Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-24x$ trên đoạn $[-8;-2]$ bằng

Một sân điền kinh gồm hai sân hình bán nguyệt có bán kính $x\text{ (m)}$ ($x>0$) và một sân hình chữ nhật như hình vẽ. Biết chu vi của sân điền kinh là $400\text{ m}$, tìm diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật theo mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1{\text{ (m}}^3\text{)}$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp $1,5$ lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là $240000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí vật liệu làm mặt bên là $180000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, …). Hỏi với $200$ triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s=-t^3+6t^2+17t$, với $t$ (s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc $v$ (m/s) của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 4. Công ty A ký hợp đồng cung cấp một lô thiết bị cho đối tác B. Hai bên thỏa thuận chính sách giá như sau:
- Nếu số lượng thiết bị đặt hàng không vượt quá $40$ chiếc, giá bán mỗi chiếc được cố định là $40$ triệu đồng.
- Nếu số lượng đặt hàng lớn hơn $40$ chiếc, thì kể từ chiếc thứ $41$ trở đi, cứ mỗi một chiếc đặt thêm sẽ làm giảm giá bán của toàn bộ thiết bị đi $100$ nghìn đồng.

Biết rằng bộ phận kế toán của công ty A ước tính chi phí sản xuất cho $x$ thiết bị được cho bởi hàm số $C(x)=\frac{1}{300}{x}^3-0,2x^2+20x$ (triệu đồng). Năng lực sản xuất tối đa của công ty A cho đơn hàng này giới hạn ở mức $90$ thiết bị. Gọi $x$ (chiếc) là tổng số thiết bị đối tác B đặt hàng, biết rằng $x>40$ và giả sử $x$ có thể nhận các giá trị thực liên tục để thuận tiện cho việc khảo sát. Xét tính đúng hoặc sai của các khẳng định sau:

Câu 2. Trong hội thao mùa hè, một học sinh trường THPT Nguyễn Trung Trực tham gia cuộc thi thể thao phối hợp (Chèo thuyền - Chạy bộ). Học sinh này đang ở trên thuyền Kayak tại vị trí $A$ trên mặt hồ, cách bờ hồ thẳng (tại điểm $B$) một khoảng $4\text{ km}$. Đích đến là vị trí $C$ dọc theo bờ hồ, cách $B$ một khoảng $9\text{ km}$.



Theo chiến thuật, học sinh sẽ chèo thuyền thẳng từ $A$ đến một điểm $D$ nằm giữa $B$ và $C$ trên bờ, sau đó lập tức lên bờ chạy bộ từ $D$ đến đích $C$. Biết vận tốc chèo thuyền của học sinh là $6\text{ km/h}$ và vận tốc chạy bộ trên bờ là $10\text{ km/h}$.
Gọi $x\text{ (km)}$ là khoảng cách từ $B$ đến điểm cập bến $D$ (với $0<x<15$) và $t(x)$ là hàm số biểu diễn tổng thời gian hoàn thành chặng đua. Hỏi hàm số $t(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Để chuẩn bị cho lễ hội Trung thu, các bạn học sinh lớp 12 trường THPT Nguyễn Trung Trực thiết kế những chiếc lồng đèn có dạng khối lăng trụ lục giác đều.
Các bạn sử dụng một tấm bìa hình chữ nhật có chu vi bằng $72\text{ cm}$, chia tấm bìa thành $6$ phần bằng nhau rồi gấp lại để làm mặt xung quanh của chiếc lồng đèn (như hình vẽ minh họa). Phần hai mặt đáy của lồng đèn được dán bằng giấy kiếng trong suốt. Giả sử phần hao hụt do các mép gấp, dán là không đáng kể.
Gọi $x\text{ (cm)}$ là độ dài cạnh đáy của chiếc lồng đèn (với $0<x<6$) và $V(x)$ là hàm số biểu diễn thể tích không gian bên trong chiếc lồng đèn. Hỏi giá trị cực đại của hàm số $V(x)$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một cái ao nuôi cá hình chữ nhật của nhà ông An có chiều dài $20$m và chiều rộng $15$m, tại một góc nhỏ của ao ông An đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $1$m và cách bờ $AC$ là $8$m, rồi dùng một dây phao căng thẳng ngăn một góc nhỏ của ao để làm nơi cho cá ăn (phần in đậm như hình vẽ) sao cho dây phao có thể đồng thời chạm vào hai bờ $AB,AC$ và vào cái cọc $K$. Biết mỗi mét dây phao ông An cần mua có giá $130$ nghìn đồng. Hỏi ông An phải bỏ ra ít nhất bao nhiêu nghìn đồng để mua dây phao đó (bỏ qua đường kính của dây phao và cái cọc, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 1. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=(x^2+x+1)e^{-x}$ trên đoạn $[-1;0]$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 4. Cho một tấm bìa hình elip tâm $O$ có độ dài trục lớn và trục bé lần lượt bằng $8$ và $6$. Một hình chữ nhật có các cạnh song song hoặc vuông góc với hai trục của elip như hình vẽ, người ta tiến hành cắt ra các tam giác cân từ tấm bìa có một cạnh chung với hình chữ nhật sao cho có thể gấp vặn thành một hình chóp tứ giác có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Thể tích lớn nhất của khối chóp tạo thành bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{2}\cos 4x-2x$.

