Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=1-4t,y=-2+3t$. Vectơ chỉ phương là hệ số của $t$: $\vec{u}=(-4;3)$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp số (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $M(5;-1)$ đến đường thẳng $3x+2y+13=0$ là $d(M,d)=\frac{|3\cdot 5+2\cdot (-1)+13|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|15-2+13|}{\sqrt{13}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=\frac{26\sqrt{13}}{13}=2\sqrt{13}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-(-2);4-2)=(5;2)$.
a) Sai: vectơ chỉ phương của $AB$ là $(5;2)$, không phải $(2;5)$.
b) Đúng: vectơ $\vec{n}(2;-5)$ có $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=2\cdot 5+(-5)\cdot 2=0$, nên $\vec{n}$ là pháp tuyến của $AB$.
c) Đúng: đường thẳng $AB$ có dạng $2x-5y+c=0$; thay $A(-2;2)$: $-4-10+c=0\Rightarrow c=14$, vậy $2x-5y+14=0$ (kiểm tra $B(3;4)$: $6-20+14=0$).
d) Sai: phương trình đã cho có vectơ chỉ phương $(2;5)$, không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(5;2)$ (vì $2\cdot 2-5\cdot 5\ne 0$), nên không song song với $AB$. Phương trình đúng phải là $x=-1+5t,y=1+2t$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(5;2)$, không phải $(2;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}(2;-5)\cdot \overrightarrow{AB}(5;2)=10-10=0$ nên $\vec{n}$ là pháp tuyến của $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2x-5y+14=0$ qua $A(-2;2)$ và $B(3;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương $(2;5)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(5;2)$, nên đường thẳng không song song với $AB$.

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}(-5;-3)$. $BC$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(-5;-3)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(3;-5)$. Mặt khác BC đi qua điểm $B(3;2)$ nên phương trình tổng quát của $BC$ là: $3(x-3)-5(y-2)=0$ hay $3x-5y+1=0$.
b) Ta có: $BC=\sqrt{(-5{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{34}$. $d(A,BC)=\frac{|3.1-5.0+1|}{\sqrt{3^2+(-5{)}^2}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$. Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.BC.d(A,BC)=\frac{1}{2}.\sqrt{34}.\frac{2\sqrt{34}}{17}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $t=0$, phương trình tham số của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=3-3t\end{array}$ cho $x=-1$, $y=3$. Vậy điểm $M(-1;3)$ thuộc đường thẳng $d$. Kiểm tra: với $M(-1;3)$, từ $x=-1+t=-1\Rightarrow t=0$, khi đó $y=3-3\cdot 0=3$ (thỏa mãn). Các điểm khác không thỏa mãn: $M(1;3)$ cho $t=2\Rightarrow y=-3\ne 3$; $M(3;1)$ cho $t=4\Rightarrow y=-9\ne 1$; $M(-3;1)$ cho $t=-2\Rightarrow y=9\ne 1$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 1, Mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng song song khi có cùng vectơ pháp tuyến (hoặc hệ số tỉ lệ) và không trùng nhau. Đường thẳng $2x+3y-4=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3)$. Xét các phương án: A, B có pháp tuyến $(3;-2)$, không song song. C: $2x+3y+4=0$ có cùng pháp tuyến $(2;3)$ và $\frac{2}{2}=\frac{3}{3}=1\ne \frac{4}{-4}$, nên hai đường thẳng song song. D: $4x+6y-8=0$ có $\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{-8}{-4}=2$, tức trùng với đường thẳng đã cho, không phải song song (song song phải phân biệt). Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $M(3;5)$ với véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2)$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=5-2t\end{array}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Đường thẳng $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Tích vô hướng ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) Đúng: $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) Đúng: $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) Sai: pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101 (a, b, c Đúng; d Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\Delta$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(4;-3)$, ${\Delta }^{\prime }$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(3;4)$. Vì ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=12-12=0$ nên $\Delta \perp {\Delta }^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d$ song song với $\Delta$ nên có dạng $4x-3y+C=0$; thay $A(1;2)$: $4-6+C=0\Rightarrow C=2$, vậy $d:4x-3y+2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $d(O,\Delta )=\frac{|10|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+10=0$ là $\vec{n}(4;-3)$, không phải $(3;4)$ nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có dạng $3x+2y+C=0$ và đi qua $A(2;-1)$. Thay tọa độ $A$ vào: $3\cdot 2+2\cdot (-1)+C=0\Rightarrow 6-2+C=0\Rightarrow C=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ($-4$).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính phun tối đa chính là khoảng cách từ $M(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+25=0$. Ta có $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 2+25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3-8+25|}{5}=\frac{20}{5}=4$ (mét). Vậy bán kính phun tối đa là $4$ m, khớp với đáp án nguồn.