Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một doanh nghiệp dự định sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 1100$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-2199x^2+1219000x+2025000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+9000+\frac{2025000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một cửa hàng có bán loại sản phẩm A. Khi cửa hàng bán sản phẩm A với giá 400 ngàn đồng thì mỗi tuần cửa hàng bán được 200 sản phẩm. Cửa hàng dự định có đợt giảm giá bán để kích cầu trong dịp lễ sắp tới. Theo khảo sát từ thị trường, mỗi lần giảm giá 20 ngàn đồng một sản phẩm thì cửa hàng bán được thêm 20 sản phẩm mỗi tuần. Hỏi cửa hàng cần bán một sản phẩm với giá là bao nhiêu ngàn đồng để doanh thu trong một tuần là lớn nhất?

Bạn An muốn làm một hộp quà dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hộp quà luôn bằng $600{\text{ cm}}^2$. Hỏi độ dài cạnh đáy của hộp quà bằng bao nhiêu xentimét để thể tích hộp quà lớn nhất?

Một sợi dây kim loại dài $60\text{ dm}$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $a$, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính $r$. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ bằng bao nhiêu?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất $200$ máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán $x$ máy tính bảng $(1\le x\le 200,x\in \mathbb{N})$ thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là $p(x)=4000-10x$ (nghìn đồng), trong đó chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là $c(x)=x^2-70x+400+\frac{1000}{x}$ (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Nếu giá bán rau là $30000\text{ đoˆˋng/kg}$ thì 1 tấn rau thu hoạch được bán hết. Nếu giá bán rau cao hơn $30000\text{ đoˆˋng/kg}$ thì không bán hết 1 tấn rau. Cứ bán tăng thêm $1000\text{ đoˆˋng}$ cho 1 kg rau, số rau thừa lại tăng thêm $20\text{ kg}$. Số rau thừa này được một cơ sở chăn nuôi thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá $2000\text{ đoˆˋng/kg}$. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm mỗi ngày sản xuất được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 19$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa cho bởi công thức $C(x)=\frac{x^3}{3}+4x^2+200$ (nghìn đồng). Giá của một mét vải lụa là 240 nghìn đồng và giả sử hộ luôn bán hết số sản phẩm trong ngày. Để đạt lợi nhuận tối đa thì mỗi ngày hộ cần sản xuất bao nhiêu mét vải lụa?

Một cửa hàng bán lẻ bán được 2500 cái tivi mỗi năm. Để bán được số tivi đó, họ phải đặt hàng từ nhà máy sản xuất tivi nhiều lần trong năm, mỗi lần đặt hàng với số lượng tivi như nhau. Mỗi lần lấy hàng từ nhà máy về thì cửa hàng chỉ trưng bày được một nửa số tivi đó, một nửa còn lại phải lưu vào kho; chi phí gửi trong kho là 10 USD cho một cái tivi và chỉ tính cho một lần nhập hàng trong năm. Chi phí cố định cho mỗi lần đặt hàng là 20 USD, ngoài ra cửa hàng phải trả thêm 9 USD cho mỗi tivi. Hỏi mỗi lần đặt hàng trong năm thì cửa hàng cần đặt bao nhiêu tivi để chi phí mà cửa hàng phải trả là nhỏ nhất?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;2]$ và có đồ thị như hình vẽ sau. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$ là

![Đồ thị hàm số trên [-1; 2]](https://cdn.dethichuan.com/toan/images/2fda7ed7a026cd17b9b300d7b858322453b0156e8c9bb7080597739e0e147dc0/q02_graph.png)

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1;3]$ bằng

![Đồ thị hàm số trên [-1; 3]](https://cdn.dethichuan.com/toan/images/2fda7ed7a026cd17b9b300d7b858322453b0156e8c9bb7080597739e0e147dc0/q07_graph.png)

Sau khi phát hiện dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người bị nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=1+18t^2-\frac{1}{3}{t}^3$, $t=0,1,2,\dots ,30$. Nếu coi $f(t)$ là hàm số xác định trên đoạn $[0;30]$ thì $f^{\prime }(t)$ được xem là tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$. Tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Một người cần xây một nhà kho có mặt tiền mở và sàn hình vuông ($0<x<50,x<y$) và có thể tích là $10000{\text{ m}}^3$. Biết chi phí thi công sàn là 500 ngàn đồng/m², chi phí thi công vách là 800 ngàn đồng/m², chi phí thi công phần mái là 1 triệu đồng/m². Biết tổng chi phí thi công nhà kho là thấp nhất, khi đó diện tích sàn nhà kho bằng bao nhiêu mét vuông?

Một công ty nước ngoài đang cần thuê nhân viên để bán các hợp đồng bảo hiểm cho khách hàng. Công ty nhận thấy nếu thuê $x$ nhân viên với chi phí là $750\text{ USD/tuaˆˋn}$ cho mỗi nhân viên thì công ty sẽ bán được $q(x)=x^3-12x^2+60x$ hợp đồng bảo hiểm. Do hạn chế về không gian, công ty không thể thuê quá 7 nhân viên. Biết công ty nhận được $50\text{ USD}$ cho mỗi hợp đồng bán ra, chi phí cố định mỗi tuần là $2500\text{ USD}$.

Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ bên trong parabol $(P)$ sao cho $A,B$ thuộc $(P)$, $C,D$ thuộc trục $Ox$ như hình vẽ (đơn vị trên trục $Ox,Oy$ là mét). Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí $A$ của một tỉnh miền trung muốn đến xã $C$ để tiếp tế lương thực và thuốc men. Để đi đến $C$, đoàn cứu trợ phải chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $D$ với vận tốc $4\text{ km/h}$, rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $6\text{ km/h}$. Biết $A$ cách $B$ một khoảng $5\text{ km}$, $B$ cách $C$ một khoảng $7\text{ km}$ (hình minh họa). Hỏi vị trí $D$ cách $A$ bao nhiêu km để đoàn cứu trợ đi đến xã $C$ nhanh nhất? *(Nếu ra số gần đúng thì làm tròn kết quả đến hàng phần chục)*.

Cho nửa đường tròn có bán kính bằng $10$. Hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cung tròn và hai đỉnh nằm trên đường kính (tham khảo hình vẽ) có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Một gia đình dự định sử dụng một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $384{\text{m}}^2$ trong khu vườn để làm kinh tế gia đình. Sau khi bờ bên trái của mảnh đất hình chữ nhật được trừ đi $4\text{m}$, $3$ bờ còn lại đều trừ $2\text{m}$ dùng làm lối đi và trồng cây thì diện tích còn lại được sử dụng để đào một cái ao dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu $2\text{m}$ để thả cá (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khi thể tích của ao thả cá là lớn nhất thì chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là bao nhiêu?

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất $300000$ quả bóng Pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất được $60$ quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là $125$ nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là $90$ nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Một thùng chứa hàng bằng gỗ có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $10{\text{ m}}^3$. Chiều dài của đáy gấp đôi chiều rộng, biết chi phí vật liệu làm đáy thùng là $120.000\text{ đoˆˋng}$ cho mỗi mét vuông, chi phí vật liệu làm mặt bên của thùng là $80.000\text{ đoˆˋng}$ cho mỗi mét vuông. Hỏi chiều cao của thùng đó bằng bao nhiêu mét để chi phí mua vật liệu là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-2;2]$ bằng: