Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một công ty sản xuất hai sản phẩm là sản phẩm A và sản phẩm B. Biết số tiền thu được khi bán sản phẩm A là $50000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$; số tiền thu được khi bán từ 1 đến 100 sản phẩm B là $55000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$, từ 101 đến 200 sản phẩm B là $54000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$, từ 201 đến 300 sản phẩm B là $53000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$… số tiền thu được khi bán thêm 100 sản phẩm B giảm đúng $1000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$ so với 100 sản phẩm đã bán ngay trước đó. Biết chi phí khi sản xuất sản phẩm cả A và B đều là $30000\text{ đoˆˋng/sản phẩm}$. Giả sử trong một tuần tổng hai sản phẩm của công ty sản xuất và bán ra đúng $2000$. Trong một tuần mức lợi nhuận của công ty có thể đạt được lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Một hộ kinh doanh sản xuất mỗi ngày được $x$ sản phẩm ($1\le x\le 20$). Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi $C(x)=x^3-3x^2+80x+500$ (nghìn đồng). Giả sử hộ kinh doanh này bán mỗi sản phẩm với giá $320\text{ nghıˋn đoˆˋng}$. Lợi nhuận lớn nhất mà hộ kinh doanh có được là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một cửa hàng trung bình bán được $900$ cái máy lọc nước mỗi tháng với giá $8$ triệu đồng một cái. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán $100$ nghìn đồng thì số lượng máy lọc nước bán ra tăng $10$ cái. Biết hàm chi phí là $C(x)=2000-\frac{9}{5}x$ (triệu đồng), với $x$ là số máy lọc nước bán ra trong tháng. Tìm lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng thu được (triệu đồng).

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x-2}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$) có $f(0)=1$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.



Biết ${\max }_{[-4;-3]}f(x)=\frac{m}{n}$ (với $m,n\in \mathbb{Z},n>0$; $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m+2n$ bằng

Câu 2. Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài $25\text{ m}$, chiều rộng $15,5\text{ m}$ và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính $10\text{ m}$. Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình (tham khảo hình vẽ).



Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là $2,4\text{ km/h}$, vận tốc đi bộ là $4,8\text{ km/h}$ và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x-3+\frac{9}{x+2}$ trên đoạn $[-1;3]$ bằng

Câu 7. Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là $R=3\sqrt{3}\text{ cm}$. Tính thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Hình trụ nằm trong mặt cầu bán kính $R=4$, có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một công ty chuyên sản xuất thùng phuy để đựng hóa chất, thùng phuy có dạng hình trụ có hai nắp, thùng phuy có thể tích là $1{\text{ m}}^3$. Biết giá vật liệu để làm $1{\text{ m}}^2$ thành thùng phuy là 300 nghìn đồng, để làm $1{\text{ m}}^2$ nắp thùng phuy là 200 nghìn đồng (bề dày của vật liệu không đáng kể). Số tiền ít nhất mà công ty phải bỏ ra để làm một chiếc thùng phuy trên là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một màn hình $NP$ có chiều cao $1,6$ mét được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $NM$ bằng $1,9$ mét. Một chiếc đèn chiếu sáng màn hình đặt ở vị trí $O$ trên mặt đất (xem hình minh họa). Để góc chiếu sáng $NOP$ lớn nhất thì độ dài đoạn $OM$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x)=2\sin x-x$.

Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Để chặn đường hành lang hình chữ L, người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ). Biết $a=5$ mét và $b=2$ mét, hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-7x^2+11x-2$ trên đoạn $[0;3]$ là

Ở khu du lịch D có một cửa hàng chuyên bán áo lưu niệm. Cửa hàng đã lấy hàng hóa để nhập vào kho với giá 20 nghìn đồng/cái. Cửa hàng bán lại cho khách hàng với giá 39 nghìn đồng/cái. Với giá bán như trên, cửa hàng bán được 120 cái/ngày. Trong một thời gian thực hiện giảm giá bán, cửa hàng nhận thấy rằng nếu giảm 1 nghìn đồng/cái thì trong một ngày, số áo bán được tăng thêm 15 cái. Khi giảm giá ở mức phù hợp, cửa hàng có thể thu được lợi nhuận cao nhất trong một ngày là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị nghìn đồng)

Một tàu thuỷ chạy trên biển có tốc độ tối đa là $30$ km/h. Chi phí về nhiên liệu của con tàu đó bao gồm hai phần: Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và có chi phí bằng $280$ nghìn đồng/giờ; phần thứ hai có chi phí trên một kilômét đường đi tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc đi trên quãng đường đó và khi vận tốc $v=10$ km/h thì chi phí phần thứ hai bằng $30$ nghìn đồng/giờ. Để chi phí nhiên liệu trên một kilômét đường đi là nhỏ nhất thì vận tốc của tàu (tính theo đơn vị km/h) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Bác Bình sử dụng một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 32 cm để làm một chiếc xà nhà. Để đảm bảo tính thẩm mĩ thì bác Bình dự định sẽ cho thợ xẻ khúc gỗ thành một chiếc xà có tiết diện ngang (là miền gạch sọc như hình vẽ bên) bao gồm một hình vuông $ABCD$ và 4 miếng phụ là 4 hình chữ nhật bằng nhau. Bốn điểm $A,B,C,D$ nằm trên đường tròn $(T)$; miếng phụ $MNPQ$ có hai đỉnh $M,N$ nằm trên đường tròn $(T)$ và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên cạnh $AB$. Mặt khác, diện tích của tiết diện ngang càng lớn thì chiếc xà chịu lực càng tốt. Hỏi bác Bình có thể tạo ra một tiết diện ngang có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[-3;2]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$. Giá trị của $M+m$ bằng

Một nhà máy chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá vốn sản xuất mỗi kg cà phê là $x$ USD thì sản lượng nhà máy sản xuất được là $R(x)=x-150$ (kg), và lượng tiêu thụ trong nước là $Q(x)=\sqrt{2700-x}$ (kg). Phần cà phê còn dư được xuất khẩu với giá cố định là $1900$ USD mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì nhà máy phải chịu mức thuế là $m$ USD. Lợi nhuận từ xuất khẩu và thuế thu được từ Nhà nước luôn giữ tỷ lệ bằng $4:1$. Hãy tìm giá trị của $m$ để lợi nhuận từ xuất khẩu đạt giá trị lớn nhất.

Một công ty công nghệ X chuẩn bị phát hành một ứng dụng di động mới. Để quảng bá ứng dụng, công ty dự định chi $x$ (triệu đồng) cho chiến dịch quảng cáo trực tuyến. Bộ phận marketing của công ty sau khi phân tích thị trường, ước tính rằng tổng số lượt tải ứng dụng có thể đạt được tuân theo hàm số $N(x)=\frac{15000x}{x+300};x\ge 0$ (nghìn lượt). Với mỗi lượt tải ứng dụng (sau khi đã trừ các chi phí biến đổi trực tiếp liên quan đến mỗi lượt tải) công ty thu được số tiền là 2000 đồng. Công ty có một ngân sách tối đa cho việc quảng cáo ứng dụng lần này là 1,2 tỷ đồng. Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được từ ứng dụng trên là bao nhiêu tỷ đồng?