Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Δ₁: x−y+2=0 có VTCP u=(1;1) nên VTPT n=(1;−1), do đó (a) n=(1;1) là SAI. Δ₂ có VTCP u=(3;1) nên VTPT n=(1;−3) (vì 1·3+(−3)·1=0), (b) ĐÚNG. Δ₁ đi qua (0;2) và có VTCP (1;1) nên phương trình tham số x=t, y=2+t, (c) ĐÚNG. Δ₂ đi qua (1;−2) với VTPT (1;−3): 1(x−1)−3(y+2)=0 ⟺ x−3y−7=0, (d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ₁: x−y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−1), không phải (1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ₂ có VTCP u=(3;1), nên VTPT n=(1;−3) vì u·n=3−3=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ₁ đi qua điểm (0;2) và có VTCP (1;1), nên phương trình tham số x=t, y=2+t.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ₂ đi qua (1;−2), VTPT (1;−3): (x−1)−3(y+2)=0 ⟺ x−3y−7=0.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-(-2);4-2)=(5;2)$. a) Sai, vì $\overrightarrow{AB}=(5;2)$ chứ không phải $(2;5)$. b) Vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-5)$ có $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=2\cdot 5+(-5)\cdot 2=0$ nên đúng. c) Phương trình $AB$ qua $A(-2;2)$ với $\vec{n}=(2;-5)$: $2(x+2)-5(y-2)=0\iff 2x-5y+14=0$; kiểm tra $B(3;4)$: $6-20+14=0$ ✓ nên đúng. d) Đường thẳng qua $M(-1;1)$ song song $AB$ phải có vecto chỉ phương tỉ lệ với $(5;2)$, còn $(2;5)$ không tỉ lệ với $(5;2)$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(5;2)\ne (2;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=(2;-5)$ vì $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=10-10=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(-2;2)$, VTPT $(2;-5)$: $2x-5y+14=0$, thỏa cả $A$ và $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $(2;5)$ không song song với $\overrightarrow{AB}=(5;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: $A(1;3)$, $B(-1;-1)$, $C(5;-3)$.
(a) VTCP của AB là $\overrightarrow{AB}=(-2;-4)$, nên VTPT $\vec{n}=(2;-1)$. Đường thẳng qua A: $2(x-1)-(y-3)=0\iff 2x-y+1=0$. Thay $B(-1;-1)$: $-2+1+1=0$ thỏa. Mệnh đề ĐÚNG.
(b) $\overrightarrow{BC}=(6;-2)$, VTPT $(1;3)$, đường thẳng BC: $(x+1)+3(y+1)=0\iff x+3y+4=0$. Tuy nhiên $x+3y+4=0$ là phương trình TỔNG QUÁT, không phải phương trình THAM SỐ của BC (phương trình tham số phải có dạng $x=x_0+at$, $y=y_0+bt$). Mệnh đề SAI.
(c) Trung điểm AB là $I(0;1)$. Đường trung trực vuông góc AB nên có VTPT trùng VTCP của AB, lấy $\vec{n}=(1;2)$: $1(x-0)+2(y-1)=0\iff x+2y-2=0$. Mệnh đề ĐÚNG.
(d) Đường cao AH vuông góc BC nên VTCP của AH là VTPT của BC: $(1;3)$, suy ra VTPT của AH là $(3;-1)$. Qua $A(1;3)$: $3(x-1)-(y-3)=0\iff 3x-y=0$. Mệnh đề đưa ra $3x+y=0$ là SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTPT của AB là $(2;-1)$, qua $A(1;3)$: $2x-y+1=0$, kiểm tra B thỏa.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x+3y+4=0$ là phương trình tổng quát của BC, không phải phương trình tham số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm AB là $(0;1)$, trung trực có VTPT $(1;2)$: $x+2y-2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường cao AH vuông góc BC có phương trình $3x-y=0$, không phải $3x+y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11. a) Đường thẳng Δ₁ đi qua A(1;3) có vectơ pháp tuyến n⃗=(2;1) có phương trình: 2(x−1)+1(y−3)=0, tức 2x+y−5=0. b) Đường thẳng Δ₂ đi qua B(−2;1) có vectơ chỉ phương v⃗=(3;2) có phương trình tham số: x=−2+3t, y=1+2t (t∈ℝ). c) Vectơ chỉ phương của AB là AB⃗=(−2−1;1−3)=(−3;−2), đi qua A(1;3): x=1−3t, y=3−2t (t∈ℝ). (Có thể viết x=1+3t, y=3+2t vì −AB⃗ cũng là vectơ chỉ phương.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 12: Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.

- Trục Ox: đi qua gốc $O(0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{i}=(1;0)$, do đó vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(0;1)$. Phương trình tổng quát: $0\cdot x+1\cdot y=0$, tức là $y=0$.

