Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

a) $AC\perp BH$ nên $AC$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-1)$. $AC:3(x+1)-1(y+2)=0$ hay $3x-y+1=0$. $A$ là giao điểm của $AC$ và $AM$. Xét hệ: $\{\begin{array}{l}3x-y+1=0\\ 5x+y-9=0\end{array}$. Giải được $x=1;y=4$. Vậy $A(1;4)$.
b) $B\in BH$ nên $B(5-3b;b)$. $M$ là trung điểm $BC$ nên $M\left(\frac{4-3b}{2};\frac{b-2}{2}\right)$. $M\in AM$ nên $5\left(\frac{4-3b}{2}\right)+\left(\frac{b-2}{2}\right)-9=0$. Giải được $b=0$. Vậy $B(5;0)$.
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tương đương.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_1:4x+6y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;6)$. Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$. Vì $\overrightarrow{n_1}=(4;6)=2\cdot (2;3)=2\overrightarrow{u_2}$ nên vectơ pháp tuyến của $d_1$ song song với vectơ chỉ phương của $d_2$, suy ra $d_1\perp d_2$. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau, đáp án C (khớp với đáp án nguồn: Mã đề 102, câu 6 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;1)$, $N(2;4)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(2-1;4-1)=(1;3)$. Phương trình tham số qua $M$: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\end{array}$. Kiểm tra các phương án: A có $\vec{u}=(1;1)$ sai; B: tại $t=0$ cho $(1;0)\ne M$, sai; C có $\vec{u}=(-3;1)$ không cùng phương với $(1;3)$, sai; D: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2+3t\end{array}$ có $\vec{u}=(1;3)$, tại $t=1$ cho $M(1;1)$, tại $t=2$ cho $N(2;4)$ — đúng. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$, suy ra một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(3;-2)$. Đường thẳng $d_1:4x+6y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;6)$. Vì $\overrightarrow{n_1}=(4;6)=2(2;3)$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$ nên hai đường thẳng không song song và không trùng nhau (chúng cắt nhau). Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=4\cdot 3+6\cdot (-2)=12-12=0$, nên $d_1\perp d_2$. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau, đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là $\vec{u}=(2;-1)$. Vectơ pháp tuyến phải thỏa $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$. Kiểm tra: $\vec{n}=(1;2)$ cho $1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$, thỏa mãn. Các phương án khác: B: $4\cdot 2+(-2)(-1)=10\ne 0$; C: $(-1)(2)+2(-1)=-4\ne 0$; D: $1\cdot 2+(-2)(-1)=4\ne 0$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(3;-2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;4)$ có phương trình: $1(x-3)+4(y+2)=0\iff x-3+4y+8=0\iff x+4y+5=0$. Thử lại: $3+4(-2)+5=0$ đúng. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $K$ thuộc $d$ nên $x_K=5+t=7\Rightarrow t=2$. Khi đó $y_K=1-3t=1-6=-5$. Vậy tung độ của $K$ bằng $-5$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+4=0$ cắt $Ox$ tại $y=0\Rightarrow x=-4$, tức điểm $A(-4;0)$; cắt $Oy$ tại $x=0\Rightarrow y=2$, tức điểm $B(0;2)$. Tam giác tạo bởi $d$ và hai trục tọa độ vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông $OA=4$ và $OB=2$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$ (đơn vị diện tích). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III Câu 2 = 4).

