Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-3x+m$ trên $[0;2]$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$, trong $[0;2]$ chỉ có $x=1$. Tính: $y(0)=m$, $y(1)=1-3+m=m-2$, $y(2)=8-6+m=m+2$. Giá trị nhỏ nhất là $\min \{m,m-2,m+2\}=m-2$. Theo đề: $m-2=1\Rightarrow m=3$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-2;0]$ ta có $x-1<0$. Viết $f(x)=\frac{x+m^2}{x-1}=1+\frac{1+m^2}{x-1}$. Vì $1+m^2>0$ và $x-1<0$ nên $f^{\prime }(x)=-\frac{1+m^2}{(x-1{)}^2}<0$, hàm số nghịch biến trên $[-2;0]$. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $\min f=f(0)=\frac{m^2}{-1}=-m^2$. Yêu cầu $-m^2>-4\iff m^2<4\iff -2<m<2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ có $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm nghịch biến trên $[3;5]$. Do đó $M=f(3)=\frac{4}{2}=2$, $m=f(5)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Vậy $M-m=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(x)=e^{2-3x}$ có $f^{\prime }(x)=-3e^{2-3x}<0$ nên nghịch biến trên $[0;2]$. Do đó $M=f(0)=e^2$, $m=f(2)=e^{-4}$. Kiểm tra: $M-m=e^2-e^{-4}\ne e$; $m+M\ne 1$; $mM=e^2{e}^{-4}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$ đúng; $\frac{M}{m}=e^6\ne e^2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_2(x^2+4)$ liên tục trên $[-2;5]$. Xét $g(x)=x^2+4$ với $g^{\prime }(x)=2x=0\Rightarrow x=0$; $g(-2)=8$, $g(0)=4$, $g(5)=29$. Vì ${\log }_2$ đồng biến nên GTLN của $y$ tại $x=5$: $y={\log }_{2}29$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2+4x-5=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=-5$ (loại vì $-5\notin [-2;3]$). Tính giá trị tại các điểm nghiêm trọng: $f(-2)=\frac{-8}{3}+8+10+1=\frac{49}{3}$; $f(1)=\frac{1}{3}+2-5+1=-\frac{5}{3}$; $f(3)=9+18-15+1=13$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $-\frac{5}{3}$ tại $x=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Trên khoảng $(1;4)$ chỉ có điểm tới hạn $x=2$. Với $1<x<2$ thì $f^{\prime }(x)>0$, với $2<x<4$ thì $f^{\prime }(x)<0$, nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất trên khoảng) tại $x=2$, với $f(2)=-8+12+1=5$. So sánh: khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to 3$, và $f(4)=-15$, nên giá trị lớn nhất trên $(1;4)$ là $5$ tại $x=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^{2x}+2(x-3)e^{2x}=e^{2x}(2x-5)$. Vì $e^{2x}>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<\frac{5}{2}$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>\frac{5}{2}$. Hàm số đạt cực tiểu (và là GTNN trên $\mathbb{R}$) tại $x=\frac{5}{2}$: $f\left(\frac{5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}-3\right)e^5=-\frac{e^5}{2}$. Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\min }f(x)=-\frac{e^5}{2}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-1)=-1$ (cực đại), $f(1)=-5$ (cực tiểu), $f(0)=-3$, $f(-2)=-5$, $f(2)=-1$.
a) Trên $[-2;2]$: GTLN $=\max \{f(-2),f(-1),f(1),f(2)\}=\max \{-5,-1,-5,-1\}=-1$ → đúng.
b) Trên $[0;+\infty )$: hàm giảm từ $f(0)=-3$ đến $f(1)=-5$ rồi tăng lên $+\infty$, nên GTNN $=-5$ → đúng.