- Trục Oy: đi qua gốc $O(0;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{j}=(0;1)$, do đó vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;0)$. Phương trình tổng quát: $1\cdot x+0\cdot y=0$, tức là $x=0$.

Vậy trục Ox có phương trình $y=0$ và trục Oy có phương trình $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13. a) Δ₁: x = 1 + 2t ⇒ t = (x−1)/2; y = 3 + 5t ⇒ t = (y−3)/5. Suy ra (x−1)/2 = (y−3)/5 ⇒ 5(x−1) = 2(y−3) ⇒ 5x − 2y + 1 = 0. Vậy phương trình tổng quát của Δ₁ là 5x − 2y + 1 = 0. Kiểm tra: điểm (1;3) thuộc Δ₁: 5 − 6 + 1 = 0 đúng; vectơ chỉ phương (2;5) có 5·2 − 2·5 = 0 đúng. b) Δ₂: 2x + 3y − 5 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (2;3), nên vectơ chỉ phương u = (3;−2). Lấy điểm M₀(1;1) (vì 2·1 + 3·1 − 5 = 0). Phương trình tham số của Δ₂: x = 1 + 3t, y = 1 − 2t (t ∈ ℝ). (Có thể chọn điểm hoặc vectơ chỉ phương khác, ví dụ x = −2 + 3t, y = 3 − 2t, đều đúng.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Cho $A(1;2),B(3;0),C(-2;-1)$.

a) Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-5;-1)$, nên đường cao nhận $\vec{n}=(1;-5)$ làm vectơ pháp tuyến (vì $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=-5+5=0$). Đường cao đi qua $A(1;2)$:
$$1(x-1)-5(y-2)=0\iff x-5y+9=0.$$

b) Đường trung tuyến kẻ từ $B$ đi qua $B$ và trung điểm $M$ của $AC$:
$$M=\left(\frac{1+(-2)}{2};\frac{2+(-1)}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right).$$
Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{7}{2};\frac{1}{2}\right)$, chọn $\vec{u}=(7;-1)$, suy ra vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;7)$. Phương trình đường trung tuyến:
$$1(x-3)+7(y-0)=0\iff x+7y-3=0.$$
Kiểm tra: $M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ thỏa $-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}-3=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ab\ne 0$ nên $a\ne 0$ và $b\ne 0$, do đó hai điểm $A(a;0)$ và $B(0;b)$ phân biệt và không trùng gốc tọa độ, nên chúng xác định một đường thẳng duy nhất $\Delta$ (đúng như Hình 7.3: $\Delta$ cắt trục hoành tại $A$ và trục tung tại $B$).

Cách 1 (dùng hệ số góc): Vì $a\ne 0$, $b\ne 0$ nên $\Delta$ không song song với trục tung. Hệ số góc của $\Delta$ qua $A(a;0)$ và $B(0;b)$ là
$$k=\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}.$$
Phương trình $\Delta$ qua $B(0;b)$ (tung độ gốc $b$):
$$y=-\frac{b}{a}x+b.$$
Chia hai vế cho $b\ne 0$:
$$\frac{y}{b}=-\frac{x}{a}+1⟺\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$$

Cách 2 (dùng phương trình tổng quát): Vì $\Delta$ cắt cả hai trục tại hai điểm phân biệt, phương trình $\Delta$ có dạng $\alpha x+\beta y+\gamma =0$ với $\alpha ,\beta ,\gamma \ne 0$.
- Thay $A(a;0)$: $\alpha a+\gamma =0\Rightarrow \gamma =-\alpha a$.
- Thay $B(0;b)$: $\beta b+\gamma =0\Rightarrow \gamma =-\beta b$.
Suy ra $\alpha a=\beta b=-\gamma \ne 0$, tức $\frac{\alpha }{-\gamma }=\frac{1}{a}$ và $\frac{\beta }{-\gamma }=\frac{1}{b}$. Chia phương trình cho $-\gamma$:
$$\frac{\alpha }{-\gamma }x+\frac{\beta }{-\gamma }y=1⟺\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.$$

