Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ vận tốc $\vec{v}(1;2)$ chính là vectơ chỉ phương của quỹ đạo chuyển động thẳng đều → Đúng.
b) Đường thẳng qua $A(5;3)$ với VTCP $(1;2)$: $\frac{x-5}{1}=\frac{y-3}{2}\iff 2(x-5)-(y-3)=0\iff 2x-y-7=0$. Đường $2x-3y-1=0$ có VTCP $(3;2)$ không cùng phương với $(1;2)$ → Sai.
c) Phương trình chuyển động thẳng đều: $x=5+t,y=3+2t$ với $t>0$ → Đúng.
d) Tốc độ $|\vec{v}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, quãng đường khi $t=5$: $\sqrt{5}\cdot 5=5\sqrt{5}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vectơ vận tốc $\vec{v}(1;2)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng chuyển động.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đúng là $2x-y-7=0$; đường $2x-3y-1=0$ có VTCP $(3;2)$ không cùng phương với $(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Phương trình chuyển động: $x=5+t,y=3+2t$ với $t>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $=|\vec{v}|\cdot t=\sqrt{5}\cdot 5=5\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7 (AI giải, nguồn chỉ có đề):
a) $\overrightarrow{BC}=(1;-5)$ nên $BC:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-5t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$). $AB$ qua $A(-1;2),B(1;2)$ có VTCP $(1;0)$, VTPT $(0;1)$: $y-2=0$.
b) $d(C,AB)=|-3-2|=5$; $AB=2$ nên $S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5=5$.
c) Tâm $I$ nằm trên trung trực của $AB$: $x=0$, đặt $I(0;k)$. $I{A}^2=1+(2-k{)}^2$, $I{C}^2=4+(-3-k{)}^2$. Suy ra $1+(2-k{)}^2=4+(3+k{)}^2\Rightarrow k=-\frac{4}{5}$. $R^2=1+{\left(2+\frac{4}{5}\right)}^2=1+\frac{196}{25}=\frac{221}{25}$. Vậy $(T):x^2+{\left(y+\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{221}{25}$, $I\left(0;-\frac{4}{5}\right)$, $R=\frac{\sqrt{221}}{5}$.
d) Gọi $d_1:ax+by+c=0$ ($a^2+b^2\ne 0$), qua $A$ nên $-a+2b+c=0$. $\cos (d_1,d)=\frac{|2a+3b|}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{13}}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Chọn $a=1$: $(2+3b{)}^2=\frac{13}{4}(1+b^2)\Rightarrow 23b^2+48b+3=0\Rightarrow b=\frac{-24\pm 13\sqrt{3}}{23}$, $c=1-2b$. Hai đường: $23x+(-24+13\sqrt{3})y+71-26\sqrt{3}=0$ và $23x+(-24-13\sqrt{3})y+71+26\sqrt{3}=0$.
e) $d_2:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $E(a;0),F(0;b)$, $a,b>0$ (để $OEF$ là tam giác). Qua $B(1;2)$: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1\Rightarrow b=\frac{2a}{a-1}$, cần $a>1$. $S=\frac{ab}{2}=\frac{a^2}{a-1}$, $S^{\prime }=\frac{a(a-2)}{(a-1{)}^2}=0\Rightarrow a=2$, khi đó $b=4$, $S_{\min }=4$. Vậy $d_2:\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1\iff 2x+y-4=0$ (thỏa mãn $B(1;2)$). Lưu ý: nếu không ràng buộc $E,F$ nằm trên tia dương của các trục thì $S$ chỉ có giới hạn dưới 0 không đạt, nên đáp án chuẩn hiểu $E\in$ tia $O{x}^{+}$, $F\in$ tia $O{y}^{+}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Đường thẳng d có VTCP u=(-2;2), phương trình tổng quát x+y+1=0.
a) d' vuông góc d nên có VTCP n=(1;1), qua A(3;1): x−y−2=0.
b) Giải hệ x+y+1=0, x−y−2=0 được H(1/2; −3/2).
c) A' đối xứng A qua d: A' = 2H − A = (1−3; −3−1) = (−2; −4).
