Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $N(t)=1929+102t^2-4t^3$ trên $[0;30]$. Ta có $N^{\prime }(t)=204t-12t^2=12t(17-t)$. $N^{\prime }(t)=0$ khi $t=0$ hoặc $t=17$. Trên $(0;17)$ thì $N^{\prime }(t)>0$, trên $(17;30)$ thì $N^{\prime }(t)<0$, nên hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $t=17$ phút, tức $N(17)=1929+102\cdot 289-4\cdot 4913=1929+29478-19652=11755$ vi khuẩn, lớn hơn $N(0)=1929$ và $N(30)=1929+91800-108000=-6271$. Vậy số vi khuẩn lớn nhất sau $17$ phút $=17\times 60=1020$ giây. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích hộp: $13xy=520\Rightarrow xy=40\Rightarrow y=\frac{40}{x}$ với $x>0$. Vậy a) đúng.

b) Diện tích toàn phần: $S=2(xy+13x+13y)=2\cdot 40+26x+26\cdot \frac{40}{x}=80+26x+\frac{1040}{x}$. Khẳng định $S(x)=80+13x+\frac{1040}{x}$ sai (hệ số của $x$ phải là 26 chứ không phải 13). Vậy b) sai.

c) Với $S(x)=80+26x+\frac{1040}{x}$ ta có $S^{\prime }(x)=26-\frac{1040}{x^2}=\frac{26x^2-1040}{x^2}$. Vậy c) đúng.

d) $S^{\prime }(x)=0\iff 26x^2=1040\iff x^2=40\iff x=2\sqrt{10}$ (vì $x>0$). $S^{\prime }(x)<0$ khi $x<2\sqrt{10}$ và $S^{\prime }(x)>0$ khi $x>2\sqrt{10}$ nên $S$ đạt nhỏ nhất tại $x=2\sqrt{10}\approx 6.32$. Vậy d) đúng.

Lưu ý: mặc dù biểu thức $S(x)$ ở câu b) sai, nhưng đạo hàm ở c) và giá trị tối tiểu ở d) khớp với hàm $S$ đúng $S(x)=80+26x+\frac{1040}{x}$, nên c) và d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$13xy=520\Rightarrow xy=40\Rightarrow y=\frac{40}{x}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=2(xy+13x+13y)=80+26x+\frac{1040}{x}$, không phải $80+13x+\frac{1040}{x}$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $S(x)=80+26x+\frac{1040}{x}$ thì $S^{\prime }(x)=26-\frac{1040}{x^2}=\frac{26x^2-1040}{x^2}$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S^{\prime }(x)=0\iff x=2\sqrt{10}$, $S^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $S$ nhỏ nhất tại $x=2\sqrt{10}\approx 6.32$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)=-\frac{1}{5}{x}^3+3x^2+1800$, $0\le x\le 20$; $P^{\prime }(x)=-\frac{3}{5}{x}^2+6x=\frac{3x}{5}(10-x)$. Trên $(0;10)$ có $P^{\prime }(x)>0$, trên $(10;20)$ có $P^{\prime }(x)<0$.
a) Sai: hàm số chỉ đồng biến trên $[0;10]$ và nghịch biến trên $[10;20]$, không tăng trên toàn bộ $[0;20]$.
b) Đúng: $P(x)=1850\iff -\frac{x^3}{5}+3x^2=50\iff x^3-15x^2+250=0\iff (x-5)(x^2-10x-50)=0\iff x=5$ hoặc $x=5\pm 5\sqrt{3}$. Trong $[0;20]$ có hai nghiệm $x=5$ và $x=5+5\sqrt{3}\approx 13,66$, vậy có hai phương án.
c) Sai: $P^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,10,20$; trên khoảng $(0;20)$ chỉ có một điểm cực trị là $x=10$ (cực đại).
d) Đúng: lợi nhuận lớn nhất tại $x=10$: $P(10)=-\frac{1000}{5}+300+1800=1900$ nghìn USD $=\frac{19}{10}$ triệu USD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(x)=\frac{3x}{5}(10-x)$; $P^{\prime }(x)<0$ trên $(10;20)$ nên hàm số không tăng trên toàn bộ $[0;20]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(x)=1850\iff x^3-15x^2+250=0\iff (x-5)(x^2-10x-50)=0$, hai nghiệm thuộc $[0;20]$ là $x=5$ và $x=5+5\sqrt{3}\approx 13,66$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,10,20$; trên khoảng $(0;20)$ chỉ có một điểm cực trị $x=10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(10)=1900$ nghìn USD $=\frac{19}{10}$ triệu USD là giá trị lớn nhất trên $[0;20]$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cá vụ vừa qua: 56·15 = 840 con. Khối lượng mỗi con: 924,0/840 = 1,1 kg.
a) Sai: số cá thả là 840 chứ không phải 852.
b) Sai: sau x lần giảm 8 con, số cá thả mới là 840 − 8x.
c) Đúng: mỗi lần giảm 8 con thì khối lượng mỗi con tăng 0,4 kg nên khối lượng mỗi con là 1,1 + 0,4x (kg).
d) Sản lượng P(x) = (840 − 8x)(1,1 + 0,4x), với 0 ≤ x ≤ 105. P'(x) = −8(1,1+0,4x) + 0,4(840−8x) = 327,2 − 6,4x = 0 ⇒ x = 51,125. So sánh x = 51: P = 432·21,5 = 9288 kg; x = 52: P = 424·21,9 = 9285,6 kg. Vậy sản lượng lớn nhất khi thả 840 − 8·51 = 432 con ⇒ d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cá thả vụ vừa qua là 56·15 = 840 con, không phải 852.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cá thả mới là 840 − 8x con.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khối lượng mỗi con ban đầu 1,1 kg, mỗi lần giảm 8 con tăng 0,4 kg nên là (1,1 + 0,4x) kg.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(x) = (840−8x)(1,1+0,4x) đạt max tại x = 51 (P=9288 kg > 9285,6 kg tại x=52), số cá thả là 432 con.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng dây 28 dm: đáy vuông dùng 4x, hai đoạn còn lại mỗi đoạn dài (28-4x)/2 = 14-2x, uốn thành đường gấp khúc ASC = SA + SC nên cạnh bên SA = (14-2x)/2 = 7-x, với 0<x<7. a) Đúng.

