VTCP $\vec{u}=(-1;3)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ (qua $A(3;-5)$):
$$\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=-5+3t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$
(Kiểm tra: với $t=1$ ta được $B(1;1)$ — đúng.)

b) Đường tròn tâm $A(3;-5)$ đi qua $B$ có bán kính:
$$R=AB=\sqrt{(1-3{)}^2+(1+5{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$
Vậy phương trình đường tròn $(C)$:
$$(x-3{)}^2+(y+5{)}^2=40.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :4x-3y-13=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|4\cdot 1-3\cdot 2-13|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|4-6-13|}{5}=\frac{15}{5}=3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: $x=1+2t$, $y=-3-t$, hệ số của $t$ cho ta vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1)$. Vậy đáp án D.

Chọn đáp án (C)

Đường thẳng $\Delta :2x-3y+1=0$ đi qua điểm $P(1;1)$ vì $2\cdot 1-3\cdot 1+1=0$ (đúng). Chọn đáp án D

a) Đường thẳng $d:3x+4y-4=0$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;4)$.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-5;3)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ nên $\Delta$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;5)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(5;0)$ nên có phương trình tổng quát là $3(x-5)+5(y-0)=0\iff 3x+5y-15=0$.

c) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Vì $\frac{3}{3}\ne \frac{4}{5}$ nên $\Delta$ cắt $d$.

d) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|3\cdot 3+4\cdot 5|}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2+5^2}}=\frac{29}{5\sqrt{34}}=\frac{29\sqrt{34}}{170}$.

Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d sai]
a) Đường thẳng $d:3x+4y-4=0$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;4)$.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-5;3)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ nên $\Delta$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;5)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(5;0)$ nên có phương trình tổng quát là $3(x-5)+5(y-0)=0\iff 3x+5y-15=0$.
c) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Vì $\frac{3}{3}\ne \frac{4}{5}$ nên $\Delta$ cắt $d$.
d) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|3\cdot 3+4\cdot 5|}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2+5^2}}=\frac{29}{5\sqrt{34}}=\frac{29\sqrt{34}}{170}$.

Vì đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;1)$ và $\Delta$ có vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(5;-4)$ nên có phương trình tổng quát $5(x-2)-4(y-1)=0\iff 5x-4y-6=0$ nên $c=-6$.

Khoảng cách từ tháp canh đến bờ sông chính là khoảng cách từ điểm $A(5;2)$ đến đường thẳng $d:4x+3y-1=0$ và bằng $d(A,d)=\frac{|4\cdot 5+3\cdot 2-1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$.

a) Vì chiếc xe chuyển động từ điểm $A(1;2)$ theo một đường thẳng với véc tơ vận tốc $\vec{v}=(3;3)$ nên quỹ đạo xe là đường thẳng có phương trình tham số là $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+3t\end{array},t\in \mathbb{R}$.

b) Phương trình tham số đường thẳng mô tả quỹ đạo xe là

$$\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+3t\end{array}.$$

Gọi $M(x;y)$ là vị trí xe chuyển động sau 4 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Khi đó $M\in \Delta$ và vị trí xe lúc đó là $\{\begin{array}{l}x=1+3\cdot 4=13\\ y=2+3\cdot 4=14\end{array}\Rightarrow M(13;14)$.

Khoảng cách từ $M(x_0;y_0)$ đến đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Chọn đáp án B

