Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $C(t)=\frac{20t}{t^2+16}$ với $t\ge 0$. Viết $C(t)=\frac{20}{t+\frac{16}{t}}$. Theo AM-GM, $t+\frac{16}{t}\ge 2\sqrt{16}=8$, dấu bằng khi $t=4$ (thỏa $t\ge 0$). Vậy $C(t)\le \frac{20}{8}=2,5$ mg/lít, đạt GTLN khi $t=4$. Kiểm tra đạo hàm: $C^{\prime }(t)=\frac{20(16-t^2)}{(t^2+16{)}^2}$, $C^{\prime }(t)=0$ tại $t=4$, đổi dấu từ dương sang âm nên $t=4$ là điểm cực đại và cũng là GTLN trên $[0;+\infty )$. Đáp số: 4.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t+15$. Chất điểm dừng lại khi $v(t)=0$: $-3t^2+12t+15=0\iff t^2-4t-5=0\iff t=5$ (nhận, $t\ge 0$; $t=-1$ loại). Xét $v(t)$ trên $[0;5]$: $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\iff t=2$. Vì $v^{\prime }(t)>0$ khi $t<2$ và $v^{\prime }(t)<0$ khi $t>2$ nên $v$ đạt cực đại tại $t=2$: $v(2)=-12+24+15=27$ (m/s). So sánh: $v(0)=15$, $v(5)=0$. Vậy vận tốc lớn nhất trước khi dừng lại là $27$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=x\cdot p(x)-C(x)=x(100-3x)-(x^3-6x^2+28x+80)=-x^3+3x^2+72x-80$. $P^{\prime }(x)=-3x^2+6x+72=-3(x-6)(x+4)=0\Rightarrow x=6$ (thỏa $1\le x\le 25$). $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<6$, $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>6$ nên $P$ đạt max tại $x=6$: $P(6)=-216+108+432-80=244$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí sản xuất là $x\cdot G(x)=x^3-77x^2+1000x+40000$ (nghìn đồng). Lợi nhuận: $P(x)=F(x)-xG(x)=-2x^2+1312x-(x^3-77x^2+1000x+40000)=-x^3+75x^2+312x-40000$ (nghìn đồng), xét trên $[1;300]$. Ta có $P^{\prime }(x)=-3x^2+150x+312=0\iff x^2-50x-104=0\iff x=52$ (nhận, vì $1\le x\le 300$) hoặc $x=-2$ (loại). Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<52$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>52$ nên $P(x)$ đạt max tại $x=52$. Khi đó $P(52)=-140608+202800+16224-40000=38416$ nghìn đồng $=38,416$ triệu đồng $\approx 38$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số giếng khai thác thêm ($x$ nguyên, $x\ge 0$). Khi đó số giếng là $12+x$ và mỗi giếng chiết xuất $144-5x$ thùng/ngày (cần $144-5x>0$, tức $x<28,8$). Sản lượng dầu mỗi ngày: $f(x)=(12+x)(144-5x)=1728+84x-5x^2$. Đây là hàm bậc hai với $a=-5<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x=\frac{84}{2\cdot 5}=8,4$. Vì $x$ phải nguyên nên xét hai giá trị lân cận: $f(8)=20\cdot 104=2080$ và $f(9)=21\cdot 99=2079$. Vậy sản lượng lớn nhất là $2080$ thùng/ngày khi khai thác thêm $x=8$ giếng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều còn lại của đáy là $x$ (m), $x>0$. Chiều cao bể $h=\frac{4,3}{1,6x}$ (m). Diện tích xây dựng (đáy cộng 4 mặt bên, không nắp): $S(x)=1,6x+2h(x+1,6)=1,6x+\frac{8,6(x+1,6)}{1,6x}=1,6x+\frac{8,6}{x}+5,375$. Ta có $S^{\prime }(x)=1,6-\frac{8,6}{x^2}=0\Rightarrow x^2=5,375\Rightarrow x=\sqrt{5,375}\approx 2,3184$. Vì $S^{\prime \prime }(x)=\frac{17,2}{x^3}>0$ nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x\approx 2,3184$. Làm tròn đến hàng phần mười, chiều còn lại của đáy bể bằng $2,3$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là chiều rộng và chiều cao phần in chữ ($x,y>0$), với $xy=384$. Chiều rộng trang sách là $x+2+2=x+4$, chiều cao là $y+3+3=y+6$. Diện tích trang sách: $S=(x+4)(y+6)=xy+6x+4y+24=408+6x+4y$. Theo AM-GM: $6x+4y\ge 2\sqrt{6x\cdot 4y}=2\sqrt{24\cdot 384}=2\cdot 96=192$. Dấu bằng khi $6x=4y$ và $xy=384$, giải ra $x=16,y=24$ (thỏa mãn). Vậy $S_{\min }=408+192=600$ cm².