b) Với x=4: cạnh bên = 3, nửa đường chéo đáy = 4√2/2 = 2√2, h² = 9 - 8 = 1 ⇒ h = 1 dm. Đúng.

c) Các cạnh bằng nhau: x = 7-x ⇒ x = 3,5. Mặt bên là tam giác đều cạnh 3,5, diện tích 4 mặt = 4·(√3/4)·3,5² = 49√3/4 ≈ 21,22 dm² ≠ 15√3. Sai.

d) Thể tích V = (1/3)x²√((7-x)² - x²/2). Khảo sát f(x) = x⁴(49 - 14x + x²/2), f'(x) = x³(3x² - 70x + 196) = 0 ⇒ x = (70 - √2548)/6 ≈ 3,25 dm (không phải 1,89). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh bên = (14-2x)/2 = 7-x dm, điều kiện 0<x<7.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=4: cạnh bên 3, h=√(9-8)=1 dm.
c) (AI giải đề cho tôi)
x=3,5, diện tích 4 mặt bên = 49√3/4 ≈ 21,22 dm² ≠ 15√3 dm².
d) (AI giải đề cho tôi)
V max khi 3x²-70x+196=0 ⇒ x ≈ 3,25 dm, không phải 1,89 dm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=-\frac{x^3}{3}+x^2+3x-2$ trên $[-5;5]$. Có $y^{\prime }=-x^2+2x+3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$ (thuộc đoạn). Tính giá trị: $y(-5)=\frac{125}{3}+25-15-2=\frac{149}{3}\approx 49,7$; $y(-1)=\frac{1}{3}+1-3-2=-\frac{11}{3}\approx -3,7$; $y(3)=-9+9+9-2=7$; $y(5)=-\frac{125}{3}+25+15-2=-\frac{11}{3}\approx -3,7$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $-\frac{11}{3}\approx -3,7$ (đạt tại $x=-1$ và $x=5$).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận mỗi tháng: $P(x)=(x-20)(80-x)=-x^2+100x-1600$, với $20\le x\le 80$. $P^{\prime }(x)=-2x+100=0\Rightarrow x=50$. Vì $P^{\prime \prime }(x)=-2<0$ nên $P$ đạt max tại $x=50$, lợi nhuận $P(50)=900$ đôla. Vậy cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với giá 50 đôla.