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;2)$. Phương trình Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(3;2)$: $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=1+2t\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :4x+3y+2=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=4,b=3,c=2$, nên một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(4;3)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi) Điểm trên $\Delta$ có dạng $H(2+2t;3+t)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1)$. Điều kiện $MH\perp \Delta$: $(2+2t-4)\cdot 2+(3+t-1)\cdot 1=0⟺(2t-2)\cdot 2+(t+2)=0⟺5t-2=0⟺t=\frac{2}{5}$. Suy ra $H\left(2+\frac{4}{5};3+\frac{2}{5}\right)=\left(\frac{14}{5};\frac{17}{5}\right)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vecto chỉ phương của BC là $\overrightarrow{CB}=(2;-5)$, phương trình BC: $5(x-4)+2(y-5)=0\iff 5x+2y-30=0$. Thay C(6;0) vào $-2x+5y-17=0$ được $-12-17=-29\ne 0$, nên a) SAI. b) $d(A,BC)=\frac{|5\cdot 2+2\cdot (-2)-30|}{\sqrt{29}}=\frac{24}{\sqrt{29}}=\frac{24\sqrt{29}}{29}$, đúng. c) $G=\left(\frac{2+4+6}{3};\frac{-2+5+0}{3}\right)=(4;1)$, đúng. d) $\overrightarrow{BC}=C-B=(2;-5)\ne (-2;5)$, SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình BC là $5x+2y-30=0$; đường $-2x+5y-17=0$ không đi qua C(6;0) vì $-12+0-17=-29\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,BC)=\frac{|5\cdot 2+2\cdot (-2)-30|}{\sqrt{5^2+2^2}}=\frac{24}{\sqrt{29}}=\frac{24\sqrt{29}}{29}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm: $\left(\frac{2+4+6}{3};\frac{-2+5+0}{3}\right)=(4;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(6-4;0-5)=(2;-5)$, không phải $(-2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
$d_1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-3)$, $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;5)$. Lấy $\overrightarrow{u_1}=(3;2)$ vuông góc với $\overrightarrow{n_1}$. Khi đó $\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|3\cdot 2+2\cdot 5|}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{29}}=\frac{16}{\sqrt{377}}\approx 0.8241$, suy ra góc $\approx 34.5^{\circ }$, làm tròn tới hàng đơn vị là $35^{\circ }$. (Kiểm tra bằng $\overrightarrow{n_1}$: $\cos =\frac{|2\cdot 2-3\cdot 5|}{\sqrt{13}\sqrt{29}}=\frac{11}{\sqrt{377}}\approx 0.5666\Rightarrow 55.5^{\circ }$, góc nhọn tương ứng là $180^{\circ }-55.5^{\circ }=124.5^{\circ }$? Không — góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, tính từ $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ cho $\approx 34.5^{\circ }$.) Vậy góc giữa hai đường thẳng là $35^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AC$ nên $BK\perp AC$, do đó $AC$ nhận vectơ pháp tuyến chính là vectơ chỉ phương của $BK$. Đường thẳng $BK:5x-6y+11=0$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{BK}=(6;5)$, vậy ${\vec{n}}_{AC}=(6;5)$. Đường thẳng $AC$ đi qua $A(1;5)$ nên có phương trình: $6(x-1)+5(y-5)=0\iff 6x+5y-31=0$.

b) Gọi $B(a;b)$. Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a+1}{2};\frac{b+5}{2}\right)$. Vì $M\in CM$ nên tồn tại $t$: $\frac{a+1}{2}=3+3t$, $\frac{b+5}{2}=1-2t$, suy ra $a=5+6t$, $b=-3-4t$. Lại vì $B\in BK$: $5(5+6t)-6(-3-4t)+11=0\iff 54+54t=0\iff t=-1$. Khi đó $B(-1;1)$. Kiểm tra: $M(0;3)$ thuộc $CM$ (với $t=-1$) và $5(-1)-6(1)+11=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=10-4t,y=-5+7t$, nên véc tơ chỉ phương là $\vec{a}=(-4;7)$. Véc tơ pháp tuyến vuông góc với $\vec{a}$: kiểm tra $\vec{u}\cdot \vec{a}=0$. Với $\vec{u}=(7;4)$: $7\cdot (-4)+4\cdot 7=-28+28=0$. Các đáp án khác: $(10;-5)$ cho $-40-35\ne 0$; $(-4;7)$ chính là véc tơ chỉ phương; $(6;2)$ cho $-24+14\ne 0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$. Đường thẳng $AB:3x-4y-5=0$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(4;3)$. Đường thẳng $CD$ đi qua $D(-2;1)$ và nhận $\vec{u}=(4;3)$ làm vectơ chỉ phương, nên phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=-2+4t\\ y=1+3t\end{array}$. Kiểm tra các đáp án: phương án A có vectơ chỉ phương $(-4;-3)$ cùng phương với $(4;3)$ và với $t=1$ ta được điểm $(-2;1)=D$, nên A biểu diễn cùng đường thẳng. Phương án B, C có vectơ chỉ phương $(3;4)$, $(-3;4)$ không cùng phương với $(4;3)$. Phương án D đi qua $(-6;2)$: với $t=1$ được $(-2;5)\ne D$, loại. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 4x−2y−8=0 chia hai vế cho 2 được 2x−y−4=0, có vectơ pháp tuyến n=(2;−1). Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến tỉ lệ và phương trình không trùng nhau. Xét các đáp án: d1: 2x−y−8=0 có n=(2;−1) tỉ lệ với (2;−1) và −8≠−4 nên d1 song song với Δ (đáp án A). d3: 2x−y−4=0 trùng hoàn toàn với Δ (không phải song song). d2 có n=(2;1), d4 có n=(−2;−1) không tỉ lệ với (2;−1). Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
$H$ là hình chiếu vuông góc của $N(-1;-8)$ lên đường thẳng $\Delta :x+3y-5=0$. Đường thẳng qua $N$ vuông góc với $\Delta$ có VTCP $(1;3)$: điểm dạng $(-1+t;-8+3t)$. Thay vào $\Delta$: $-1+t+3(-8+3t)-5=0\Rightarrow 10t-30=0\Rightarrow t=3$. Vậy $H(2;1)$, tức $a=2$, $b=1$, nên $a+b=3$.