Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng (vuông góc sông) là $x>0$, chiều dài song song sông là $y>0$. Hàng rào chỉ gồm 3 cạnh: $2x+y=240\Rightarrow y=240-2x$ với $0<x<120$.

Diện tích: $S(x)=x(240-2x)=240x-2x^2$.

$S^{\prime }(x)=240-4x=0\Rightarrow x=60$. Vì $S^{\prime \prime }(x)=-4<0$ nên $S$ đạt max tại $x=60$, khi đó $y=240-120=120$.

Diện tích lớn nhất: $S=60\cdot 120=7200$ (m²).

Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất là $7200{\text{m}}^2$ (kích thước $120\text{m}\times 60\text{m}$, cạnh song song sông dài 120 m).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+\ln x$ xác định trên $[1;e^2]$ với $y^{\prime }=1+\frac{1}{x}>0$ nên hàm số đồng biến trên đoạn này. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=1$: $y(1)=1+\ln 1=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-x+3}{x+2}$ liên tục trên $[-1;3]$ (mẫu khác 0). Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x+2)-(x^2-x+3)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-5}{(x+2{)}^2}=\frac{(x-1)(x+5)}{(x+2{)}^2}$. Trên $[-1;3]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=1$. Tính giá trị: $y(-1)=\frac{1+1+3}{1}=5$; $y(1)=\frac{1-1+3}{3}=1$; $y(3)=\frac{9-3+3}{5}=\frac{9}{5}=1,8$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $1$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ với mọi $x$, nên $f$ đồng biến trên $[1;3]$. Do đó ${\max }_{[1;3]}f(x)=f(3)=27+9-6=30$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1202, Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=-1$) và giá trị nhỏ nhất $m=-1$ (tại $x=1$). Vậy $M+m=3+(-1)=2$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1202: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=3$ (tại $x=-1$ và $x=2$) và giá trị nhỏ nhất $m=-1$ (tại $x=1$). Vậy $M+m=3+(-1)=2$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án mã đề 1201 (câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ với mọi $x$, nên $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó trên đoạn $[1;3]$ giá trị lớn nhất đạt tại $x=3$: $f(3)=27+9-6=30$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2-1<0$ với mọi $x$, nên $f$ nghịch biến trên $[-2;0]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $f(0)=-0-0+2=2$. Kiểm tra: $f(-2)=-(-8)+2+2=12$? Tính lại: $f(-2)=-(-2{)}^3-(-2)+2=8+2+2=12$. Vậy $\min f=2$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{4x-x^2}$ xác định trên $[0;4]$. Ta có $y^2=4x-x^2=4-(x-2{)}^2\le 4$, nên $y\le 2$, dấu bằng khi $x=2$. Vậy GTLN của hàm số trên $[0;4]$ bằng $2$, đạt tại $x=2$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[-2;2]$, hàm số đạt cực đại $f(-1)=-1$ và cực tiểu $f(1)=-5$; giá trị tại hai đầu mút $f(-2)$ và $f(2)$ đều thấp hơn (khoảng $-5$). Vậy $m=\min f=-5$, $M=\max f=-1$. Đáp án D.