(AI giải đề cho tôi)
$y=(x+2{)}^2{e}^x$, $y^{\prime }=(x+2)(x+4)e^x$. Trên $(-4;-2)$: $x+4>0$, $x+2<0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến. Vậy max tại $x=-4$: $y=4e^{-4}\approx 0,0733\approx 0,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{4m-4x}{4-x}=4+\frac{4(m-4)}{4-x}$. Đặt $c=4(m-4)$. Trên $[5;9]$ thì $4-x<0$ và $y^{\prime }=\frac{c}{(4-x{)}^2}$ nên hàm đơn điệu.

Nếu $c<0$ (tức $m<4$): hàm nghịch biến, $\min y=4+\frac{c}{-5}=4-\frac{c}{5}$ (tại $x=9$), $\max y=4-\frac{c}{4}$ (tại $x=5$). Tổng $=8-\frac{9c}{5}=0\Rightarrow c=\frac{40}{9}>0$, mâu thuẫn.

Nếu $c>0$ (tức $m>4$): hàm đồng biến, $\min y=4+\frac{c}{-1}=4-c$ (tại $x=5$), $\max y=4+\frac{c}{-5}=4-\frac{c}{5}$ (tại $x=9$). Tổng $=8-\frac{6c}{5}=0\Rightarrow c=\frac{20}{3}>0$, thỏa mãn.

Suy ra $4(m-4)=\frac{20}{3}\Rightarrow m-4=\frac{5}{3}\Rightarrow m=\frac{17}{3}\approx 5,67$, làm tròn đến hàng đơn vị là $6$.

Kiểm tra: với $m=\frac{17}{3}$, tại $x=5$: $y=4-\frac{20}{3}=-\frac{8}{3}$ (min); tại $x=9$: $y=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ (max); tổng $=0$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $Q(x)\ge C(x)$ với mọi $x\ge 0$, tức $3x^3+1\ge kx$. Với $x=0$ bất đẳng thức luôn đúng. Với $x>0$, ta cần $k\le \frac{3x^3+1}{x}=3x^2+\frac{1}{x}$. Xét $g(x)=3x^2+\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$: $g^{\prime }(x)=6x-\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow x^3=\frac{1}{6}\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{6}}$. Khi đó $g$ đạt giá trị nhỏ nhất $g_{\min }=3\cdot 6^{-2/3}+6^{1/3}=6^{1/3}\left(\frac{3}{6}+1\right)=\frac{3}{2}\sqrt[3]{6}\approx 2,73$. Vậy giá trị lớn nhất của $k$ là $k_{\max }=\frac{3\sqrt[3]{6}}{2}\approx 2,73$ (chục triệu đồng/tháng).

