Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên $[0;9]$: hàm số giảm từ $y(0)=3$ xuống $y\left(\frac{7}{2}\right)=-\frac{37}{4}$ rồi tăng lên $y(9)=21$. So sánh các giá trị tại hai đầu và điểm tới hạn: $\max \left\{3;-\frac{37}{4};21\right\}=21$. Vậy GTLN của hàm số trên $[0;9]$ là $21$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^2-3x$ có $f^{\prime }(x)=2x-3$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{3}{2}\in [0;2]$. Tính: $f(0)=0$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}=-\frac{9}{4}$, $f(2)=4-6=-2$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $-\frac{9}{4}$ đạt tại $x=\frac{3}{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^2-3x$ liên tục trên $[0;2]$. $f^{\prime }(x)=2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$. Tính: $f(0)=0$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}=-\frac{9}{4}$, $f(2)=4-6=-2$. So sánh: ${\max }_{[0;2]}f(x)=0$ tại $x=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=x^2-7x+3$ có $f^{\prime }(x)=2x-7=0\Rightarrow x=\frac{7}{2}\in [0;9]$. Tính $f(0)=3$, $f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+3=-\frac{37}{4}$, $f(9)=81-63+3=21$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $-\frac{37}{4}$ tại $x=\frac{7}{2}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=x(30-2x)(80-2x)=4x^3-220x^2+2400x$. Khi đó $y^{\prime }=12x^2-440x+2400=4(3x^2-110x+600)$. Nghiệm $y^{\prime }=0$: $x=\frac{110\pm \sqrt{12100-7200}}{6}=\frac{110\pm 70}{6}$, tức $x=30$ hoặc $x=\frac{40}{3}$, đều không thuộc đoạn $[5;10]$. Trên $[5;10]$, ví dụ tại $x=5$: $y^{\prime }=4(75-550+600)=500>0$, nên hàm số đồng biến trên $[5;10]$. Vậy GTLN đạt tại $x=10$: $y(10)=10\cdot (30-20)(80-20)=10\cdot 10\cdot 60=6000$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^4-8x^2+9$ trên $[-1;3]$. Ta có $y^{\prime }=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Trên $[-1;3]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$. Tính giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu đoạn: $y(-1)=1-8+9=2$; $y(0)=9$; $y(2)=16-32+9=-7$; $y(3)=81-72+9=18$. Vậy ${\max }_{[-1;3]}y=18$, đạt được tại $x=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-6x^2+9x-1$ trên nửa khoảng $[-1;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. Trên $[-1;1)$: $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $(1;3)$: $y^{\prime }<0$; trên $(3;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ và $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$. Do đó GTNN chỉ có thể đạt tại $x=-1$, $x=1$ hoặc $x=3$. Tính: $f(-1)=-1-6-9-1=-17$; $f(1)=1-6+9-1=3$; $f(3)=27-54+27-1=-1$. Vậy ${\min }_{[-1;+\infty )}y=-17$ đạt tại $x=-1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^2+\frac{2}{x}$ trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}$. Cho $y^{\prime }=0$ với $x>0$ thì $x^3=1\Rightarrow x=1$. Với $0<x<1$ thì $y^{\prime }<0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }>0$, nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=1$: $y(1)=1+2=3$. Vậy $\underset{(0;+\infty )}{\min }y=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;0)$; $f^{\prime }(0)=0$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1)$; $f^{\prime }(1)=0$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;+\infty )$; hàm số không liên tục tại $x=-1$ (dấu ||).
