Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có phương trình tham số x=1+2t, y=-t, suy ra vectơ chỉ phương u=(2;-1), đi qua điểm P(1;0). Phương trình tổng quát: x+2y-1=0. Khoảng cách từ M(3;-2) đến Δ là d = |3+2·(-2)-1|/√(1²+2²) = |3-4-1|/√5 = 2/√5 = 2√5/5. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):2x-y+5=0$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1)$. Vecto chỉ phương vuông góc với $\vec{n}$, ví dụ $\vec{u}=(1;2)$ vì $2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$. Kiểm tra các đáp án: $(1;-2)$: $2\cdot 1+(-1)(-2)=4\ne 0$; $(2;1)$: $2\cdot 2+(-1)\cdot 1=3\ne 0$; $(2;-1)$ chính là vecto pháp tuyến; $(1;2)$: $2\cdot 1+(-1)\cdot 2=0$ đúng. Vậy vecto chỉ phương là $(1;2)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x-7y-1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=-7$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-7)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:y=-3x+5\iff 3x+y-5=0$ nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1;2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3)$ có phương trình: $2(x-1)-3(y-2)=0\iff 2x-2-3y+6=0\iff 2x-3y+4=0$. Thử lại: $M(1;2)$: $2-6+4=0$ (đúng). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $A(1;2)$ và $B(3;4)$ là $\overrightarrow{AB}=(3-1;4-2)=(2;2)$, có thể lấy $(1;1)$. Phương trình tham số qua $A$: $x=1+t,y=2+t$. Kiểm tra: với $t=2$ ta được $(3;4)=B$. Đáp án A. Các phương án khác sai: B có vecto chỉ phương $(-2;2)$ không song song với $\overrightarrow{AB}$; C không đi qua $A$ (với $t=0$ được $(1;1)$); D có vecto $(2;-2)$ không song song với $\overrightarrow{AB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=1+t$ suy ra $t=x-1$. Thay vào $y=2+3t$ ta được $y=2+3(x-1)=3x-1$, tức $3x-y-1=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$.
a) Sai: $\vec{n}=(1;2)$ không phải pháp tuyến vì $1\cdot 1+2\cdot (-2)=-3\ne 0$; pháp tuyến đúng là $\vec{n}=(1;-2)$.
b) Đúng: $\vec{u}=(2;1)$ thỏa $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$ nên là vectơ chỉ phương.
c) Đúng: $\vec{u}=(a;b)$ là vectơ chỉ phương của $(d)$ khi và chỉ khi $\vec{u}\cdot \vec{n}=0\iff a-2b=0$.
d) Đúng: Cắt $Ox$ tại $A(-3;0)$, cắt $Oy$ tại $B\left(0;\frac{3}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{AB}=\left(3;\frac{3}{2}\right)$, và $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=3-3=0$ nên là vectơ chỉ phương của $(d)$.
a) Pháp tuyến của $x-2y+3=0$ là $\vec{n}=(1;-2)$, không phải $(1;2)$ vì $1\cdot 1+2\cdot (-2)=-3\ne 0$.
b) $\vec{u}=(2;1)$ thỏa $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$ nên là vectơ chỉ phương.
c) $\vec{u}=(a;b)$ chỉ phương $\iff \vec{u}\cdot \vec{n}=0\iff a-2b=0$.
d) $A(-3;0)$, $B\left(0;\frac{3}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{AB}=\left(3;\frac{3}{2}\right)$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=3-3=0$, là vectơ chỉ phương.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:4x+5y-4=0$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(4;5)$, và mọi vecto cùng phương với $(4;5)$ đều là vecto pháp tuyến của $d$. Kiểm tra từng đáp án: $\overrightarrow{n_1}=(4;5)=\vec{n}$ là pháp tuyến; $\overrightarrow{n_2}=(-8;-10)=-2(4;5)$ cùng phương với $\vec{n}$ nên là pháp tuyến; $\overrightarrow{n_4}=\left(\frac{4}{3};\frac{5}{3}\right)=\frac{1}{3}(4;5)$ cùng phương với $\vec{n}$ nên là pháp tuyến; $\overrightarrow{n_3}=(4;-5)$ không cùng phương với $(4;5)$ vì $4\cdot (-5)-(-5)\cdot 4=-20-20=-40\ne 0$. Vậy $\overrightarrow{n_3}$ không phải là vecto pháp tuyến của $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$: $3x-4y+16=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-4)$, nên khẳng định a sai ($\vec{n}=(3;4)$ không phải pháp tuyến vì tích vô hướng với vectơ chỉ phương $(4;3)$ là $12+12\ne 0$). Thay $M(3;-4)$: $3\cdot 3-4\cdot (-4)+16=9+16+16=41\ne 0$, nên $\Delta$ không đi qua $M$, khẳng định b sai. Từ $3x-4y+16=0$ suy ra $y=\frac{3}{4}x+4$, hệ số góc $k=\frac{3}{4}$, khẳng định c đúng. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(4;3)$ (hoặc tỉ lệ với $(4;3)$); vectơ $\left(1;\frac{3}{2}\right)$ tỉ lệ với $(2;3)$ chứ không tỉ lệ với $(4;3)$, nên khẳng định d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tổng quát $3x-4y+16=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;-4)$, không phải $(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;-4)$ vào phương trình: $3\cdot 3-4\cdot (-4)+16=41\ne 0$ nên $M$ không thuộc $\Delta$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3x-4y+16=0\iff y=\frac{3}{4}x+4$, vậy hệ số góc $k=\frac{3}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(4;3)$. Vectơ $\left(1;\frac{3}{2}\right)$ tỉ lệ với $(2;3)$, không tỉ lệ với $(4;3)$, nên không phải vectơ chỉ phương của $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-4)=(2;-2)$, và $(-2;2)=-1\cdot (2;-2)$ nên $\vec{u}=(-2;2)$ song song với $AB$, là vectơ chỉ phương của $AB$ → đúng.