c) Trên $(-\infty ;1]$: GTLN $=-1$ (tại $x=-1$), GTNN $=-5$ (tại $x=-2$ và $x=1$), hiệu $=-1-(-5)=4\ne 2$ → sai.
d) Trên $[-1;2]$: $f(-1)=-1$, $f(1)=-5$, $f(2)=-1$, nên GTNN $=-5$ đạt tại $x=1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$, giá trị lớn nhất là $f(-1)=f(2)=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;+\infty )$, hàm giảm đến $f(1)=-5$ rồi tăng lên $+\infty$, nên GTNN $=-5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;1]$: max $=-1$, min $=-5$, hiệu bằng $4$ chứ không phải $2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$, GTNN $=-5$ đạt tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba đi lên: $f(0)=-4$ (cực tiểu), $f(2)=0$ (cực đại, tiếp xúc trục hoành), $f(1)=-2$, $f(3)=-4$. a) Trên đoạn $[1;3]$, điểm thấp nhất là $y=-4$ tại $x=3$ (cực tiểu tại $x=0$ nằm ngoài đoạn) nên $m=-4$ → đúng. b) Trên $[1;3]$, hàm đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=0$ nên $M=0\ne -2$ → sai. c) $M+m=0+(-4)=-4$ → đúng. d) Trên nửa khoảng $[-1;+\infty )$, đồ thị tại $x=-1$ nằm phía trên trục hoành nên $f(-1)>0$, do đó $\max f>f(2)=0$ và giá trị lớn nhất của $f(x)+4$ lớn hơn $4$, khác $0$ → sai.
a) Trên đoạn $[1;3]$, điểm thấp nhất của đồ thị là $y=-4$ đạt tại $x=3$ (cực tiểu tại $x=0$ nằm ngoài đoạn), nên $m=-4$.
b) Trên $[1;3]$, hàm số đạt cực đại tại $x=2$ với $f(2)=0$ (tiếp xúc trục hoành), nên $M=0$, không phải $-2$ ($f(1)=-2$ chỉ là giá trị tại đầu đoạn).
c) Vì $M=0$ và $m=-4$ nên $M+m=-4$.
d) Trên $[-1;+\infty )$, theo đồ thị $f(-1)>0$ nên giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên nửa khoảng này lớn hơn $f(2)=0$. Do đó giá trị lớn nhất của $f(x)+4$ lớn hơn $4$, chắc chắn khác $0$; mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2-2$, có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$, các điểm tới hạn $x=0,\pm 1$.
a) Trên $[-1;1]$: $f(-1)=f(1)=-3$, $f(0)=-2$. Vậy ${\min }_{[-1;1]}f=-3$ → đúng.
b) Trên $[-1;+\infty )$: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=-2$, nhưng với $x>1$ hàm đồng biến và $f(x)\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng này → sai.
c) Trên $[-2;2]$: $f(\pm 2)=16-8-2=6$, $\min f=-3$, $\max f=6$, tổng $=-3+6=3$ → đúng.
d) Trên $[0;2]$: $\min f=f(1)=-3$ nên $A(1;-3)$; $\max f=f(2)=6$ nên $B(2;6)$. Khi đó $AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(6+3{)}^2}=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\ne \sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;1]$: $f(\pm 1)=-3$, $f(0)=-2$ nên $\min f=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$ hàm đồng biến và $f(x)\to +\infty$, nên trên $[-1;+\infty )$ hàm không có giá trị lớn nhất (dù $f(0)=-2$ là cực đại).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$: $\min f=-3$, $\max f=f(\pm 2)=6$, tổng bằng 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$: $A(1;-3)$, $B(2;6)$, $AB=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\ne \sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2+m$, $g^{\prime }(x)=3x(x-2)$: cực đại tại $x=0$ giá trị $m$, cực tiểu tại $x=2$ giá trị $m-4$; $g$ tăng trên $(-\infty ;0)$, giảm trên $(0;2)$, tăng trên $(2;+\infty )$.