d) Lấy O' đối xứng O qua d: chân đường vuông góc từ O xuống d là (−1/2; −1/2) nên O'(−1; −1). MA+MO = MA+MO' nhỏ nhất khi M là giao của d với đường thẳng AO'. Đường thẳng AO' qua A(3;1), O'(−1;−1) có phương trình x−2y−1=0. Kết hợp x+y+1=0: thay x=2y+1 được 3y+2=0, y=−2/3, x=−1/3. Vậy M(−1/3; −2/3). Kiểm tra: M thuộc d vì −1/3−2/3+1=0; MA+MO' = AO' = √(16+4)=2√5, đúng giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-3y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2,b=-3$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(a;b)=(2;-3)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ điểm A vào phương trình tham số của (d): x = 2 - 3t = 7/2 ⟹ 3t = 2 - 7/2 = -3/2 ⟹ t = -1/2. Kiểm tra với y: y = -1 + 2·(-1/2) = -2, khớp với tọa độ của A. Vậy A ∈ (d) ứng với t = -1/2, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-4t,y=-2+3t$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-4;3)$ (tương ứng hệ số của $t$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{MN}=N-M=(-2-2;5-3)=(-4;2)$. Một vecto chỉ phương của đường thẳng $MN$ là mọi vecto cùng phương với $\overrightarrow{MN}$. Xét các đáp án: $(4;-2)=-1\cdot (-4;2)$ nên cùng phương với $\overrightarrow{MN}$. Các đáp án khác: $(4;2)$ có tích chéo $4\cdot 2-2\cdot (-4)=16\ne 0$; $(-4;-2)$ có tích chéo $(-4)\cdot 2-2\cdot (-4)=0$? Kiểm tra: $(-4)(2)-(-2)(-4)=-8-8=-16\ne 0$; $(-2;4)$ có tích chéo $(-2)(2)-4(-4)=-2+16=14\ne 0$. Vậy chỉ đáp án B đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(2;-1)$ và $B(2;5)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(0;6)$, nên phương trình tham số: $x=2$, $y=-1+6t$. Kiểm tra: $t=0$ cho $A(2;-1)$, $t=1$ cho $B(2;5)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(-9;3)\propto (3;-1)\propto (-3;1)$. A có chỉ phương $(3;-1)$ và đi qua $A(3;-1)$: đúng. B có chỉ phương $(3;1)$ không song song với $\overrightarrow{AB}$, nên không phải phương trình của AB. C có chỉ phương $(-3;1)$, tại $t=1$ được $(0;0)$ thuộc đường thẳng qua A với chỉ phương đó: đúng. D đi qua $B(-6;2)$ với chỉ phương $(-3;1)$: đúng. Vậy phương trình không phải của đường thẳng AB là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x−2y+1=0 có vectơ pháp tuyến n_Δ=(3;−2). Vì d vuông góc với Δ nên vectơ chỉ phương của d là u=(3;−2), do đó vectơ pháp tuyến của d là n=(2;3). Đường thẳng d đi qua A(1;−2): 2(x−1)+3(y+2)=0 ⟺ 2x−2+3y+6=0 ⟺ 2x+3y+4=0. Kiểm tra: A(1;−2): 2−6+4=0 đúng; n·n_Δ=2·3+3·(−2)=0 nên vuông góc. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ song song với $d^{\prime }:x+y-1=0$ nên có dạng $x+y+c=0$. Vì $d$ qua $M(1;1)$ nên $1+1+c=0\Rightarrow c=-2$. Vậy $d:x+y-2=0$. Kiểm tra: $M(1;1)$ thỏa mãn $1+1-2=0$, và $d$ không trùng với $d^{\prime }$ (vì $-2\ne -1$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(1;1)$ và $B(-3;2)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-4;1)$, nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;4)$. Phương trình: $1(x-1)+4(y-1)=0\iff x+4y-5=0$. Kiểm tra: $A(1;1)$: $1+4-5=0$ ✓; $B(-3;2)$: $-3+8-5=0$ ✓. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+y-4=0$ và $d_2:-2x-2y+6=0$. Ta có $d_2$ chia hết cho $-2$: $d_2:x+y-3=0$. Hai đường có cùng hệ số $a/b=1/1$ (cùng hệ số góc $-1$) nhưng khác hằng số tự do ($-4\ne -3$), tức $\frac{1}{-2}=\frac{1}{-2}\ne \frac{-4}{6}$. Vậy $d_1$ và $d_2$ song song và không trùng nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi) $d_1:x-4=0$ là đường thẳng đứng (phương sai hướng ${\vec{u}}_1=(0;1)$). $d_2:2x+y+6=0$ có hệ số góc $-2$, vtcp ${\vec{u}}_2=(1;-2)$. Vì ${\vec{u}}_1\cdot {\vec{u}}_2=0\cdot 1+1\cdot (-2)=-2\ne 0$ nên không vuông góc; hai vtcp không cùng phương nên hai đường thẳng cắt nhau. Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau nhưng không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1-2t,y=2+3t$, vecto chỉ phương là $\vec{u}=(-2;3)$, hoặc bất kỳ vecto cùng phương: $\vec{c}=(3;-2)=(-1)\cdot (-2;3)$ cùng phương với $\vec{u}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$d_1:x+5=0$ là đường thẳng đứng ($x=-5$), $d_2:y-7=0$ là đường ngang ($y=7$). Hai đường này cắt nhau tại điểm $(-5;7)$. Vecto pháp tuyến của $d_1$ là ${\vec{n}}_1=(1;0)$, của $d_2$ là ${\vec{n}}_2=(0;1)$, tích vô hướng ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=0$ nên hai đường vuông góc. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có VTCP u1=(2;-1), d2 có VTCP u2=(-4;2)=-2(2;-1), nên u2 cùng phương u1 => hai đường song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm A(1;-2) thuộc d1, thay vào d2: -1-4t'=1 => t'=-1/2, khi đó y=3+2(-1/2)=2 ≠ -2, tức A không thuộc d2. Vậy d1 và d2 song song, không trùng nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(3;-2)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=3\cdot 2+(-2)\cdot 3=6-6=0$, nên hai VTCP vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;4)$. Đường thẳng ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(12;5)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng là $\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{u}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{u}}_2|}=\frac{|3\cdot 12+4\cdot 5|}{5\cdot 13}=\frac{56}{65}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: $d(M,\Delta )=\frac{|x_M-3y_M+6|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{|-2-3+6|}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Vậy đáp án A.