Kiểm tra: thay $x=a,y=0$: $\frac{a}{a}+0=1$ đúng; thay $x=0,y=b$: $0+\frac{b}{b}=1$ đúng. Vậy đường thẳng đi qua $A(a;0)$ và $B(0;b)$ với $ab\ne 0$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-\sqrt{3})$ và $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3};-1)$. Khi đó $\cos \theta =\frac{|1\cdot \sqrt{3}+(-\sqrt{3})(-1)|}{\sqrt{1+3}\cdot \sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\theta =30^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=2-t,y=-3+2t$, nên vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-1;2)$ hoặc bất kỳ vecto cùng phương với nó. Nhân với $-2$ ta được $\vec{u}=(2;-4)$, tương ứng với phương án B. Các phương án khác không cùng phương với $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):x=1-t,y=3+2t$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2)$. Véc tơ pháp tuyến vuông góc với $\vec{u}$, ví dụ $\vec{n}=(2;1)$ vì $\vec{n}\cdot \vec{u}=2\cdot (-1)+1\cdot 2=0$. Kiểm tra các đáp án: $(-1;2)=\vec{u}$ (không phải pháp tuyến), $(1;2)$ cho tích $-1+4=3\ne 0$, $(2;-1)$ cho tích $-2-2=-4\ne 0$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-2;6)$, suy ra vecto pháp tuyến $\vec{n}=(3;1)$. Phương trình đường thẳng: $3(x-3)+1(y+1)=0\iff 3x+y-8=0$. Kiểm tra: $B(1;5)$: $3+5-8=0$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ nhỏ nhất khi $\Delta$ vuông góc với $AB$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-1;-1-2)=(1;-3)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$. Đường thẳng $\Delta$ qua $A(1;2)$ với VTPT $(1;-3)$: $1(x-1)-3(y-2)=0⟺x-3y+5=0$. Khi đó khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ bằng $AB=\sqrt{10}$, nhỏ nhất (vì khoảng cách từ $B$ đến bất kỳ đường thẳng qua $A$ nào cũng $\ge AB$ theo bất đẳng thức tam giác). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:2x-3y+1=0$ và ${\Delta }_2:-4x+6y-1=0$ có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$, nên $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$. So sánh với $\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{-1}=-1\ne -\frac{1}{2}$, tức $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$. Vậy hai đường thẳng song song, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:2x-y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;-1)$ và $d_2:x-3y+9=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa mãn $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-3)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ₁ có vectơ pháp tuyến n₁=(4;−3). Đường thẳng Δ₂ có vectơ chỉ phương u₂=(6;−8). Vectơ pháp tuyến của Δ₂ là n₂=(8;6). Côsin góc giữa hai đường thẳng: cos φ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = |4·8 + (−3)·6|/(5·10) = |32−18|/50 = 14/50 = 7/25. Kiểm tra cách khác: dùng u₁=(3;4) và u₂=(6;−8): cos φ = |3·6 + 4·(−8)|/(5·10) = |18−32|/50 = 14/50 = 7/25. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(5;-1)$ đến đường thẳng $3x+2y+13=0$ là $d=\frac{|3\cdot 5+2\cdot (-1)+13|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|15-2+13|}{\sqrt{13}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng có điểm $A(1;2)$ và vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;4)$. Ta có $\overrightarrow{AM}=M-A=(2-1;0-2)=(1;-2)$. Khoảng cách $d(M,\Delta )=\frac{|x_{\vec{u}}\cdot y_{\overrightarrow{AM}}-y_{\vec{u}}\cdot x_{\overrightarrow{AM}}|}{|\vec{u}|}=\frac{|3\cdot (-2)-4\cdot 1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-10|}{5}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
B là giao của BC: 7x+5y-8=0 và đường cao từ B: 9x-3y-4=0. Giải hệ: 7x+5y=8, 9x-3y=4 → 66x=44 → x=2/3, y=2/3. Vậy B=(2/3;2/3), mệnh đề a đúng. C là giao của BC và đường cao từ C: x+y-2=0 → y=2-x, thay vào: 7x+5(2-x)=8 → 2x=-2 → x=-1, y=3. Vậy C=(-1;3), mệnh đề b đúng. A là giao hai đường cao: 9x-3y=4, x+y=2 → 12x=10 → A=(5/6;7/6). Đường cao từ A vuông góc BC nên có dạng 5x-7y+c=0; thay A: 25/6-49/6+c=0 → c=4, phương trình là 5x-7y+4=0 ≠ 5x-7y-6=0, mệnh đề c sai. Trung điểm M của BC: M=((-1+2/3)/2;(3+2/3)/2)=(-1/6;11/6). Trung tuyến từ A qua A(5/6;7/6) và M(-1/6;11/6), hệ số góc = (4/6)/(-1) = -2/3, phương trình: 12x+18y-31=0 ≠ x-13y+4=0 (thử A vào x-13y+4: 5/6-91/6+4≠0), mệnh đề d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
B là giao của BC và đường cao từ B: giải 7x+5y=8, 9x-3y=4 được x=2/3, y=2/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
C là giao của BC và đường cao từ C: giải 7x+5y=8, x+y=2 được C=(-1;3).
c) (AI giải đề cho tôi)
A=(5/6;7/6) (giao hai đường cao). Đường cao từ A: 5x-7y+4=0, không phải 5x-7y-6=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M=(-1/6;11/6); trung tuyến từ A qua A(5/6;7/6) và M có phương trình 12x+18y-31=0, không phải x-13y+4=0.