a) Đúng. Đồ thị $g$ luôn cắt trục hoành khi $g$ có cả giá trị âm và dương, tức $m-4\le 0\le m\iff 0\le m\le 4$. Khi đó tồn tại $x$ với $g(x)=0$ nên $\min \left|g(x)\right|=0$.

b) Đúng. Với $m=2$, trên $[3;5]$ (nằm trong miền $x>2$) hàm $g$ đồng biến, $g(3)=27-27+2=2$, $g(5)=125-75+2=52$. Trên đoạn này $g(x)\ge 2>0$ nên $\min \left|g\right|=g(3)=2$.

c) Sai. Với $m<0$, trên $[0;1]$ có $g^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ nên $g$ nghịch biến; $g(0)=m$, $g(1)=m-2$, cả hai đều âm. Do đó $\left|g\right|=-g$ đồng biến, max tại $x=0$ bằng $-m>0$, không thể bằng $m<0$.

d) Sai. Trên $[-2;2]$: $g$ tăng trên $[-2;0]$, giảm trên $[0;2]$, nên max $g=m$ (tại $x=0$), min $g=\min (g(-2),g(2))=\min (m-20,m-4)=m-20$. Xét $\min |g|=10$:
- Nếu $m\ge 20$: $\min |g|=m-20=10\Rightarrow m=30$ (thỏa).
- Nếu $m\le 0$: $\min |g|=-m=10\Rightarrow m=-10$ (thỏa).
- Nếu $0<m<20$: $g(0)=m>0$, $g(-2)=m-20<0$ nên $\min |g|=0\ne 10$, loại.
Vậy $m=30$ hoặc $m=-10$, tổng $m=20\ne 30$ → khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị luôn cắt trục hoành khi $m-4\le 0\le m$, tức $0\le m\le 4$; khi đó có nghiệm $g(x)=0$ nên $\min |g|=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $g$ đồng biến trên $[3;5]$, $g(3)=2$, $g(5)=52$, đều dương nên $\min |g|=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m<0$, $g$ nghịch biến trên $[0;1]$, $g(0)=m$, $g(1)=m-2$ đều âm nên max $|g|=-m>0$, không bằng $m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;2]$: max $g=m$, min $g=m-20$. $\min |g|=10$ cho $m=30$ hoặc $m=-10$; tổng bằng 20, không phải 30.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=|f(x)|$ với $f(x)=x^3+3m^{2}x+2$.
a) $f$ là đa thức nên liên tục trên $[0;1]$, do đó luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn này với mọi $m$. Đúng.
b) Với $m=0$: $y=|x^3+2|$. Trên $[0;1]$ ta có $x^3+2>0$ nên $y=x^3+2$ đồng biến, GTNN $=y(0)=2$, còn $y(1)=3$. Vậy GTNN bằng $y(0)$, không phải $y(1)$. Sai.
c) Với $m=1$: $g(x)=x^3+3x+2$, $g^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ nên $g$ đồng biến trên $[-2;0]$, $g(-2)=-12$, $g(0)=2$, và $g$ có nghiệm $x_0\approx -0,596$ thuộc $[-2;0]$. Do đó $y=|g(x)|$ đạt GTNN bằng $0$ tại $x_0$ (không phải tại $x=0$) và GTLN $=|g(-2)|=12$ (không phải $2$). Sai.
d) Trên $[0;1]$: $f(x)=x^3+3m^{2}x+2\ge 2>0$ nên $y=f(x)$, và $f^{\prime }(x)=3x^2+3m^2\ge 0$ nên $f$ đồng biến. Suy ra ${\max }_{[0;1]}y=f(1)=4+3m^2=5\iff m^2=\frac{1}{3}\iff m=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Tổng hai giá trị $m$ là $0\ne \frac{2}{3}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^3+3m^{2}x+2$ là hàm đa thức, liên tục trên đoạn $[0;1]$, nên theo định lý Weierstrass luôn đạt GTLN và GTNN trên đoạn này với mọi $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=|x^3+2|=x^3+2$ trên $[0;1]$ (vì $x^3+2>0$), đồng biến nên GTNN là $y(0)=2$, còn $y(1)=3$. GTNN không bằng $y(1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $g(x)=x^3+3x+2$ đồng biến trên $[-2;0]$ ($g^{\prime }=3x^2+3>0$), $g(-2)=-12$, $g(0)=2$, có nghiệm $x_0\approx -0,596\in [-2;0]$. Khi đó $y=|g(x)|$ có GTNN bằng $0$ tại $x_0$ (không phải $x=0$) và GTLN bằng $12$ tại $x=-2$ (không phải $2$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;1]$, $f(x)\ge 2>0$ nên $y=f(x)$, đồng biến vì $f^{\prime }(x)=3x^2+3m^2\ge 0$. Do đó ${\max }_{[0;1]}y=f(1)=4+3m^2=5\iff m=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Tổng các giá trị $m$ bằng $0$, không phải $\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x-\frac{500}{x^2}=\frac{4x^3-500}{x^2}$ với $x\ne 0$.
a) $f^{\prime }(x)=0\iff x^3=125\iff x=5$. Mệnh đề đúng.
b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2+\frac{500}{x}\right)=+\infty \ne 0$. Mệnh đề sai.
c) Trên $(0;5)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, giá trị nhỏ nhất không đạt được trên khoảng mở; infimum là $f(5)=2\cdot 25+100=150$ nhưng $x=5\notin (0;5)$, nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất bằng 150 trên $(0;5)$. Mệnh đề sai.
d) Trên $(0;+\infty )$, $f$ nghịch biến trên $(0;5)$ và đồng biến trên $(5;+\infty )$ nên $\underset{(0;+\infty )}{\min }f=f(5)=150$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x-\frac{500}{x^2}=0\iff x^3=125\iff x=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x^2+\frac{500}{x}\right)=+\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;5)$ hàm nghịch biến, $x=5$ không thuộc khoảng nên không đạt min; infimum 150 không đạt được.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ nghịch biến trên $(0;5)$, đồng biến trên $(5;+\infty )$, nên $\min f=f(5)=2\cdot 25+\frac{500}{5}=150$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (nghìn đồng) là mức tăng giá. Giá bán: $30+x$ nghìn đồng/chiếc; số khăn bán được: $3000-100x$ chiếc/tháng; lãi mỗi chiếc: $(30+x)-18=(12+x)$ nghìn đồng. Lợi nhuận: $f(x)=(3000-100x)(12+x)=-100x^2+1800x+36000$ (nghìn đồng), với $0\le x\le 30$.
a) Giá 37000 đồng tức $x=7$: số khăn bán $3000-700=2300$ chiếc, lãi mỗi chiếc $19$ nghìn đồng, tổng lãi $2300\cdot 19=43700$ nghìn $=43,7$ triệu đồng $\ne 44$ triệu → sai.
b) $f(x)=(3000-100x)(12+x)=-100x^2+1800x+36000$ → đúng.
c) $f^{\prime }(x)=-200x+1800=0\iff x=9$ (thuộc đoạn, $f$ đạt max vì hàm bậc hai parabol nhánh xuống). Số khăn giảm $100\cdot 9=900$ chiếc $\ne 800$ → sai.
d) Giá bán tối ưu: $30+9=39$ nghìn đồng $=39000$ đồng → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá 37000 đồng tức $x=7$: bán $2300$ chiếc, lãi mỗi chiếc $19000$ đồng, tổng lãi $43,7$ triệu đồng, không phải 44 triệu.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(3000-100x)(12+x)=-100x^2+1800x+36000$ (nghìn đồng).
