Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-3x^4+4x^3+1$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=-12x^3+12x^2=12x^2(1-x)=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Với $x<1$ (khác 0) thì $y^{\prime }>0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=1$: $y(1)=-3+4+1=2$. Ngoài ra $y(0)=1$ và $y\to -\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Vậy giá trị lớn nhất bằng $2$, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$ hàm số đạt giá trị cao nhất bằng $3$ (tại $x=3$) và giá trị thấp nhất bằng $-2$ (tại $x=2$, điểm thấp nhất của đồ thị). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $-2$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 121: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-2t+9=(t-1{)}^2+8$. Trên đoạn $[0;10]$, $v(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=1$ (giây) với $v_{\min }=8$ m/s. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 121: 8).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $V(x)=x(10-2x{)}^2=100x-40x^2+4x^3$ với $0<x<5$. Có $V^{\prime }(x)=100-80x+12x^2=0\iff 3x^2-20x+25=0\iff x=\frac{5}{3}$ (nhận) hoặc $x=5$ (loại). Tại $x=\frac{5}{3}$: $V=\frac{5}{3}\cdot {\left(10-\frac{10}{3}\right)}^2=\frac{5}{3}\cdot \frac{400}{9}=\frac{2000}{27}\approx 74,07\approx 74,1$ cm³. Kết quả trùng với đáp án nguồn 74,1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $s(0)=0\Rightarrow d=0$; $s(1)=5$; $s(3)=18$ (cực đại) và $s^{\prime }(3)=0$. Hệ: $a+b+c=5$, $9a+3b+c=6$, $27a+6b+c=0$ giải ra $a=-\frac{5}{4},b=\frac{11}{2},c=\frac{3}{4}$. Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{15}{4}{t}^2+11t+\frac{3}{4}$, đạt max tại $t=\frac{11}{2\cdot \frac{15}{4}}=\frac{22}{15}$ với $v_{\max }=-\frac{15}{4}\cdot \frac{484}{225}+11\cdot \frac{22}{15}+\frac{3}{4}=\frac{529}{60}\approx 8,82\approx 8,8$ km/h, khớp đáp án 8,8.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$, nghịch biến trên $(1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$; $f(1)=5$, $f(2)=-1$ (x=2 là điểm không xác định, giá trị -1 không đạt được), khi $x\to \pm \infty$ hàm số tiến tới các giá trị hữu hạn nhỏ hơn 5. Trên khoảng $(-\infty ;2)$, hàm số đạt giá trị lớn nhất $5$ tại $x=1$ (điểm này thuộc khoảng). Vậy GTLN của hàm số trên khoảng $(-\infty ;2)$ bằng $5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+5$ trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[0;2]$ chỉ có $x=1$. Tính giá trị: $y(0)=5$, $y(1)=1-3+5=3$, $y(2)=8-6+5=7$. Vậy $\min y=3$, $\max y=7$, tổng $=3+7=10$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 002, Câu 2 = 10).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông bị cắt là $x$ (cm), $0<x<18$. Đáy hộp là hình vuông cạnh $36-2x$, chiều cao $x$, nên thể tích $V(x)=x(36-2x{)}^2$. Có $V^{\prime }(x)=(36-2x{)}^2+x\cdot 2(36-2x)(-2)=(36-2x)(36-6x)$. Trên $(0;18)$, $V^{\prime }(x)=0$ khi $x=6$; $V^{\prime }(x)>0$ với $x<6$ và $V^{\prime }(x)<0$ với $x>6$, nên $V$ đạt max tại $x=6$. Vậy cạnh hình vuông bị cắt là $6cm$ (khớp đáp án nguồn: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+2$ trên $[-2;0]$. Có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong đoạn $[-2;0]$ chỉ có $x=-1$. Tính: $y(-2)=-8+6+2=0$; $y(-1)=-1+3+2=4$; $y(0)=2$. Vậy $\max y=4$, $\min y=0$, tổng $=4+0=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 001, Câu 1 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G(x)=x^3(48-x)=48x^3-x^4$ trên $[0;48]$. $G^{\prime }(x)=144x^2-4x^3=4x^2(36-x)$. $G^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=36$. Với $0<x<36$: $G^{\prime }(x)>0$; với $36<x<48$: $G^{\prime }(x)<0$. Vậy $G$ đạt cực đại (và là GTLN) tại $x=36$ với $G(36)=36^3\cdot 12=559872>G(0)=G(48)=0$. Liều lượng thuốc cần tiêm là $36$ mg, khớp với đáp án nguồn (36).