Lời giải. Đáp số: 40.
$R(x)=x^2(60-x)=-x^3+60x^2$.
$R^{\prime }(x)=-3x^2+120x=0\Rightarrow x=0;x=40$.
BBT:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>0</td><td>40</td><td>60</td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td></tr><tr><td>y</td><td>0</td><td>\nearrow 32000\searrow </td><td>0</td></tr></tbody></table>$$
Kết luận: Để đồ giảm đau đạt giá trị lớn nhất theo mô hình đã cho, nên tiêm liều 40 mg.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x+1}$ xác định trên $[0;2]$ vì $2x+1\ne 0$ với mọi $x\in [0;2]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)-(2x-2)}{(2x+1{)}^2}=\frac{3}{(2x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;2]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn này. Do đó $m=y(0)=\frac{-1}{1}=-1$ và $M=y(2)=\frac{1}{5}$. Suy ra $M+m=\frac{1}{5}-1=-\frac{4}{5}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-20x=4x(x^2-5)$. Trên $[0;9]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\sqrt{5}$. Xét $f(0)=-4$; $f(\sqrt{5})=25-50-4=-29$; $f(9)=9^4-10\cdot 81-4=6561-810-4=5747$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;9]$ là $-29$, đạt được tại $x=\sqrt{5}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Phần III câu 2: $-29$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-30=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{10}$. Trên đoạn $[2;19]$ chỉ có điểm $x=\sqrt{10}$. Tính: $f(2)=8-60=-52$; $f(\sqrt{10})=10\sqrt{10}-30\sqrt{10}=-20\sqrt{10}\approx -63,25$; $f(19)=6859-570=6289$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-20\sqrt{10}$ (tại $x=\sqrt{10}$, vì $-20\sqrt{10}\approx -63,25<-52$). Đáp án khớp với bảng hướng dẫn chấm (mã đề 0102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ có dấu $-0+0-0+$ tại $x=-2,0,2$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đồng biến trên $(-2;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$. Suy ra $f(-2)=1$ (cực tiểu), $f(0)=3$ (cực đại), $f(2)=1$ (cực tiểu). Trên đoạn $[-2;2]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $\max \{f(-2),f(0),f(2)\}=\max \{1,3,1\}=3$. Vậy chọn đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 0102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-3;3]$, hàm số tăng từ $f(-3)=2$ xuống $f(0)=-1$ rồi tăng lên $f(3)=2$. So sánh giá trị tại hai đầu mút và tại điểm cực tiểu trong đoạn: $f(-3)=2$, $f(0)=-1$, $f(3)=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $y=f(x)$ trên đoạn $[-3;3]$ là $-1$, đạt tại $x=0$. Khớp với đáp án B trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 0101).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)$. Trên đoạn $[0;3]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$. Tính: $f(0)=-36$, $f(\sqrt{2})=4-8-36=-40$, $f(3)=81-36-36=9$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;3]$ là $-40$, đạt tại $x=\sqrt{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, Phần III, Câu 2: $-40$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-20x=4x(x^2-5)$. Trên $[0;9]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\sqrt{5}$. Tính: $f(0)=-4$; $f(\sqrt{5})=25-50-4=-29$; $f(9)=9^4-10\cdot 81-4=6561-810-4=5747$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-29$ tại $x=\sqrt{5}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số điện thoại mỗi lô ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $x\le 600$), khi đó số lô trong năm là $\frac{600}{x}$.

Chi phí vận chuyển cả năm gồm:
- Chi phí theo lô: $50\cdot \frac{600}{x}=\frac{30000}{x}$ (USD).
- Chi phí 3 USD/chiếc chỉ tính cho lần vận chuyển đầu tiên: $3\cdot 600=1800$ (USD) — đây là hằng số, không ảnh hưởng đến việc tìm giá trị nhỏ nhất.

Tổng chi phí: $f(x)=\frac{30000}{x}+1800$.

Vì $f(x)$ giảm dần trên $(0;+\infty )$ (đạo hàm $f^{\prime }(x)=-\frac{30000}{x^2}<0$), chi phí nhỏ nhất khi $x$ lớn nhất, tức $x=600$ (cửa hàng nhập tất cả 600 chiếc trong một lô duy nhất).

Khi đó chi phí vận chuyển cả năm thấp nhất là $f(600)=50+1800=1850$ USD.

Vậy cửa hàng nên nhập mỗi lô 600 chiếc điện thoại.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-12x+6$ trên $[-3;3]$. Có $y^{\prime }=3x^2-12=0\iff x=\pm 2$ (thuộc đoạn). Tính: $y(-3)=-27+36+6=15$; $y(3)=27-36+6=-3$; $y(-2)=-8+24+6=22$; $y(2)=8-24+6=-10$. Vậy giá trị lớn nhất là $22$ tại $x=-2$, tương ứng đáp án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (D).