b) $M$ trung điểm $BC$: $M=\left(\frac{3+7}{2};\frac{2+3}{2}\right)=(5;\frac{5}{2})$. Suy ra $\overrightarrow{AM}=(4;-\frac{3}{2})$. Vectơ $(4;-\frac{3}{4})$ không cùng phương với $(4;-\frac{3}{2})$ vì $\frac{-3/4}{4}\ne \frac{-3/2}{4}$ → sai.
c) $\overrightarrow{BC}=(4;1)$. Đường cao $AH\perp BC$ nên vectơ pháp tuyến của $AH$ phải cùng phương với $\overrightarrow{BC}=(4;1)$. Kiểm tra $(-1;4)\cdot (4;1)=-4+4=0$ tức $(-1;4)$ vuông góc với $BC$, nghĩa là $(-1;4)$ là vectơ chỉ phương của $AH$, không phải pháp tuyến → sai.
d) $AB$ có vectơ chỉ phương $(2;-2)$ tức phương trình $AB$ dạng $x+y+c=0$, có pháp tuyến $(1;1)$. Đường $\Delta \parallel AB$ cũng có pháp tuyến $(1;1)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;-2)$ và $(-2;2)=-1\cdot (2;-2)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, nên là vectơ chỉ phương của $AB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M=(5;\frac{5}{2})$ nên $\overrightarrow{AM}=(4;-\frac{3}{2})$, không cùng phương với $(4;-\frac{3}{4})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(4;1)$; $(-1;4)\cdot (4;1)=0$ nên $(-1;4)$ vuông góc $BC$, là vectơ chỉ phương của $AH$ chứ không phải pháp tuyến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB$ có chỉ phương $(2;-2)\propto (1;-1)$ nên pháp tuyến $(1;1)$; đường $\Delta \parallel AB$ cũng có pháp tuyến $(1;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: Δ1: x−y+2=0, Δ2: x=1+3t, y=−2+t.
a) Sai. Phương trình tổng quát ax+by+c=0 có vectơ pháp tuyến n=(a;b), nên Δ1 có n=(1;−1), không phải (1;1).
b) Sai. Từ phương trình tham số của Δ2, vectơ chỉ phương là u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) Đúng. Δ1: y=x+2 đi qua điểm (0;2) và có vectơ chỉ phương u=(1;1), nên phương trình tham số x=t, y=2+t là đúng.
d) Đúng. Từ x=1+3t, y=−2+t suy ra t=y+2, thay vào: x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: x−y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−1), không phải (1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ2 có vectơ chỉ phương u=(3;1) (hệ số của t), không phải (1;−2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ1: y=x+2 đi qua (0;2) với VTCP (1;1), nên x=t, y=2+t đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
t=y+2 ⟹ x=1+3(y+2)=3y+7 ⟺ x−3y−7=0, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $BH$: $2x-y+3=0$ nên $AC\perp BH$, vtpt của $AC$ song song vtcp của $BH$ là $(1;2)$ → $AC$: $x+2y+c=0$; qua $A(-4;-1)$: $-4-2+c=0$ → $c=6$, vậy $AC$: $x+2y-6=0$ (b đúng). Đường cao $CK$: $3x+2y-6=0$ có vtcp $(2;-3)$, $AB\perp CK$ nên $AB$: $2x-3y+c=0$; qua $A$: $-8+3+c=0$ → $c=5$, vậy $AB$: $2x-3y+5=0$ (a đúng). $B$ là giao của $AB$ và $BH$: $2x-3y+5=0$ và $2x-y+3=0$, trừ hai phương trình: $-2y+2=0$ → $y=1$, $x=-1$, tức $B(-1;1)$ (c đúng). $C$ là giao của $AC$ và $CK$: $x+2y-6=0$ và $3x+2y-6=0$ → $x=0$, $y=3$, $C(0;3)$. $BC$ qua $B(-1;1)$ và $C(0;3)$: hệ số góc $2$, phương trình $y=2x+3$ hay $2x-y+3=0$, khác $x+y-1=0$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp CK$ nên $AB$: $2x-3y+c=0$; qua $A(-4;-1)$ được $c=5$, tức $AB$: $2x-3y+5=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BH$ nên $AC$: $x+2y+c=0$; qua $A(-4;-1)$ được $c=6$, tức $AC$: $x+2y-6=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $AB$ và $BH$: $2x-3y+5=0$, $2x-y+3=0$ được $y=1$, $x=-1$, tức $B(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C=AC\cap CK=(0;3)$. $BC$ qua $B(-1;1)$ và $C(0;3)$ có phương trình $2x-y+3=0$, không phải $x+y-1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình tham số, vecto chỉ phương của Δ1 là u1=(5;-6), của Δ2 là u2=(5;6).