(AI giải đề cho tôi)
Hộp chữ nhật có nắp với đáy vuông cạnh $x$ và chiều cao $h$ (theo hình vẽ, hai kích thước đáy đều bằng $x$). Tổng diện tích bề mặt: $2x^2+4xh=54\Rightarrow h=\frac{54-2x^2}{4x}$ với $0<x<\sqrt{27}$.

Thể tích: $V=x^{2}h=\frac{x(54-2x^2)}{4}=\frac{54x-2x^3}{4}$.

$V^{\prime }(x)=\frac{54-6x^2}{4}=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=3$ (chọn $x>0$).

Vì $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<3$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>3$, thể tích lớn nhất đạt tại $x=3$ (cm). Kết quả khớp với đáp án nguồn: 3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $M=3$ (đạt tại $x=3$), giá trị nhỏ nhất là $m=-2$ (đạt tại $x=2$). Do đó $M-m=3-(-2)=5$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 001, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AC=3$ km, $CD=x$ km nên $AD=\sqrt{x^2+9}$ (km). a) Thời gian chèo trên $AD$ là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}$ giờ (tốc độ chèo 6 km/h), không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ → Sai. b) Vì $CB=8$ km, $D$ giữa $C$ và $B$ với $CD=x$ nên $BD=8-x$ km → Đúng. c) Tổng thời gian $T(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$, không phải mẫu 3 ở số hạng đầu → Sai. d) $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow 8x=6\sqrt{x^2+9}\Rightarrow 64x^2=36x^2+324\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}\approx 3,4$ km. Khi đó $T_{\min }=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ $\approx 1$ giờ 20 phút → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AD=\sqrt{x^2+9}$ km, tốc độ chèo 6 km/h nên thời gian là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}$ giờ, không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$D$ nằm giữa $C$ và $B$, $CB=8$ km, $CD=x$ km nên $BD=8-x$ km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian là $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$ (chèo 6 km/h, chạy 8 km/h), không phải $\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{8-x}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}$; $T_{\min }=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1,33$ giờ $\approx 1$ giờ 20 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-x^4+6x^2$ trên $[-1;1]$. Ta có $y^{\prime }=-4x^3+12x=-4x(x^2-3)$. Trên $[-1;1]$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$ (vì $x^2=3$ ngoài đoạn). Tính giá trị: $y(0)=0$, $y(\pm 1)=-1+6=5$. So sánh: $\max \{0;5\}=5$. Vậy giá trị lớn nhất là $5$, đạt tại $x=\pm 1$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án mã đề 3102.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x^2+2$ trên $[-1;4]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Tính giá trị hàm số tại các điểm $x=-1,0,2,4$: $y(-1)=-1-3+2=-2$; $y(0)=2$; $y(2)=8-12+2=-2$; $y(4)=64-48+2=18$. So sánh, giá trị lớn nhất là $\max \{-2;2;-2;18\}=18$ đạt tại $x=4$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3102, Câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-1;3]$: giá trị lớn nhất $M=f(-1)=2$ (điểm cao nhất của đồ thị), giá trị nhỏ nhất $m=f(2)=-4$ (điểm thấp nhất của đồ thị). Vậy $M+m=2+(-4)=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí làm hàng rào: mặt song song bờ sông dài $y$ (m) giá 60000 đ/m và ba mặt song song nhau mỗi mặt dài $x$ (m) giá 50000 đ/m, nên $60000y+3\cdot 50000x=15000000\iff 6y+15x=1500\Rightarrow y=\frac{500-5x}{2}$ với $0<x<100$.

