Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^4+\frac{2}{x^2}$ trên $[1;2]$. Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-\frac{4}{x^3}=\frac{4(x^6-1)}{x^3}$. Trên $[1;2]$ ta có $x^6\ge 1$ nên $f^{\prime }(x)\ge 0$, tức hàm số đồng biến trên $[1;2]$ (chỉ bằng 0 tại $x=1$). Do đó $m=f(1)=1+2=3$ và $M=f(2)=16+\frac{2}{4}=16+\frac{1}{2}=\frac{33}{2}$. Vậy $m+2M=3+2\cdot \frac{33}{2}=3+33=36$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=4x^3-24x^2+44x-24=4(x-1)(x-2)(x-3)$. Trên đoạn $[0;4]$, $y^{\prime }=0$ tại $x=1,2,3$. Tính giá trị: $y(0)=2$; $y(1)=1-8+22-24+2=-7$; $y(2)=16-64+88-48+2=-6$; $y(3)=81-216+198-72+2=-7$; $y(4)=256-512+352-96+2=2$. So sánh các giá trị, GTLN của hàm số trên $[0;4]$ là $2$, đạt tại $x=0$ và $x=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Trên đoạn $[-2;0]$ có điểm tới hạn $x=-1$. Tính: $f(-2)=-8+6+1=-1$; $f(-1)=-1+3+1=3$; $f(0)=1$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-1$ tại $x=-2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
C(t)=120t/(t^2+36). C'(t)=120(36−t^2)/(t^2+36)^2, bằng 0 khi t=6. Với 0≤t<6 thì C'>0, t>6 thì C'<0 nên max tại t=6: C(6)=720/72=10 mg/L.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-6x+8=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=4$ (đều thuộc $[1;5]$). Tính giá trị: $f(1)=\frac{1}{3}-3+8-2=\frac{10}{3}$; $f(2)=\frac{8}{3}-12+16-2=\frac{14}{3}$; $f(4)=\frac{64}{3}-48+32-2=\frac{10}{3}$; $f(5)=\frac{125}{3}-75+40-2=\frac{14}{3}$. Vậy $M=\frac{14}{3}$, $m=\frac{10}{3}$, nên $M+m=\frac{24}{3}=8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
$$y^{\prime }=x^2-6x+8=0\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}$$
Bảng biến thiên



Suy ra $M=\frac{14}{3},m=\frac{10}{3}$. Vậy $M+m=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-5;7)$, hàm số giảm từ $f(-5)=6$ xuống $f(1)=2$ rồi tăng dần, tiến tới $9$ khi $x\to 7^{-}$ nhưng $x=7$ không thuộc tập xác định nên không đạt giá trị $9$. Do đó giá trị nhỏ nhất là $f(1)=2$ (đạt tại $x=1$), còn giá trị lớn nhất không tồn tại vì hàm tăng tiến tới $9$ nhưng không đạt. Vậy mệnh đề đúng là $\underset{[-5;7)}{\min }f(x)=2$, khớp đáp án A (mã đề 102, câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên $[-5;7)$: hàm số giảm từ $f(-5)=6$ xuống $f(1)=2$ rồi tăng dần, tiến tới 9 khi $x\to 7^{-}$ (không đạt được vì 7 không thuộc tập xác định). Do đó ${\min }_{[-5;7)}f(x)=2$ (đạt tại $x=1$) và ${\max }_{[-5;7)}f(x)$ không tồn tại vì giá trị 9 không đạt được. Vậy mệnh đề đúng là D, khớp với đáp án nguồn (Câu 12, Mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ,-1)$, nghịch biến trên $(-1,0)$, đồng biến trên $(0,1)$, nghịch biến trên $(1,+\infty )$; $f(-1)=f(1)=4$ (cực đại), $f(0)=3$ (cực tiểu), và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Vì hàm số không bị chặn dưới nên không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ (loại A, B). Giá trị lớn nhất của hàm số là ${\max }_{\mathbb{R}}f(x)=4$ đạt tại $x=-1$ và $x=1$, nên mệnh đề C đúng; mệnh đề D sai vì không có giá trị $f=1$ là max. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+4}{x-1}=x+\frac{4}{x-1}$ với $x\in [2;9]$ (liên tục trên đoạn). Ta có $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=3$ (nằm trong đoạn). Giá trị tại các điểm then chốt: $y(2)=2+4=6$; $y(3)=3+\frac{4}{2}=5$ (đây là điểm cực tiểu); $y(9)=9+\frac{4}{8}=9,5$. So sánh: $\max \{6;5;9,5\}=9,5$, đạt tại $x=9$. Kết quả khớp đáp án nguồn 9,5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số: $f(-1)=1$, hàm tăng đến điểm cực đại $f(0)=3$, sau đó giảm đến điểm cực tiểu $f(1)=-1$, rồi tăng lên $f\left(\frac{5}{2}\right)=4$. Trên đoạn $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$, ta so sánh các giá trị: $f(-1)=1$, $f(0)=3$, $f(1)=-1$, $f\left(\frac{5}{2}\right)=4$. Giá trị nhỏ nhất là $f(1)=-1$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án mã đề 0102 (câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