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-200x+1800=0\iff x=9$; số khăn giảm $900$ chiếc, không phải 800.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá tối ưu $30+9=39$ nghìn đồng $=39000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y=\frac{1}{3}{x}^3+x-9$, có $y^{\prime }=x^2+1>0$ với mọi $x$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. a) Trên $[0;3]$ hàm đồng biến nên $\min y=y(0)=-9$ → đúng. b) $\max y=y(3)=9+3-9=3$ → đúng. c) Hệ số góc tiếp tuyến $k=y^{\prime }=x^2+1\ge 1$, giá trị nhỏ nhất bằng 1 tại $x=0$ → đúng. d) ${\max }_{[0;3]}y=y(3)=9+3m^2-2m^2+2m-9=m^2+2m$. Yêu cầu $m^2+2m\le 3\iff m^2+2m-3\le 0\iff -3\le m\le 2$. Các giá trị nguyên: $\{-3,-2,-1,0,1,2\}$ có 6 phần tử, không phải 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y=\frac{1}{3}{x}^3+x-9$ đồng biến vì $y^{\prime }=x^2+1>0$, nên ${\min }_{[0;3]}y=y(0)=-9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến nên ${\max }_{[0;3]}y=y(3)=9+3-9=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc $k=y^{\prime }=x^2+1\ge 1$, đạt giá trị nhỏ nhất 1 tại $x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\max }_{[0;3]}y=y(3)=m^2+2m\le 3\iff -3\le m\le 2$, có 6 giá trị nguyên $\{-3,-2,-1,0,1,2\}$, nên $|S|=6\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 10: a) $y^{\prime }=6x^2+6x=6x(x+1)=0\iff x=0$ hoặc $x=-1$. Tính: $y(-2)=-16+12-1=-5$, $y(-1)=-2+3-1=0$, $y(0)=-1$, $y(1)=2+3-1=4$. Vậy ${\min }_{[-2;1]}y=-5$ tại $x=-2$ → đúng. b) Trên đoạn $[0;1]$, điểm $x=2$ không thuộc đoạn nên khẳng định sai; thực tế $y^{\prime }=12x^2-24x+9=0\iff x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$, so sánh $y(0)=0$, $y(\frac{1}{2})=2$, $y(1)=1$ nên max $=2$ tại $x=\frac{1}{2}$. c) $y=\sqrt{4x-x^2}$ có tập xác định $[0;4]$, $y=\sqrt{4-(x-2{)}^2}\le 2$ và $y(0)=y(4)=0$, nên GTNN bằng 0, GTLN bằng 2, không phải 4 → sai. d) Trên $(0;+\infty )$, $y=x+\frac{4}{X}\ge 4$ (AM-GM) với min tại $x=2$; khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có GTLN → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=6x(x+1)=0\iff x=0,x=-1$; so sánh $y(-2)=-5,y(-1)=0,y(0)=-1,y(1)=4$ nên $\min y=-5$ trên $[-2;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=2$ không thuộc đoạn $[0;1]$. Trên $[0;1]$, $y^{\prime }=12x^2-24x+9=0\iff x=\frac{1}{2}$; $y(0)=0,y(\frac{1}{2})=2,y(1)=1$ nên max $=2$ tại $x=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ $[0;4]$, $y=\sqrt{4-(x-2{)}^2}$ nên $0\le y\le 2$; GTNN bằng 0 (tại $x=0$ hoặc $x=4$), GTLN bằng 2, không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: $y=x+\frac{4}{X}\ge 4$ (đạt tại $x=2$), và khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$ nên hàm không có GTLN trên $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=(x-3)(x+3)(x-1{)}^2$. Dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }>0$ khi $x<-3$; $f^{\prime }<0$ khi $-3<x<3$ (do $(x-1{)}^2\ge 0$); $f^{\prime }>0$ khi $x>3$. Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-3)$, nghịch biến trên $(-3;3)$, đồng biến trên $(3;+\infty )$.

a) Trên đoạn $[-3;3]$, $f^{\prime }\le 0$ nên $f$ nghịch biến, do đó ${\max }_{[-3;3]}f=f(-3)$. → Đúng.

b) $f^{\prime }$ là đa thức bậc 4 với hệ số dương nên $f$ là đa thức bậc 5 với hệ số dương, suy ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$; do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. → Sai.

c) $g(x)=f(-2x+3)$, với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $g$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=3$, tức $x=0$: ${\min }_{[0;3]}g=g(0)=f(3)$, không phải $g(3)$. → Sai.

d) $h(x)=f(-x+5)$, với $x\in [0;8]$ thì $t=5-x\in [-3;5]$. Trên $[-3;5]$, $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ và đồng biến trên $[3;5]$ nên $\max f$ trên $[-3;5]$ là $\max \{f(-3),f(5)\}$. Từ $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$, tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$, do $f(1)<f(-3)$ (vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$) nên $f(5)>f(3)>f(-3)$. Vậy ${\max }_{[0;8]}h=h(0)=f(5)$, không phải $h(8)$ (và $h(8)=f(-3)$ thực chất là giá trị nhỏ nhất). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [-3;3]$: $(x-3)\le 0$, $(x+3)\ge 0$, $(x-1{)}^2\ge 0$ nên $f^{\prime }(x)\le 0$, tức $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$. Do đó ${\max }_{[-3;3]}f=f(-3)$. → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ có bậc 4 với hệ số dương nên $f$ là đa thức bậc 5 hệ số dương, do đó ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty$; hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;3]$ thì $t=-2x+3\in [-3;3]$. Vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $g$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=3$, tức $x=0$: ${\min }_{[0;3]}g=g(0)=f(3)$, không phải $g(3)$. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in [0;8]$ thì $t=5-x\in [-3;5]$. Trên $[-3;5]$: $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ và đồng biến trên $[3;5]$, nên $\max f$ trên $[-3;5]$ là $\max \{f(-3),f(5)\}$. Điều kiện $h(0)+h(4)=h(2)+h(8)$ tức $f(5)+f(1)=f(3)+f(-3)$; vì $f$ nghịch biến trên $[-3;3]$ nên $f(1)<f(-3)$, suy ra $f(5)>f(3)>f(-3)$. Vậy ${\max }_{[0;8]}h=h(0)=f(5)$, không phải $h(8)$ (và $h(8)=f(-3)$ thực chất là giá trị nhỏ nhất). → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2-9x+7$, có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$.

a) Trên đoạn $[-2;0]$: $f(-2)=5$, $f(-1)=12$ (điểm cực đại vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ + thành − tại $x=-1$), $f(0)=7$. Vậy $maxf=12$ tại $x=-1$. Mệnh đề đúng.

b) Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-2;0]$ là $f(-2)=5$. Khi đó min của $f(x)+m$ là $$\begin{gathered} 5+m=10 \\ Rightarrowm=5 \end{gathered}$$, không phải $m=3$. Mệnh đề sai.

c) Đặt $$\begin{gathered} t=2x^2+1 \\ ge1 \end{gathered}$$. Xét $g(t)=f(t)$ trên $$\begin{gathered} [1;+ \\ infty) \end{gathered}$$: $g^{\prime }(t)=3(t-3)(t+1)$, hàm giảm trên $[1;3]$ và tăng trên $$\begin{gathered} [3;+ \\ infty) \end{gathered}$$. Với $$\begin{gathered} t \\ ge1 \end{gathered}$$: $g(1)=-4$, $g(3)=27-27-27+7=-20$. Vậy min $f(2x^2+1)=-20$ (khi $t=3$, tức $$\begin{gathered} x= \\ pm1 \end{gathered}$$), suy ra min của $f(2x^2+1)-5=-25$. Mệnh đề đúng.

d) Trên $[0;4]$: $f(0)=7$, $f(3)=-20$ (cực tiểu), $f(4)=-13$. Vậy $f$ nhận mọi giá trị trong đoạn $[-20;7]$. Để $min|f(x)+m|=17$ thì khoảng cách từ $-m$ đến đoạn $[-20;7]$ bằng 17, tức $-m=7+17=24$ hoặc $-m=-20-17=-37$, cho $m=-24$ hoặc $m=37$. Tích hai giá trị là $$\begin{gathered} (-24)(37)=-888 \\ ne-30 \end{gathered}$$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [-2;0]: f(-2)=5, f(-1)=12 (cực đại), f(0)=7 nên max f = 12. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Min của f trên [-2;0] là f(-2)=5, nên 5+m=10 ⇒ m=5, không phải m=3. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=2x²+1≥1, min f(t) trên [1;+∞) là f(3)=-20, nên min của f(2x²+1)-5 = -25. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;4], f có giá trị trong đoạn [-20;7]. Min |f+m|=17 ⇒ -m cách đoạn [-20;7] một khoảng 17 ⇒ m=-24 hoặc m=37, tích bằng -888 ≠ -30. Sai.