a) SAI: Phương trình trong đề $x\cdot 60000+y\cdot 3\cdot 50000=15000000$ hoán đổi vai trò của $x$ và $y$; phương trình đúng là $60000y+3\cdot 50000x=15000000$.

b) ĐÚNG: $S=xy=x\cdot \frac{500-5x}{2}=250x-\frac{5}{2}{x}^2$.

c) ĐÚNG: $S^{\prime }(x)=250-5x=0\iff x=50\in (0;100)$; vì $S^{\prime \prime }(x)=-5<0$ nên $\max S=S(50)=250\cdot 50-\frac{5}{2}\cdot 2500=6250{\mathrm{m}}^2$.

d) ĐÚNG: Diện tích lớn nhất đạt khi $x=50$ m (khi đó $y=125$ m).

Khớp đáp án nguồn mã đề 3101, Phần II Câu 4: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình chi phí đúng là $60000y+3\cdot 50000x=15000000$ (mặt song song bờ sông dài $y$ giá 60000 đ/m, ba mặt dài $x$ giá 50000 đ/m). Đề viết $x\cdot 60000+y\cdot 3\cdot 50000$ là hoán đổi $x,y$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $60000y+150000x=15000000\Rightarrow y=\frac{500-5x}{2}$, nên $S=xy=250x-\frac{5}{2}{x}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S^{\prime }(x)=250-5x=0\Rightarrow x=50$; $S(50)=6250{\mathrm{m}}^2$ là giá trị lớn nhất vì $S^{\prime \prime }=-5<0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích lớn nhất đạt tại $x=50$ m (khi đó $y=125$ m).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$ (cùng thuộc $[0;4]$). Tính giá trị: $f(0)=1$; $f(1)=\frac{1}{3}-2+3+1=\frac{7}{3}$; $f(3)=9-18+9+1=1$; $f(4)=\frac{64}{3}-32+12+1=\frac{7}{3}$. Vậy $M=\frac{7}{3}$, $m=1$, nên $S=M+m=\frac{7}{3}+1=\frac{10}{3}$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=-6t^2+48t+6$ trên $[0;10]$. Xét $v^{\prime }(t)=-12t+48=0\Rightarrow t=4$. Vì $v^{\prime }(t)>0$ khi $t<4$ và $v^{\prime }(t)<0$ khi $t>4$, vận tốc lớn nhất tại $t=4$: $v(4)=-6\cdot 16+48\cdot 4+6=-96+192+6=102$ (m/s). So sánh: $v(0)=6$, $v(10)=-600+480+6=-114$. Kết quả khớp đáp án nguồn 102.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách từ chân thang đến bức tường ($x>0$). Thang chạm đỉnh bức tường cao $5m$ tại điểm cách tòa nhà $5m$. Theo tam giác đồng dạng, chiều cao điểm chạm tòa nhà là $h=\frac{5(x+5)}{x}$. Chiều dài thang: $L(x)=\sqrt{(x+5{)}^2+{\left(\frac{5(x+5)}{x}\right)}^2}=(x+5)\sqrt{1+\frac{25}{x^2}}$. Đặt $f(x)=L^2=(x+5{)}^2\left(1+\frac{25}{x^2}\right)$. Khảo sát: $f^{\prime }(x)=2(x+5)\left(1+\frac{25}{x^2}\right)+(x+5{)}^2\left(-\frac{50}{x^3}\right)=\frac{2(x+5)}{x^3}\left(x^3-125\right)$. $f^{\prime }(x)=0\iff x=5$. Khi đó $L(5)=10\sqrt{1+1}=10\sqrt{2}m$ là giá trị nhỏ nhất (vì $f$ giảm trên $(0;5)$ và tăng trên $(5;+\infty )$). Vậy $a\sqrt{2}=10\sqrt{2}\Rightarrow a=10$, khớp với đáp án nguồn.