h(x)=12x−x² có h'(x)=12−2x=0 ⇒ x=6 thuộc [2;8]. h(6)=36, h(2)=20, h(8)=32, nên GTLN tại x=6, tức thứ 6. Khớp đáp án nguồn (cột 5 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến rồi nghịch biến trên các khoảng, đạt giá trị lớn nhất $f(-1)=f(1)=4$ (hai điểm cực đại), giá trị cực tiểu $f(0)=3$, và khi $x\to \pm \infty$ thì $f(x)\to -\infty$. Do đó $\underset{\mathbb{R}}{\mathrm{Max}}f(x)=4$ (đạt tại $x=\pm 1$), còn $\underset{\mathbb{R}}{\mathrm{Min}}f(x)$ không tồn tại vì hàm số giảm vô hạn. Vậy đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (đề 0101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $4$ (tại $x=\frac{5}{2}$) và giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ (tại điểm cực tiểu với $f(x)=-1$). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho là $-1$, khớp với đáp án A (mã đề 0101 câu 2 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ xác định trên $[0;3]$ vì $x+1\ne 0$ với mọi $x\in [0;3]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;3]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn $[0;3]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1$. Vậy $\underset{[0;3]}{\min }y=-1$, khớp với đáp án B (bảng đáp án mã đề 0122, câu 11 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{2x-2}$ xác định trên $[-1;0]$ vì mẫu khác 0 (chỉ bằng 0 tại $x=1$). Ta có $y^{\prime }=\frac{2x(2x-2)-2(x^2+3)}{(2x-2{)}^2}=\frac{2x^2-4x-6}{(2x-2{)}^2}=\frac{2(x-3)(x+1)}{(2x-2{)}^2}$. Trên đoạn $[-1;0]$: $x-3<0$, $x+1\le 0$ nên $y^{\prime }\le 0$, tức hàm số nghịch biến trên $[-1;0]$. Do đó GTLN $a=y(-1)=\frac{1+3}{-4}=-1$ và GTNN $b=y(0)=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$. Vậy $Q=a+b=-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}=-2,5$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-\frac{1}{2})$ đạt giá trị $3$ tại $x=-\frac{1}{2}$, sau đó nghịch biến trên $(-\frac{1}{2};2)$ xuống giá trị $-1$ tại $x=2$, rồi đồng biến trên $(2;+\infty )$ và tiến tới $1$ khi $x\to +\infty$. Vì $3>1>-1$ và $f(-\frac{1}{2})=3$ là giá trị lớn nhất trên toàn miền, nên $\underset{\mathbb{R}}{\max }y=3$. Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(-1)=2$, $f(0)=4$, $f(2)=-5$, $f(3)=3$; hàm đồng biến trên $(-1;0)$ và $(2;3)$, nghịch biến trên $(0;2)$.
a) Đúng: Trên $[-1;3]$, giá trị lớn nhất là $\max \{2;4;-5;3\}=4$ tại $x=0$.
b) Sai: Hàm chỉ đồng biến trên $(-1;0)$ và $(2;3)$, không đồng biến trên $(-5;3)$ (mặt khác $(-5;3)$ không nằm trong tập xác định $[-1;3]$).
c) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ và từ $-$ sang $+$ tại $x=2$, nên hàm số có 2 điểm cực trị $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu).
d) Đúng: $\max y=4$, $\min y=-5$, tổng bằng $4+(-5)=-1$.
a) Giá trị lớn nhất trên $[-1;3]$ là $\max \{2;4;-5;3\}=4$.
b) Hàm chỉ đồng biến trên $(-1;0)$ và $(2;3)$, không đồng biến trên $(-5;3)$.
c) $y^{\prime }$ đổi dấu tại $x=0$ và $x=2$ nên có 2 điểm cực trị.
d) $\max y+\min y=4+(-5)=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ xác định trên $[0;3]$ vì $x+1\ne 0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;3]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn $[0;3]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{0-1}{0+1}=-1$. Kiểm tra: $y(3)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}>-1$. Vậy $\underset{[0;3]}{\min }y=-1$, khớp với đáp án B trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2+2$ trên $[-3;3]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$. Tính giá trị tại các điểm nghi ngờ và hai đầu đoạn: $y(-3)=-27-27+2=-52$; $y(0)=2$; $y(2)=8-12+2=-2$; $y(3)=27-27+2=2$. Vậy giá trị lớn nhất là $2$, tương ứng phương án C.