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa $90$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01x^2$ (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=\frac{1}{2}(200+27x)$ (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Cho hàm số $f(x)=\sin 2x-x$.

Câu 1. Trong một dự án giám sát sinh thái hồ, các chuyên gia môi trường mô hình hóa nồng độ oxygen hòa tan $DO$ (đơn vị: $\text{mg/L}$) trong nước hồ sau $t$ giờ $(t\ge 0)$ kể từ khi xảy ra sự cố xả thải hữu cơ bằng hàm số $y=f(t)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng nồng độ oxygen hòa tan được xấp xỉ bởi công thức $f(t)=5-\frac{15t}{9t^2+1}$.



Đạo hàm $f^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ thay đổi nồng độ oxygen trong nước hồ (đơn vị: $\text{mg/(L}\cdot \text{giờ)}$). Tốc độ phục hồi (hoặc gia tăng) nồng độ oxygen hòa tan trong hồ đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t=\frac{\sqrt{a}}{b}$ giờ ($a$ và $b$ là các số nguyên tố). Tính giá trị của biểu thức $P=a-b$.

Một hộ sản xuất kinh doanh hạt điều sấy mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ ($5\le x\le 20$). Tổng chi phí sản xuất $x\text{ kg}$ được cho bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2+19x+300$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ sản xuất này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $316$ nghìn đồng/kg. Hỏi hộ sản xuất này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu kilôgam hạt điều để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Giám đốc của show diễn ca nhạc “ATVNCG” đang xác định mức vé vào cửa cho đêm biểu diễn dự kiến vào tháng 12/2024 tại Hà Nội. Theo kinh nghiệm nhiều năm tổ chức show diễn của mình, giám đốc đã xác định được rằng: Nếu giá vé vào cửa là 85 USD/vé thì trung bình có 15 000 khán giả đến xem. Mỗi lần tăng giá vé thêm 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ giảm đi 1 000 người. Mỗi lần giảm giá vé đi 10 USD/vé thì số khán giả đến xem sẽ tăng lên 1 000 người. Biết rằng, trung bình mỗi khán giả đến xem còn giúp show diễn có thêm 5 USD từ các dịch vụ đi kèm và mỗi khá giả vào xem phải có 1 vé vào cửa. Hỏi giám đốc chọn giá vé vào cửa cho show diễn này là bao nhiêu USD/vé để tổng số tiền thu được sau đêm diễn (gồm tổng tiền bán vé và tiền thu từ các dịch vụ đi kèm) là lớn nhất?

Câu 9. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-3x+2$ trên đoạn $[0;2]$ bằng:

Câu 4. Cho hàm số $y=x-\ln x$. Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[\frac{1}{2};e\right]$ bằng $ae+b$. Tính $2026a-2027b$.

Câu 17. Một hợp tác xã chuyên sản xuất trà sen chất lượng cao để xuất khẩu và bán lẻ, mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ trà sen $(1\le x\le 20)$. Tổng chi phí sản xuất $x\text{ kg}$ trà sen trong ngày, tính theo đơn vị nghìn đồng, được xác định bởi hàm số: $C(x)=x^3-18x^2+266x+260$. Biết rằng toàn bộ sản lượng làm ra mỗi ngày đều được tiêu thụ hết với giá bán là $350\text{ nghıˋn đoˆˋng/kg}$. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x\text{ kg}$ trà sen. Hỏi lợi nhuận tối đa mà hợp tác xã có thể thu về trong một ngày là bao nhiêu?

Câu 5. Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2-8x+10y+32+2\sqrt{y^2+10y+26}=2\sqrt{-6+8x-x^2}$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left|\sqrt{x^2+y^2}-a\right|$, $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số $a$ thuộc đoạn $[-15;15]$ để $M\ge 3m$. Tính tổng các phần tử của $S$.