Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Bộ phận sản xuất của một công ty xác định chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi biểu thức $T(x)=x^2+20x+4000$ (nghìn đồng). Nếu $x$ sản phẩm đều được bán hết và giá bán mỗi sản phẩm là $150$ nghìn đồng thì lợi nhuận lớn nhất mà công ty thu được là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 18. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30000$ đồng mà cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18000$. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Câu 19. Để làm một cái hộp đựng quà tặng bạn nhân dịp sinh nhật. Từ một tấm bìa hình chữ nhật với kích thước $40\text{ cm}\times 20\text{ cm}$, bạn Mai cắt bỏ hai hình vuông có cạnh là $x\text{ (cm)}$ và hai hình chữ nhật rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật. Biết phần không gian của hộp đựng được nhiều quà nhất. Khi đó giá trị $x\text{ (cm)}$ thuộc khoảng nào?

Câu 3. Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh $20\text{ cm}$ bạn Hoa muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau. Để thể tích hình chóp lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Hoa cắt đi là bao nhiêu ${\text{cm}}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 4. Hình dáng phần đất liền của hai xã thuộc tỉnh Quảng Ninh được mô hình hoá bởi đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$; biết đồ thị có một điểm cực trị là $(1;1)$, với hệ trục toạ độ $Oxy$ như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là $10$ mét. Để thuận tiện cho giao thông hai xã, lãnh đạo tỉnh đã phê duyệt dự án xây một chiếc cầu nối phần đất liền của hai xã này. Nhằm tiết kiệm chi phí cho công trình, người kỹ sư trưởng thiết kế có nhiệm vụ nghiên cứu để chọn được vị trí $A,B$ trên phần đất liền hai xã sao cho độ dài chiếc cầu là ngắn nhất có thể.



Hỏi độ dài ngắn nhất của chiếc cầu đó là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Câu 3. Gọi $m$ và $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=x+\sqrt{2-x^2}$. Khi đó $M-m$ bằng

Câu 8. Một trung tâm cứu hộ động vật hoang dã chăm sóc hai cá thể động vật có khối lượng $x\text{ kg}$ và $y\text{ kg}$ ($x>0,y>0$). Khối lượng của hai cá thể thỏa mãn hệ thức $x^{\frac{3}{4}}+2\cdot y^{\frac{3}{4}}=12$. Chỉ số tương tác sinh học giữa hai cá thể được xác định bởi $S=\frac{1}{2}{x}^{\frac{3}{4}}+2y^{\frac{3}{4}}+\frac{64}{x^{\frac{3}{4}}\cdot y^{\frac{3}{4}}}$. Chỉ số $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi tỷ số khối lượng $\frac{y}{x}$ của hai cá thể bằng

Câu 11. Cho hàm số $f(x)=\left|\frac{1}{4}{x}^4-\frac{7}{3}{x}^3+6x^2+a\right|$ (với $a$ là tham số). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;4]$. Tổng các số nguyên $a$ thuộc $[-20;20]$ sao cho $M\le 4m$ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Một chiếc đèn được đặt trên đỉnh của một cột đèn cao $h\text{ (m)}$ để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính $12\text{ m}$. Cường độ ánh sáng $I$ tại một điểm $P$ trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc $\theta$ và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $d\text{ (m)}$ từ nguồn sáng đến điểm $P$ (hình dưới).

Câu 3. Một xưởng sản xuất nhận được đơn đặt hàng là $8000$ sản phẩm $Y$. Trong xưởng có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất $30$ sản phẩm $Y$ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là $200$ nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và cần hai người giám sát. Chi phí cần trả mỗi người giám sát là $96$ nghìn đồng mỗi giờ. Gọi $x$ là số máy mà xưởng cần dùng để sản xuất, khi đó:

Câu 1. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y=x^3-3x^2$ trên $\left[-2;\frac{5}{2}\right]$ lần lượt là $M$ và $m$. Khi đó giá trị của biểu thức $M+2m$ bằng:

Câu 10. Một hợp tác xã cần vận chuyển $3600\text{ kg}$ sầu riêng trong $1$ mùa vụ. Hợp tác xã chia thành nhiều chuyến, mỗi chuyến chở $x\text{ kg}$ ($1\le x\le 3600,x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$), và giả sử $x$ là ước của $3600$ để chia đều số chuyến. Chi phí cho mỗi chuyến gồm: Phí xe cố định: $50$ nghìn đồng/chuyến; Phí bảo quản lạnh tỉ lệ theo tải: $0,005x^2$ (nghìn đồng/chuyến). Hỏi mỗi chuyến nên chở bao nhiêu kg để tổng chi phí là nhỏ nhất?

Câu 5. Số lượt tải xuống (đơn vị: nghìn lượt) của một ứng dụng trò chơi mới ra mắt được mô hình hóa bởi hàm số $N(t)=\frac{a{t}^2+bt}{t^2+ct+d}$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng ngày kể từ lúc phát hành). Biết rằng tại thời điểm khảo sát hết ngày đầu tiên, ứng dụng đạt tổng cộng $17,5$ nghìn lượt tải. Đến hết ngày thứ $2$, tổng số lượt tải tích lũy đạt $30$ nghìn lượt tải. Khi chiến dịch quảng cáo kéo dài ra vô hạn, tổng số lượt tải của ứng dụng sẽ tiến dần về mức tối đa bão hòa thị trường là $100$ nghìn lượt. Tốc độ tăng trưởng lượt tải tại thời điểm khởi đầu được ghi nhận $20$ nghìn lượt/ngày. Kể từ ngày thứ $3$ trở đi, chi phí để duy trì chiến dịch quảng cáo này là $10$ triệu đồng/ngày cho tiền chạy quảng cáo. Biết rằng mỗi một nghìn lượt tải tăng thêm sẽ đem lại doanh thu cố định là $4$ triệu đồng. Để tối ưu hóa lợi nhuận, nhà phát hành nên dừng chạy chiến dịch quảng cáo này ngay sau khi kết thúc ngày thứ bao nhiêu?

Câu 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3+\frac{9x^2}{2}-1$ trên đoạn $[-7;2]$.

Câu 2. Cho hàm số $y=2x^3-15x^2+36x+3$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau.

Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+5$ trên đoạn $[-3;6]$.

Câu 12. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;4]$ và có đồ thị như hình vẽ.

![Đồ thị hàm số y = f(x) trên đoạn [0;4] ở câu 12](https://cdn.dethichuan.com/toan/images/b42a5756be1936be5c98c2826be231e2ae5001eb2de1432b85b86d5d9ae65cc2/q12-fig1.png)

Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;3]$ bằng

Câu 2. Một xe điện giao hàng đi quãng đường bằng phẳng dài $120\text{ km}$ với vận tốc không đổi $v\text{ (km/h)}$. Công suất tiêu thụ điện khi xe chạy ở vận tốc này được mô hình hóa bởi hàm số $P(v)=12+\frac{v^2}{300}\text{ (kW)}$. Bỏ qua điện năng lúc khởi hành và dừng xe. Để điện năng tiêu thụ trên cả quãng đường là nhỏ nhất, xe cần chạy với vận tốc bao nhiêu kilômét trên giờ? (Biết công thức tính điện năng tiêu thụ (kWh) là: điện năng = công suất tiêu thụ điện $\times$ thời gian).

Câu 3. Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước $30\text{ cm}\times 20\text{ cm}$, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau có cạnh $x\text{ (cm)}$ rồi gấp thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp đạt giá trị lớn nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 4. Một cửa hàng dự kiến bán $x$ sản phẩm mỗi tháng. Giá bán mỗi sản phẩm là $p(x)=600-0,5x$ (nghìn đồng) và số sản phẩm mỗi tháng không vượt quá $800$ sản phẩm. Tổng chi phí sản xuất là $C(x)=100x+50000$ (nghìn đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?