- A: Trên $[-1;1]$, hàm giảm trên $[-1;0]$ rồi tăng trên $[0;1]$ nên $f(0)$ là GTNN, không phải GTLN. A sai.
- B: Trên $(0;+\infty )$, hàm tăng trên $(0;1)$ rồi giảm trên $(1;+\infty )$ nên đạt GTLN tại $x=1$: $\underset{(0;+\infty )}{\max }f(x)=f(1)$. B đúng.
- C: Trên khoảng mở $(-\infty ;-1)$ hàm giảm nên không đạt GTNN. C sai.
- D: Trên $(-1;+\infty )$, $x=0$ chỉ là điểm cực tiểu, sau $x=1$ hàm lại giảm nên không thể kết luận $f(0)$ là GTNN. D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$, hàm số thành $g(t)=t^2-2t-2=(t-1{)}^2-3$ với $t\ge 0$. a) Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$; khẳng định sai. b) $\min y=g(1)=-3$ đạt tại $x=\pm 1$; khẳng định đúng. c) Tập giá trị là $[-3;+\infty )$; khẳng định đúng. d) Trên $[0;1]$: $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)\le 0$ nên hàm nghịch biến; $\max y=y(0)=-2$ tại $A(0;-2)$, $\min y=y(1)=-3$ tại $B(1;-3)$. Độ dài $AB=\sqrt{(1-0{)}^2+(-3+2{)}^2}=\sqrt{2}$; khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$, $g(t)=(t-1{)}^2-3$ đạt nhỏ nhất bằng $-3$ tại $t=1$ tức $x=\pm 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\min y=-3$ và $y\to +\infty$, tập giá trị là $[-3;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$ hàm nghịch biến: $A(0;-2)$, $B(1;-3)$, nên $AB=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là $x$ và $y$ (cm), với $x>0$, $y>0$ và $xy=100$. Chu vi $P=2(x+y)$. Theo bất đẳng thức AM-GM: $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{100}=20$, dấu bằng khi $x=y=10$. Vậy chu vi nhỏ nhất bằng $40$ cm khi hình chữ nhật là hình vuông cạnh $10$ cm, tức mỗi kích thước bằng $10$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là cạnh góc vuông, $b$ là cạnh góc vuông còn lại, $c$ là cạnh huyền. Theo đề: $a+c=120$, tức $c=120-a$ với $0<a<60$ (vì $c>a$). Theo định lý Pythagore: $a^2+b^2=(120-a{)}^2\Rightarrow b^2=14400-240a$. Diện tích $S=\frac{ab}{2}$, nên $S^2=\frac{a^2(14400-240a)}{4}$. Xét $f(a)=a^2(14400-240a)$ trên $(0;60)$. Có $f^{\prime }(a)=28800a-720a^2=720a(40-a)$, nên $f$ đạt cực đại tại $a=40$. Khi đó $b^2=14400-9600=4800\Rightarrow b=40\sqrt{3}$, và cạnh huyền $c=120-40=80$ cm. Kiểm tra: $40^2+(40\sqrt{3}{)}^2=1600+4800=6400=80^2$ đúng. Vậy cạnh huyền của tấm gỗ có diện tích lớn nhất là $80$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng (cạnh vuông góc với bờ giậu) là $x>0$, chiều dài (song song bờ giậu) là $y>0$. Vì tận dụng bờ giậu nên chỉ cần rào 3 cạnh: $2x+y=180$, suy ra $y=180-2x$ với $0<x<90$.