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc, chiếc hộp có chiều cao $x$, đáy là hình chữ nhật kích thước $(30-2x)$ và $(60-2x)$. Thể tích: $$V(x)=x(30-2x)(60-2x)=4x^3-180x^2+1800x,6\le x\le 7.$$ Ta có $V^{\prime }(x)=12x^2-360x+1800=12(x^2-30x+150)$. Giải $V^{\prime }(x)=0$ được $x=15\pm 5\sqrt{3}$; trong đoạn $[6;7]$ chỉ có $x=15-5\sqrt{3}\approx 6,34$. Trên $[6;15-5\sqrt{3}]$ thì $V^{\prime }(x)>0$, trên $[15-5\sqrt{3};7]$ thì $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=15-5\sqrt{3}$. Khi đó $30-2x=10\sqrt{3}$, $60-2x=30+10\sqrt{3}$, nên $$V_{\max }=(15-5\sqrt{3})\cdot 10\sqrt{3}\cdot (30+10\sqrt{3})\approx 5196,2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3.$$ Làm tròn đến hàng đơn vị: $5196$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt nửa đường tròn tâm O bán kính R=10, hình chữ nhật ABCD có đáy AB nằm trên đường kính, hai đỉnh D, C trên cung. Gọi x là khoảng cách từ O đến A (0<x<10), khi đó chiều rộng AB=2x và chiều cao BC=√(R²−x²)=√(100−x²). Diện tích S(x)=2x√(100−x²). Xét S²(x)=4x²(100−x²), đặt t=x²∈(0;100), hàm f(t)=4t(100−t) đạt max tại t=50 với giá trị 4·50·50=10000. Vậy S_max=√10000=100 (x=√50, chiều rộng 10√2, chiều cao 5√2). Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 100.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $v(t)=t^4-12t^2+256$ trên $[0;4]$. Có $v^{\prime }(t)=4t^3-24t=4t(t^2-6)$. Trên $[0;4]$, $v^{\prime }(t)<0$ khi $0<t<\sqrt{6}$ và $v^{\prime }(t)>0$ khi $t>\sqrt{6}$, nên $v(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\sqrt{6}$. Khi đó $v(\sqrt{6})=(\sqrt{6}{)}^4-12(\sqrt{6}{)}^2+256=36-72+256=220$ (m/s). Vậy vận tốc nhỏ nhất bằng 220.

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)=60x-(0,003x^3+52x+5)=8x-0,003x^3-5$, với $1\le x\le 161$. Ta có $P^{\prime }(x)=8-0,009x^2$; $P^{\prime }(x)=0\iff x^2=\frac{8000}{9}\iff x=\frac{20\sqrt{20}}{3}\approx 29,81$ (nhận, vì $1\le x\le 161$). Trên $(0;29,81)$ hàm đồng biến, trên $(29,81;161)$ hàm nghịch biến nên $P$ đạt max tại $x\approx 29,81$. Khi đó $P\approx 8(29,814)-0,003(29,814{)}^3-5\approx 238,51-79,51-5\approx 154,0$. So sánh hai đầu: $P(1)\approx 3$, $P(161)<0$, nên lợi nhuận lớn nhất là $\approx 154$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm giá trị $v\in (0;150]$ để $C(v)=\frac{4v}{5}+\frac{23104}{5v}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cách 1 (BĐT Cô-si): Với $v>0$:
$$C(v)=\frac{4v}{5}+\frac{23104}{5v}\ge 2\sqrt{\frac{4v}{5}\cdot \frac{23104}{5v}}=\frac{2\sqrt{4\cdot 23104}}{5}=\frac{2\cdot 2\cdot 152}{5}=\frac{608}{5}.$$
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{4v}{5}=\frac{23104}{5v}\iff v^2=\frac{23104}{4}=5776\iff v=76$ (nhận $v>0$).

Cách 2 (đạo hàm): $C^{\prime }(v)=\frac{4}{5}-\frac{23104}{5v^2}=0\iff v^2=5776\iff v=76$. Vì $C^{\prime }(v)<0$ khi $v<76$ và $C^{\prime }(v)>0$ khi $v>76$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $v=76$, thuộc miền $(0;150]$.

Vậy tài xế nên lái xe với tốc độ trung bình $76$ km/h để tiết kiệm tiền xăng nhất (chi phí nhỏ nhất $C(76)=\frac{608}{5}=121,6$ ngàn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều dài phòng học là $x$ (m), $x>0$. Chiều cao phòng là $h=\frac{330}{5,5x}=\frac{60}{x}$ (m). Diện tích cần sơn gồm trần và 4 mặt tường: $$S(x)=5,5x+2(x+5,5)\cdot \frac{60}{x}=5,5x+120+\frac{660}{x}.$$ Ta có $S^{\prime }(x)=5,5-\frac{660}{x^2}$, $S^{\prime }(x)=0\iff x^2=120\iff x=\sqrt{120}\approx 10,954$ (m). Vì $S^{\prime \prime }(x)=\frac{1320}{x^3}>0$ nên $S$ đạt nhỏ nhất tại $x=\sqrt{120}$. Vậy chiều dài phòng học cần tìm là $\sqrt{120}\approx 11,0$ m (làm tròn đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền cần tăng giá ($0\le x\le 20$ vì số khăn bán được phải dương). Khi đó giá bán mỗi chiếc là $25+x$ nghìn đồng, số khăn bán được mỗi tháng là $1400-70x$ chiếc, lợi nhuận mỗi chiếc là $(25+x)-17=8+x$ nghìn đồng. Lợi nhuận tháng: $$P(x)=(1400-70x)(8+x)=70(20-x)(8+x).$$ Hàm $P(x)$ là parabol bậc hai với hai nghiệm $x=20$ và $x=-8$, nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x=\frac{20+(-8)}{2}=6$. Kiểm tra: $P(6)=(1400-420)(14)=980\cdot 14=13720$ nghìn đồng, lớn hơn $P(0)=11200$. Vậy cần tăng giá 6 nghìn đồng (tức 6000 đồng) để lợi nhuận cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $t$ là số lần tăng 4 giờ làm việc, khi đó thời gian làm việc tuần là $x=36+4t\Rightarrow t=\frac{x-36}{4}$, với $x\ge 36$.