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có đáy hình vuông cạnh $(6-2x)$ dm và chiều cao $x$ dm với $0<x<3$. Thể tích: $V(x)=x(6-2x{)}^2$. Có $V^{\prime }(x)=(6-2x{)}^2+x\cdot 2(6-2x)(-2)=(6-2x)(6-6x)$. $V^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1$ (vì $x=3$ không thuộc miền xác định). Trên $(0;1)$: $V^{\prime }(x)>0$; trên $(1;3)$: $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt cực đại (và giá trị lớn nhất) tại $x=1$. Khi đó $V_{\max }=1\cdot (6-2{)}^2=16$ dm³.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ (m) là cạnh lục giác đều, $x$ (m) là chiều cao hình chữ nhật. Lục giác đều có tâm trùng tâm tam giác đều, các cạnh song song với cạnh tam giác. Khoảng cách từ tâm tam giác đến cạnh tam giác (bán kính đường tròn nội tiếp) bằng $\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Để hình gấp nằm trong tấm tôn, khoảng cách từ tâm đến mép ngoài hình chữ nhật theo phương pháp tuyến phải không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$: $\frac{\sqrt{3}}{2}a+x\le \frac{\sqrt{3}}{3}$, tức $x=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a$ (thỏa $0<x<\frac{2}{3}$). Thể tích lăng trụ lục giác đều: $V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}x=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\cdot \sqrt{3}\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{2}\right)=\frac{3}{2}{a}^2-\frac{9}{4}{a}^3$. Có $V^{\prime }(a)=3a-\frac{27}{4}{a}^2=0\Rightarrow a=\frac{4}{9}$ (m), khi đó $x=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{9}<\frac{2}{3}$, thỏa mãn. Vì $V^{\prime }(a)>0$ với $a<\frac{4}{9}$ và $V^{\prime }(a)<0$ với $a>\frac{4}{9}$ nên $V$ đạt lớn nhất tại $a=\frac{4}{9}$: $V_{\max }=\frac{3}{2}\cdot \frac{16}{81}-\frac{9}{4}\cdot \frac{64}{729}=\frac{8}{81}$ m${}^3=\frac{8000}{81}\approx 98,8$ dm${}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;4]$ giá trị lớn nhất của $f(x)$ đạt tại $x=-2$ với $f(-2)=7$ (các giá trị khác: $f(3)=2$, $f(1)=-2$, $f(4)=-4$). Vậy GTLN là $7$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng trang sách là $x$ (cm), chiều cao là $\frac{600}{x}$ (cm) với $x>5$. Phần chữ in có chiều rộng $x-5$ (lề trái 3 cm, lề phải 2 cm) và chiều cao $\frac{600}{x}-4$ (lề trên, dưới mỗi bên 2 cm). Diện tích phần chữ in: $S(x)=(x-5)\left(\frac{600}{x}-4\right)=620-4x-\frac{3000}{x}$. Có $S^{\prime }(x)=-4+\frac{3000}{x^2}=0\Rightarrow x^2=750\Rightarrow x=5\sqrt{30}\approx 27,386$ cm. Tại đó $S_{\max }=620-4\cdot 5\sqrt{30}-\frac{3000}{5\sqrt{30}}=620-40\sqrt{30}\approx 400,91$ cm${}^2$. Vậy diện tích lớn nhất của phần hình chữ in là $\approx 401$ cm${}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $s(0)=0$, $s(2)=12$, $s(4)=24$ (cực đại, nên $s^{\prime }(4)=0$), và đồ thị có điểm uốn tại $t=2$ với tiếp tuyến... thực chất dùng thêm $s^{\prime }(0)=0$ (tiếp xúc trục hoành tại gốc). Với $d=0$, $c=0$: hệ $4a+2b=6$, $16a+4b=6$ cho $a=-\frac{3}{4},b=\frac{9}{2}$. Kiểm