Diện tích: $S(x)=x(180-2x)=-2x^2+180x$.

$S^{\prime }(x)=-4x+180=0\Rightarrow x=45$. Vì $S^{\prime \prime }(x)=-4<0$ nên $x=45$ cho diện tích lớn nhất. Khi đó $y=180-2\cdot 45=90$ và $S_{\max }=45\cdot 90=4050$ (m²).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V=x^{2}h=500\Rightarrow h=\frac{500}{x^2}$ với $x>0$. Diện tích mảnh các tông gồm đáy hình vuông và 4 mặt bên: $S=x^2+4xh=x^2+\frac{2000}{x}$. Xét $S^{\prime }(x)=2x-\frac{2000}{x^2}=0\Rightarrow x^3=1000\Rightarrow x=10$ (cm). Với $x=10$ thì $S^{\prime \prime }(10)=2+\frac{4000}{10^3}>0$ nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy $x=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ cách $A$ một đoạn $x$ km ($0\le x\le 9$), khi đó $C{B}^{\prime }=9-x$ và độ dài ống dưới nước $CB=\sqrt{(9-x{)}^2+6^2}$. Chi phí: $f(x)=50x+130\sqrt{(9-x{)}^2+36}$ (nghìn USD). $f^{\prime }(x)=50-\frac{130(9-x)}{\sqrt{(9-x{)}^2+36}}=0\Rightarrow \frac{9-x}{\sqrt{(9-x{)}^2+36}}=\frac{5}{13}$. Bình phương: $169(9-x{)}^2=25\left((9-x{)}^2+36\right)\Rightarrow 144(9-x{)}^2=900\Rightarrow 9-x=2,5\Rightarrow x=6,5$. Kiểm tra: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>6,5$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<6,5$ nên $x=6,5$ cho chi phí nhỏ nhất. Vậy $C$ cách $A$ một đoạn $6,5$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(-1)=1$, hàm tăng đến $f(0)=2$ (cực đại), giảm đến $f(2)=-2$ (cực tiểu), rồi tăng đến $f(3)=3$. Trên đoạn $[-1;3]$, giá trị nhỏ nhất là $\min \{f(-1),f(0),f(2),f(3)\}=\min \{1,2,-2,3\}=-2$ tại $x=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=h$, $AD=a$; lưới giăng hết hai cạnh vuông góc nên $a+h=10$. Hình thang vuông có góc $C=60^{\circ }$, cạnh xiên $DC$ tạo với đáy $BC$ góc $60^{\circ }$ nên phần chiếu ngang của $DC$ lên $BC$ bằng $\frac{h}{\tan 60^{\circ }}=\frac{h}{\sqrt{3}}$, do đó $BC=a+\frac{h}{\sqrt{3}}$.
Diện tích: $S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot AB=\frac{1}{2}\left(2a+\frac{h}{\sqrt{3}}\right)h=\frac{1}{2}\left(2(10-h)+\frac{h}{\sqrt{3}}\right)h=10h-h^2\left(1-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$.
Hàm bậc hai đạt max tại $h=\frac{5}{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}=\frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}\approx 7,03$, khi đó $S_{\max }=\frac{25}{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}=\frac{50\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}=\frac{300+50\sqrt{3}}{11}\approx 35,1457$.
Vậy diện tích lớn nhất của khu nuôi vịt khoảng $35,1$ m${}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ lục giác đều có 18 cạnh: 12 cạnh đáy (2 đáy × 6) và 6 cạnh bên. Gọi cạnh đáy là $a$, chiều cao là $h$ (cm). Tổng độ dài dây: $12a+6h=54\iff 2a+h=9$, với $0<a<4,5$, $h=9-2a$.

Thể tích: $V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2(9-2a)$.

Xét $f(a)=a^2(9-2a)=9a^2-2a^3$, $f^{\prime }(a)=18a-6a^2=6a(3-a)$.
$f^{\prime }(a)=0\iff a=3$ (vì $a>0$), khi đó $h=9-6=3$.
Trên $(0;4,5)$: $f^{\prime }>0$ với $a<3$, $f^{\prime }<0$ với $a>3$ nên $V$ đạt max tại $a=h=3$.

$V_{\max }=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 9\cdot 3=\frac{81\sqrt{3}}{2}\approx 70,148\approx 70,1$ cm${}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $R(x)=x\cdot q(x)=-4x^3+19683x$, với $x\in \mathbb{Z},1\le x\le 45$. Xét hàm liên tục $f(x)=-4x^3+19683x$ trên $[1;45]$: $f^{\prime }(x)=-12x^2+19683=0\Rightarrow x^2=1640,25\Rightarrow x=40,5$. Vì $x$ nguyên, so sánh $x=40$ và $x=41$: $R(40)=-4\cdot 64000+19683\cdot 40=531320$; $R(41)=-4\cdot 68921+19683\cdot 41=531319$. Cũng có $R(45)=-4\cdot 91125+19683\cdot 45=523635$ nhỏ hơn. Vậy doanh thu lớn nhất đạt khi $x=40$, bằng $531320$ nghìn đồng (tức 531.320.000 đồng).