Số công nhân: $125-2t=\frac{286-x}{2}$; năng suất mỗi công nhân mỗi giờ: $139-5t=\frac{736-5x}{4}$ (các đại lượng dương nên $36\le x<147,2$).

Tổng sản phẩm thật (đã trừ phế phẩm) mỗi tuần:
$$f(x)=\frac{x(286-x)(736-5x)}{8}-\frac{5x^2+64x}{2}=\frac{5x^3-2186x^2+210240x}{8}.$$

$f^{\prime }(x)=\frac{15x^2-4372x+210240}{8}=0$ với $\Delta =4372^2-4\cdot 15\cdot 210240=6499984$, $\sqrt{\Delta }\approx 2549,51$, cho hai nghiệm $x\approx 60,75$ và $x\approx 230,7$ (loại vì ngoài miền xác định).

Kiểm tra: $f(36)=125\cdot 139\cdot 36-4392=621108$; $f(60,75)\approx 728175$; hàm giảm sau $x\approx 60,75$. Vậy số sản phẩm lớn nhất khi $x\approx 60,75$ giờ mỗi tuần.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (km) là khoảng cách đi đường bộ từ $A$ đến $D$ với $0\le x\le 16$, khi đó $DB=16-x$ và $DC=\sqrt{(16-x{)}^2+12^2}$. Tổng kinh phí: $f(x)=5x+13\sqrt{(16-x{)}^2+144}$ (USD).

$f^{\prime }(x)=5-\frac{13(16-x)}{\sqrt{(16-x{)}^2+144}}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$: $5\sqrt{(16-x{)}^2+144}=13(16-x)$, bình phương: $25((16-x{)}^2+144)=169(16-x{)}^2\Rightarrow 25\cdot 144=144(16-x{)}^2\Rightarrow (16-x{)}^2=25\Rightarrow x=11$ (nhận, vì $x\in [0;16]$).

Với $x\in [0;11)$ thì $f^{\prime }(x)<0$; với $x\in (11;16]$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy $f$ giảm trên $[0;11]$ và tăng trên $[11;16]$, đạt GTNN tại $x=11$.

Kiểm tra: $f(0)=13\cdot 20=260$; $f(11)=55+13\cdot 13=224$; $f(16)=80+156=236$. Vậy kinh phí nhỏ nhất là $224$ USD khi đi đường bộ $11$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BM=x$ (km), $0\le x\le 11$. Chi phí: dây trên đất liền từ $A$ đến $M$ dài $11-x$, dây trên biển $MC=\sqrt{x^2+B{C}^2}=\sqrt{x^2+9}$. Tổng chi phí $f(x)=40(11-x)+50\sqrt{x^2+9}$ (triệu đồng). $f^{\prime }(x)=-40+\frac{50x}{\sqrt{x^2+9}}=0\Rightarrow 50x=40\sqrt{x^2+9}\Rightarrow 2500x^2=1600(x^2+9)\Rightarrow 900x^2=14400\Rightarrow x=4$ (thỏa $0\le x\le 11$). Vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<4$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>4$ nên $x=4$ cho chi phí nhỏ nhất. Vậy $BM=4$ km.