b) Sai: u1=(5;-6) và u2=(5;6) không cùng phương (5·6 - (-6)·5 = 60 ≠ 0) nên hai đường thẳng không song song.
c) Sai: với M(7;3), trên Δ1 ta có 7 = 2 + 5t ⇒ t = 1, khi đó y = 3 - 6·1 = -3 ≠ 3, nên M không thuộc Δ1 (cũng không thuộc Δ2 vì 7 = 7 + 5t' ⇒ t' = 0, y = -3 ≠ 3). Vậy M không phải giao điểm.
d) Đúng: đường thẳng d vuông với Δ1 nên vecto pháp tuyến của d cùng phương với u1=(5;-6), tức d có dạng 5x - 6y + c = 0. Qua M(1;2): 5 - 12 + c = 0 ⇒ c = 7. Vậy d: 5x - 6y + 7 = 0.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số, u1=(5;-6), u2=(5;6).
b) (AI giải đề cho tôi)
u1 và u2 không cùng phương nên hai đường thẳng không song song.
c) (AI giải đề cho tôi)
M(7;3) không thuộc Δ1 (t=1 cho y=-3) và không thuộc Δ2 (t'=0 cho y=-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
d vuông góc Δ1 nên có pháp tuyến cùng phương u1=(5;-6): 5x-6y+c=0; qua (1;2) được c=7.

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $x-y-2=0$, $x+2y-5=0$ được $A(3;1)$. Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $B+C=3G-A=(9;6)-(3;1)=(6;5)$. Gọi $B(t;t-2)$ trên $AB$ thì $C(6-t;7-t)$. Điều kiện $C\in AC$: $(6-t)+2(7-t)-5=0\Rightarrow 15-3t=0\Rightarrow t=5$. Vậy $B(5;3)$, $C(1;2)$. Vecto pháp tuyến của $BC$ là $\vec{n}=(1;-4)$, đường thẳng $BC$: $1(x-5)-4(y-3)=0\iff x-4y+7=0$. Do đó $m=-4$, $n=7$, $m+n=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;3-1)=(1;2)$. Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ vuông góc với $AB$, nên $\overrightarrow{AB}=(1;2)$ chính là một vectơ pháp tuyến của đường trung trực. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trực tâm $H(1;1)$. Vì $BH\perp AC$ nên đường thẳng $BH$ có vecto chỉ phương là pháp tuyến của $AC$: $(4;7)$, suy ra $BH:7x-4y-3=0$. Giao với $AB:5x-2y+6=0$ ta được $B\left(-5;-\frac{19}{2}\right)$. Vì $CH\perp AB$ nên $CH$ có vecto chỉ phương $(5;-2)$, suy ra $CH:2x+5y-7=0$. Giao với $AC:4x+7y-21=0$ ta được $C\left(\frac{28}{3};-\frac{7}{3}\right)$. Vecto $\overrightarrow{BC}=\left(\frac{43}{3};\frac{43}{6}\right)$ cùng phương với $(2;1)$, nên vecto pháp tuyến của $BC$ cùng phương với $(1;-2)$. Vậy $a=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;0)$ và $B(0;3)$, có dạng $3x+by+c=0$. Thay $A(2;0)$: $3\cdot 2+b\cdot 0+c=0\Rightarrow c=-6$. Thay $B(0;3)$: $3\cdot 0+3b+c=0\Rightarrow 3b-6=0\Rightarrow b=2$. Vậy $T=b+2c=2+2(-6)=-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB đi qua A(3;-1), B(0;3) có hệ số góc $k=\frac{3-(-1)}{0-3}=-\frac{4}{3}$, phương trình: $y=-\frac{4}{3}x+3\iff 4x+3y-9=0$. Gọi $M(m;0)$ thuộc Ox với $m>2$. Khoảng cách từ M đến AB: $d(M,AB)=\frac{|4m+0-9|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|4m-9|}{5}=1\Rightarrow |4m-9|=5\Rightarrow 4m-9=5$ hoặc $4m-9=-5$, tức $m=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$ hoặc $m=1$. Vì $m>2$ nên $m=\frac{7}{2}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao kẻ từ B vuông góc với AC. Ta có $\overrightarrow{AC}=(2-(-1);4-(-1))=(3;5)$. Vecto pháp tuyến của đường cao từ B phải song song với $\overrightarrow{AC}$, tức là $\vec{n}=(3;5)$. Kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=9+25=34\ne 0$ là điều kiện vuông góc giữa pháp tuyến và chỉ phương, ở đây $\vec{n}$ trùng hướng $\overrightarrow{AC}$ nên vuông góc với đường cao — đúng yêu cầu. Vậy chọn A.