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $M(1;-1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+y+4=0$: $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 1+(-1)+4|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{|6|}{\sqrt{10}}=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0101, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $A(1;2)$ vào $d$: $2(1)-2+5=5\ne 0$ nên $A$ không thuộc $d$ → Đúng.
b) Đường song song với $d$ có dạng $2x-y+c=0$; khoảng cách $=\frac{|c-5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ $\Rightarrow$ $|c-5|=5$ $\Rightarrow$ $c=0$ hoặc $c=10$, tức $2x-y=0$ hoặc $2x-y+10=0$ → Đúng.
c) $\Delta$ vuông góc $d$ nên có VTCP $(2;-1)$, VTPT $(1;2)$; qua $M(2;4)$: $1(x-2)+2(y-4)=0$ $\Rightarrow$ $x+2y-10=0$, khác $x+2y+1=0$ → Sai.
d) VTPT của $d$: $2x-y+5=0$ là $\vec{n}=(2;-1)$ → Đúng.
Khớp bảng đáp án mã đề 0101: 1a D, 1b D, 1c S, 1d D.
a) $2(1)-2+5=5\ne 0$ nên $A(1;2)$ không thuộc $d$.
b) $2x-y+c=0$ với $\frac{|c-5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ $\Rightarrow$ $c=0$ hoặc $c=10$.
c) Phương trình đúng là $x+2y-10=0$, không phải $x+2y+1=0$.
d) Từ $2x-y+5=0$, VTPT $\vec{n}=(2;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:mx+y-19=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(m;1)$) và ${\Delta }_2:x+(m+2)y-20=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;m+2)$) vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$, tức $m\cdot 1+1\cdot (m+2)=0\iff 2m+2=0\iff m=-1$. Thử lại: với $m=-1$, ${\Delta }_1:-x+y-19=0$ và ${\Delta }_2:x+y-20=0$ có hệ số góc $1$ và $-1$, tích bằng $-1$, nên vuông góc. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-1$.

Gọi $M(a;0)$ là điểm thuộc trục hoành. Vì đường thẳng $\Delta :3x+2y-3=0$ cách đều hai điểm $A,M$ nên $$\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\left|3a-3\right|}{\sqrt{13}}$$ $$\iff \left|3a-3\right|=1\iff a=\frac{4}{3}\text{ hoặc }a=\frac{2}{3}.$$ Vậy $M\left(\frac{4}{3};0\right)$ hoặc $M\left(\frac{2}{3};0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=2+3t$, $y=-3-t$, hệ số của $t$ cho vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-1)$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=(1-(-3);4-2)=(4;2)$. Vecto pháp tuyến phải thỏa $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$. Với $\vec{n}=(-1;2)$: $(-1)(4)+(2)(2)=0$, thỏa mãn. Kiểm tra các đáp án khác: $(1;2)$: $4+4=8\ne 0$; $(4;2)$: $16+4=20\ne 0$; $(2;1)$: $8+2=10\ne 0$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(2;-3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(4;-1)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=2+4t\\ y=-3-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$. Đây đúng là phương án C: hệ số của $t$ theo $x$ là 4 và theo $y$ là $-1$, điểm khi $t=0$ là $(2;-3)$. Các phương án khác sai vì A có vectơ chỉ phương $(1;4)$, B không đi qua $M$, D không đi qua $M$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: y = x + 5.
a) Ta có y = x + 5 ⇔ x − y + 5 = 0. Phương trình dạng Ax + By + C = 0 (với A = 1, B = −1, C = 5) là phương trình tổng quát của đường thẳng Δ, không phải phương trình tham số (phương trình tham số có dạng x = x₀ + at, y = y₀ + bt).
b) Từ phương trình tổng quát x − y + 5 = 0, một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-1)$ (hoặc bất kỳ vectơ cùng phương như (−1; 1), (2; −2)...).
c) Điểm A là giao điểm của Δ với trục Ox (theo hình vẽ): cho y = 0 ⇒ x = −5, nên $A(-5;0)$. Điểm B là giao điểm của Δ với trục Oy: cho x = 0 ⇒ y = 5, nên $B(0;5)$. Kiểm tra: cả hai điểm đều thỏa x − y + 5 = 0 (−5 − 0 + 5 = 0; 0 − 5 + 5 = 0).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;4)$ đến $\Delta :3x+4y-12=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 2+4\cdot 4-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|6+16-12|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(x_0;y_0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b)$ có phương trình: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AM}=0$ với $M(x;y)$ tùy ý, tức $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$. Vậy đáp án B.