tra: $s(2)=-6+18=12$, $s(4)=-48+72=24$, $s^{\prime }(4)=-36+36=0$ đều đúng. Vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-\frac{9}{4}{t}^2+9t$ là parabol bậc hai với đỉnh tại $t=2$, giá trị lớn nhất $v(2)=-9+18=9$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-8x^2+16x-9$ trên $[1;3]$. Có $y^{\prime }=3x^2-16x+16=0\iff x=\frac{4}{3}$ hoặc $x=4$ (loại vì $4\notin [1;3]$). Tính giá trị: $f(1)=1-8+16-9=0$; $f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{64}{27}-\frac{128}{9}+\frac{64}{3}-9=\frac{64-384+576-243}{27}=\frac{13}{27}$; $f(3)=27-72+48-9=-6$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $m=-6$ tại $x=3$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên đoạn $[-5;5]$: điểm đầu $(-5;-1)$, đỉnh cao nhất tại $(-2;2)$, điểm cuối $(5;-3)$. Vậy $M=2$, $m=-3$, do đó $3M+m=3\cdot 2+(-3)=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x+2$ liên tục trên $[-3;6]$. Ta có $y^{\prime }=-x^2+5x-4=-(x-1)(x-4)$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=4$ (thuộc đoạn). Tính giá trị: $f(-3)=9+\frac{45}{2}+12+2=\frac{91}{2}$; $f(1)=-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4+2=\frac{1}{6}$; $f(4)=-\frac{64}{3}+40-16+2=\frac{14}{3}$; $f(6)=-72+90-24+2=-4$. So sánh: giá trị nhỏ nhất là $m=-4$ tại $x=6$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-10x-5}{4x+4}$ xác định trên $[-10;-5]$ (mẫu khác 0 vì $x\ne -1$). Ta có $y^{\prime }=\frac{-10(4x+4)-4(-10x-5)}{(4x+4{)}^2}=\frac{-40x-40+40x+20}{(4x+4{)}^2}=\frac{-20}{(4x+4{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn $[-10;-5]$, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=-5$: $y(-5)=\frac{50-5}{-20+4}=\frac{45}{-16}=-\frac{45}{16}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2-4x+3=-(x+2{)}^2+7$ trên đoạn $[-4;-1]$. Đỉnh parabol tại $x=-2\in [-4;-1]$ với giá trị lớn nhất $f(-2)=7$. Giá trị nhỏ nhất của $f$ đạt tại đầu đoạn: $f(-4)=-16+16+3=3$, $f(-1)=-1+4+3=6$. Vậy $\min f=3$ tại $x=-4$. Vì $e^t$ đồng biến nên $\min y=e^3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (3x^2+x+2)$ xác định trên $\mathbb{R}$ vì $3x^2+x+2>0$ với mọi $x$ (delta $=1-24<0$). Ta có $y^{\prime }=\frac{6x+1}{3x^2+x+2}$, nên $y^{\prime }=0$ khi $x=-\frac{1}{6}\in [-2;4]$. Trên $[-2;-\frac{1}{6}]$ thì $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến), trên $[-\frac{1}{6};4]$ thì $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến), nên GTNN đạt tại $x=-\frac{1}{6}$: $3\cdot \frac{1}{36}-\frac{1}{6}+2=\frac{1}{12}-\frac{2}{12}+\frac{24}{12}=\frac{23}{12}$. Vậy $\min y=\ln \frac{23}{12}$, chọn B. (So sánh: tại $x=-2$: $\ln 12$; tại $x=4$: $\ln 54$ — đều lớn hơn.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định trên $[1;6]$. Ta có $y^2=(6-x)+(x-1)+2\sqrt{(6-x)(x-1)}=5+2\sqrt{(6-x)(x-1)}\ge 5$, nên $y\ge \sqrt{5}$. Dấu bằng khi $(6-x)(x-1)=0$, tức $x=1$ hoặc $x=6$ (thuộc tập xác định). Vậy giá trị nhỏ nhất là $\sqrt{5}$, đạt được tại $x=1$ hoặc $x=6$. Đáp án A.