a) $AC\perp BH$ nên $AC$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-1)$. $AC:3(x+1)-1(y+2)=0$ hay $3x-y+1=0$. $A$ là giao điểm của $AC$ và $AM$. Xét hệ: $\{\begin{array}{l}3x-y+1=0\\ 5x+y-9=0\end{array}$. Giải được $x=1;y=4$. Vậy $A(1;4)$.
b) $B\in BH$ nên $B(5-3b;b)$. $M$ là trung điểm $BC$ nên $M\left(\frac{4-3b}{2};\frac{b-2}{2}\right)$. $M\in AM$ nên $5\left(\frac{4-3b}{2}\right)+\left(\frac{b-2}{2}\right)-9=0$. Giải được $b=0$. Vậy $B(5;0)$.
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tương đương.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;1)$ và $N(2;4)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(2-1;4-1)=(1;3)$. Phương trình tham số (đi qua $M$): $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+3t\end{array}$. Kiểm tra các phương án: A có vectơ chỉ phương $(1;1)$, sai; B có $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2+3t\end{array}$, vectơ chỉ phương $(1;3)$, và với $t=1$ được $(1;1)=M$, với $t=2$ được $(2;4)=N$, đúng; C có vectơ $(-3;1)$ không cùng phương với $(1;3)$, sai; D có vectơ $(1;3)$ nhưng đi qua $(1;0)$, với $t=0$ được $(1;0)\ne M$, sai. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $I(2;-1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;6)$ là vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Phương trình: $2(x-2)+6(y+1)=0\iff 2x+6y+2=0\iff x+3y+1=0$. Kiểm tra: $I(2;-1)$ thỏa $2+3(-1)+1=0$; $A(1;-4)$: $1-12+1=-10\ne 0$... thực tế kiểm tra khoảng cách: $A$ và $B$ đều cách đều đường thẳng (thay $A$: $1+3(-4)+1=-10$, thay $B$: $3+6+1=10$, đối dấu bằng giá trị tuyệt đối $10$). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=5$ là đường thẳng song song với trục $Ox$, đường thẳng $x=-2$ là đường thẳng song song với trục $Oy$. Hai đường thẳng này vuông góc với nhau nên góc tạo bởi chúng bằng $90^{\circ }$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo là đường thẳng đi qua A(4;-3) có vecto chỉ phương v=(2;1). a) Đúng, v chính là vecto chỉ phương. b) Vecto pháp tuyến n=(1;-2), phương trình: 1(x-4)-2(y+3)=0 ⇔ x-2y-10=0. Thử 2x-3y-1=0 với A: 8+9-1=16≠0 nên sai. c) Thay B(10;0) vào x-2y-10=0: 10-0-10=0, đúng. d) Tốc độ |v|=√(2²+1²)=√5 m/s, sau 3 giây quãng đường = 3√5 m, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vật chuyển động thẳng đều với vecto vận tốc v=(2;1) nên v là vecto chỉ phương của quỹ đạo.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến n=(1;-2), phương trình: (x-4)-2(y+3)=0 ⇔ x-2y-10=0. Thay A(4;-3) vào 2x-3y-1=0 được 16≠0 nên phương trình đã cho sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay B(10;0) vào x-2y-10=0: 10-0-10=0, nên B thuộc quỹ đạo.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ |v|=√5 m/s, quãng đường sau 3 giây: 3√5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của Δ1 là u1=(1;2), của Δ2 là u2=(-3;1). cos(Δ1,Δ2)=|u1·u2|/(|u1||u2|)=|−3+2|/(√5·√10)=1/√50≈0,1414. Vậy góc giữa hai đường thẳng ≈81,87°, quy tròn đến hàng phần mười là 81,9°.

(AI giải đề cho tôi)
Tàu B chuyển động trên đường thẳng qua điểm $(-5;-3)$ với vecto chỉ phương $(20;-30)$, tức $(2;-3)$, có phương trình: $x=-5+2s,y=-3-3s\Rightarrow 3x+2y+21=0$. Khoảng cách ngắn nhất giữa tàu A$(2;-3)$ và tàu B là khoảng cách từ A đến đường thẳng này: $d=\frac{|3\cdot 2+2\cdot (-3)+21|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{21}{\sqrt{13}}\approx 5,8238\approx 5,8$ km.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường cao từ A vuông góc với BC có VTPT (1;-1), đi qua A(-1;-2): phương trình tổng quát x + y + 3 = 0, phương trình tham số x = -1 + t, y = -2 - t (t ∈ ℝ).

b) Đường thẳng AB đi qua A(-1;-2) và M(-2;-8), có VTCP u = AM = (-1;-6) (hoặc (1;6)). Phương trình tham số: x = -1 + t, y = -2 + 6t. Phương trình tổng quát: 6x - y + 4 = 0 (kiểm tra: A: -6+2+4=0 ✓; M: -12+8+4=0 ✓).

c) B = AB ∩ BC: thay y = x + 4 vào 6x - y + 4 = 0 được 5x = 0 → B(0;4). VTCP AB = (1;6), VTCP BC = (1;1). cos B = |1+6|/(√37·√2) = 7/√74 ≈ 0,8137 → B̂ = arccos(7/√74) ≈ 35,5°.

d) Tam giác cân tại A nên AB = AC. C nằm trên BC: C(t; t+4). AC² = (t+1)² + (t+6)², AB² = 37. Giải (t+1)² + (t+6)² = 37 → 2t² + 14t = 0 → t = 0 (cho B) hoặc t = -7 → C(-7;-3). Kiểm tra: C thuộc BC vì -7 - (-3) + 4 = 0 ✓; AC² = 36 + 9 = 45... kiểm tra lại: AC² = (-7+1)² + (-3+2)² = 36 + 1 = 37 = AB² ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-6-(-2);1-4)=(-4;-3)$, nên vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-4)$. Đường thẳng qua $A(-2;4)$: $3(x+2)-4(y-4)=0\iff 3x-4y+22=0$. Thử $B(-6;1)$: $3(-6)-4(1)+22=0$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x+3y-4=0$ có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;3)$, và mọi vecto cùng phương với nó, tức $(2k;3k)$ với $k\ne 0$, cũng là vecto pháp tuyến. Xét các đáp án: A $(3;-2)$ không cùng phương với $(2;3)$; B $(2;-3)$ sai dấu thành phần thứ hai; C $(-4;-6)=(-2)\cdot (2;3)$ cùng phương với $(2;3)$, đúng; D $(3;2)$ không cùng phương. Vậy vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=(-4;-6)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đưa $d:6x-8y+1=0$ về dạng cùng hệ số với $\Delta :3x-4y-7=0$: chia $d$ cho 2 ta được $3x-4y+\frac{1}{2}=0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là $\frac{\left|\frac{1}{2}-(-7)\right|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{7,5}{5}=1,5$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$, nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn.