Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trên $[-1;3]$: $f(-1)=0$, hàm tăng đến $f(0)=5$, giảm đến $f(2)=1$, rồi tăng đến $f(3)=4$. So sánh các giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút: $\max \{0;5;1;4\}=5=f(0)$. Vậy $\underset{[-1;3]}{\max }f(x)=f(0)$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[-2;2]$, hàm số đạt $f(-2)=-5$, có điểm cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=-1$, $f(0)=-3$, điểm cực tiểu tại $x=1$ với $f(1)=-5$, và $f(2)=-1$. So sánh các giá trị: giá trị nhỏ nhất $m=\min \{-5;-1;-3;-5\}=-5$; giá trị lớn nhất $M=\max \{-5;-1;-3;-1\}=-1$. Vậy $m=-5$, $M=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$ nên hàm số không bị chặn trên, do đó không tồn tại giá trị lớn nhất. Khi $x\to +\infty$, hàm số đồng biến và tiến tới 3 nhưng không đạt giá trị 3, nên 3 cũng không phải GTLN. Hàm có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ (tại $x=0$) nhưng khẳng định về GTLN bằng 3 (đáp án A) sai vì 3 không đạt được. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+\frac{9}{x}$ xác định và liên tục trên đoạn $[2;4]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{9}{x^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=\pm 3$, trong đoạn $[2;4]$ chỉ có $x=3$. Tính giá trị: $y(2)=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}=6,5$; $y(3)=3+3=6$; $y(4)=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}=6,25$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $6$ đạt tại $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, trên đoạn $[-4;5]$ hàm số đạt các giá trị: $f(-4)=\frac{2}{3}$, $f(-2)=\frac{46}{3}$ (cực đại), $f(4)=-\frac{62}{3}$ (cực tiểu), $f(5)=-\frac{52}{3}$. So sánh: giá trị lớn nhất $M=\frac{46}{3}$, giá trị nhỏ nhất $N=-\frac{62}{3}$. Vậy $M+N=\frac{46}{3}-\frac{62}{3}=-\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ xác định liên tục trên $[0;2]$ (mẫu khác 0). Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;2]$, nên hàm số đồng biến trên đoạn này. Do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=0$: $y(0)=\frac{0-2}{0+1}=-2$. Vậy ${\min }_{[0;2]}y=-2$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$. Trên $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<1$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>1$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x=1$ với $f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-3}{2x-5}$ liên tục trên đoạn $[-1;2]$ vì $2x-5\ne 0$ với mọi $x\in [-1;2]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-5)-2(x-3)}{(2x-5{)}^2}=\frac{1}{(2x-5{)}^2}>0$, nên hàm số đồng biến trên đoạn $[-1;2]$. Do đó min tại $x=-1$: $y(-1)=\frac{-4}{-7}=\frac{4}{7}$; max tại $x=2$: $y(2)=\frac{-1}{-1}=1$. Tổng $=\frac{4}{7}+1=\frac{11}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+6x-45=3(x^2+2x-15)=0\Rightarrow x=3$ hoặc $x=-5$. Trên đoạn $[-2;4]$ chỉ có $x=3$. Tính: $f(-2)=-8+12+90-3=91$; $f(3)=27+27-135-3=-84$; $f(4)=64+48-180-3=-71$. Vậy $\min y=-84$, $\max y=91$, tích $=-84\cdot 91=-7644$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=e^{2x}-5e^x+2x$ trên $[0;2]$, ta có $y^{\prime }=2e^{2x}-5e^x+2$. Đặt $t=e^x$, với $x\in [0;2]$ thì $t\in [1;e^2]$. Giải $2t^2-5t+2=0\iff t=2$ hoặc $t=\frac{1}{2}$. Chỉ nhận $t=2\in [1;e^2]$, tức $x=\ln 2$. Tính giá trị: $y(0)=1-5+0=-4$; $y(\ln 2)=4-10+2\ln 2=2\ln 2-6\approx -4,61$; $y(2)=e^4-5e^2+4\approx 21,7$. Vậy ${\min }_{[0;2]}y=2\ln 2-6$, đạt tại $x=\ln 2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+\sqrt{2-x^2}$ xác định trên $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow \sqrt{2-x^2}=x\Rightarrow 2-x^2=x^2\Rightarrow x=1$ (thỏa mãn), khi đó $y(1)=1+1=2$. Tại hai đầu mút: $y(-\sqrt{2})=-\sqrt{2}$, $y(\sqrt{2})=\sqrt{2}$. Vậy $M=2$, $m=-\sqrt{2}$, nên $M-m=2+\sqrt{2}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x-m^2}{x+1}=\frac{(x+1)-(m^2+1)}{x+1}=1-\frac{m^2+1}{x+1}$. Vì $m^2+1>0$ nên $y^{\prime }=\frac{m^2+1}{(x+1{)}^2}>0$, hàm số đồng biến trên $[0;1]$ (khoảng xác định chứa đoạn này vì $x=-1\notin [0;1]$). Do đó ${\min }_{[0;1]}y=y(0)=\frac{-m^2}{1}=-m^2$. Theo đề: $-m^2=-4\Rightarrow m^2=4\Rightarrow m=\pm 2$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, ta có $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$. Theo bất đẳng thức AM-GM: $x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4$, dấu bằng khi $x=\frac{4}{x}\iff x^2=4\iff x=2$ (vì $x>0$). Hoặc dùng đạo hàm: $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=0\iff x=\pm 2$, trên $(0;+\infty )$ chỉ có $x=2$ với $y^{\prime \prime }=\frac{8}{x^3}>0$ nên là điểm cực tiểu, đồng thời là giá trị nhỏ nhất $\min y=4$. Vậy GTNN đạt được tại $x=2$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=4x^3-8x=4x(x^2-2)$, cho $y^{\prime }=0$ được $x=0,\pm \sqrt{2}$ (đều thuộc $[-2;3]$). Tính giá trị: $y(-2)=16-16+5=5$; $y(0)=5$; $y(\pm \sqrt{2})=4-8+5=1$; $y(3)=81-36+5=50$. So sánh, giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2;3]$ là $\max y=y(3)=50$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-1)=1$, $f(0)=2$ (cực đại), $f(2)=-2$ (cực tiểu), $f(3)=3$. Trên đoạn $[-1;3]$, giá trị lớn nhất là $\max \{1;2;-2;3\}=3$, đạt tại $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[1;3]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất $M=f(2)=0$ (điểm cực đại tại $x=2$) và giá trị nhỏ nhất $m=f(3)=-4$ (điểm cuối đoạn, đồ thị đi xuống tới $-4$ tại $x=3$; tại $x=1$ thì $f(1)=-2$). Vậy $M+m=0+(-4)=-4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$. Do đó trên đoạn $[0;5]$, giá trị lớn nhất của $f$ chỉ có thể đạt tại $x=0$ hoặc $x=5$ (vì $f(2)$ là điểm cực tiểu, $f(3)<f(5)$ do $f$ đồng biến trên $(2;5)$).

Ta có:
$$f(0)-f(2)=-{\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=\text{diện tıˊch phẳng giới hạn bởi đoˆˋ thị }{f}^{\prime }\text{ vaˋ trục }Ox\text{ treˆn }[0;2],$$
$$f(5)-f(3)={\int }_3^5{f}^{\prime }(x)dx=\text{diện tıˊch phẳng giới hạn bởi đoˆˋ thị }{f}^{\prime }\text{ vaˋ trục }Ox\text{ treˆn }[3;5].$$

Từ giả thiết $f(0)+f(3)=f(2)+f(5)$ suy ra $f(0)-f(2)=f(5)-f(3)$. Nhìn đồ thị, phần đồ thị $f^{\prime }$ dưới trục $Ox$ trên $[0;2]$ nằm sâu hơn (diện tích lớn hơn) phần đồ thị $f^{\prime }$ phía trên trục $Ox$ trên $[3;5]$, tức $f(0)-f(2)>f(5)-f(3)$, do đó $f(0)>f(5)$.

Vậy $\underset{[0;5]}{\max }f(x)=f(0)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(-1)=-3$, $f(1)=2$, $f(2)=-4$; hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, đồng biến trên $(-1;1)$ và $(1;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$, và khi $x\to +\infty$ thì $y\to -4$.
- Trên đoạn $[-1;2]$: so sánh $f(-1)=-3$, $f(1)=2$, $f(2)=-4$ nên $\max =2$ (A đúng) và $\min =-4$ tại $x=2$, không phải $-3$ (B sai).
- Trên nửa khoảng $[-1;+\infty )$: giá trị nhỏ nhất là $-4$ đạt tại $x=2$ (C đúng); hàm đồng biến lên $2$ tại $x=1$ rồi nghịch biến và tiệm cận xuống $-4$, nên giá trị lớn nhất bằng $2$ (D đúng).
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên: $f(-3)=-2$, hàm tăng đến $f(-1)=3$, giảm đến $f(0)=0$, tăng đến $f(1)=2$, giảm đến $f(2)=1$. Trên đoạn $[-1;2]$: giá trị lớn nhất $M=f(-1)=3$, giá trị nhỏ nhất $m=f(0)=0$. Vậy $2M+3m=2\cdot 3+3\cdot 0=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2-1$, có $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, $g^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=2$. Ta có $g(-1)=-1-3-1=-5$, $g(0)=-1$, $g(2)=8-12-1=-5$, $g(3)=27-27-1=-1$. Trên đoạn $[-1;3]$, $g(x)<0$ (giá trị lớn nhất của $g$ là $-1<0$), nên $f(x)=|g(x)|=-g(x)$. Do đó $\max f=-\min g=-(-5)=5$, đạt được tại $x=-1$ và $x=2$. Vậy giá trị lớn nhất là $5$, chọn D.