Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Có hai chiếc cọc có chiều cao lần lượt là 11 m và 30 m, đặt cách nhau 24 m. Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cọc tới đỉnh của mỗi cột. Gọi $x$ (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm $x$ để tổng độ dài hai dây ngắn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

[Hình cần kiểm tra lại: p19_f2]

Một bức tranh cao 4 m được treo trên tường có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan sát 3 m (như hình vẽ). Người quan sát phải đứng cách tường bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi nhất (tức là, có góc nhìn $\theta$ lớn nhất)? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên.



Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-3;3]$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị bên dưới. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1;3]$. Giá trị của $M+m$ bằng:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2;4]$ là

Cho hàm số $y=2^x-4x\ln 2$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;4]$ có dạng $a-b\ln c$. Tính $a+b+c$?

Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=x-\ln x$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2};e\right]$. Giá trị của $M-m$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ được cho như hình vẽ dưới đây.



Biết rằng $f(0)+f(3)=f(2)+f(5)$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của $y=f(x)$ trên đoạn $[0;5]$?

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{x^2+9}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{4}{3}{\sin }^{3}x+4{\cos }^{2}x-5\sin x+1$. Tính giá trị của $M-m$.

Một màn hình $BC$ có chiều cao $1,4m$ được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng $BA=1,8m$. Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt ở vị trí $O$ trên mặt đất. Hãy xác định khoảng cách $AO$ sao cho góc quan sát $BOC$ là lớn nhất. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục và dùng đơn vị m.

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ kéo dài trong $60$ ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức: $s(t)=-t^3+27t^2+262144$ (tấn) với $1\le t\le 60,t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Tính số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ ngày thứ 12.
b) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh $A$ cao nhất vào ngày nào?
c) Trong khoảng thời gian nào thì sản lượng xuất khẩu gạo của tỉnh $A$ giảm.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x$ (cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (tham khảo hình vẽ).

[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu centimét để thể tích của khối hộp đó là lớn nhất?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x.\ln x$ trên đoạn $\left[1;e^2\right]$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;2]$ và có đồ thị như hình vẽ:



Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$. Tính $S=M+m$

Giả sử chi phí tiền xăng $C$ (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v(km/h)$ theo công thức: $C(v)=\frac{9000}{v}+\frac{5v}{2}(0<v\le 120)$. Hỏi người tài xế lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $1(m^3)$. Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp 1,5 lần chiều rộng. Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là 240 000 đồng/m², chi phí vật liệu làm mặt bên là 190 000 đồng/m² (bỏ qua các chi phí khác như công lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu, …). Hỏi với 200 triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Một cửa hàng mỗi ngày nhập về và bán ra hết $x$ sản phẩm $(0\le x\le 200)$. Giá nhập mỗi sản phẩm là $200-\frac{1}{2}x$ (nghìn đồng). Giá bán mỗi sản phẩm là $250-x$ (nghìn đồng) (Bỏ qua các chi phí khác). Các khẳng định sau đúng hay sai?

Công ty bất động sản Vinhomes chuẩn bị mở bán dự án chung cư cao cấp vào tháng 01/2027. Dự án có tổng cộng 500 căn hộ. Qua phân tích thị trường, bộ phận kinh doanh xác định giá bán $p$ của sản phẩm phụ thuộc số lượng sản phẩm $x$ bán ra theo quy luật là một hàm số $p(x)=12-0,01x$ (trong đó $x$ là số căn hộ bán ra). Chi phí vốn để hoàn thiện mỗi căn hộ là 4 tỷ đồng. Tuy nhiên, do quy định mới về "mã định danh bất động sản" và chính sách thuế chống đầu cơ có hiệu lực từ 01/02/2026, lợi nhuận công ty bất động sản này chịu tác động kép bởi 2 loại thuế phí sau:
+ Thuế chuyển nhượng: Theo quy định mới áp dụng từ 1/7/2026, Vinhomes phải đóng thuế thu nhập chuyển nhượng là 2\% trên tổng doanh thu.
+ Phí lũy tiến "Ổn định thị trường": Hệ thống cơ sở dữ liệu Quốc Gia sẽ quét mã định danh các căn hộ. Nếu tập đoàn bán ra thị trường số lượng lớn trong thời gian ngắn (vượt quá 150 căn) thì hệ thống sẽ đánh dấu là "nguy cơ đầu cơ". Khi đó, với phần căn hộ bán vượt mức 150 thì tập đoàn phải chịu thêm một khoản phí phạt lũy tiến theo công thức $C=0,02(x-150{)}^2$ (tỷ đồng).

Hỏi tập đoàn cần bán ra số lượng bao nhiêu căn hộ để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất?

Một nhóm học sinh khởi nghiệp sản xuất và bán một mẫu áo đồng phục. Nếu bán được $x$ (chiếc áo) thì giá bán một chiếc áo là: $p(x)=220-0,1x$ $(0<x<2200,x\in \mathbb{N})$ (nghìn đồng). Toàn bộ chi phí sản xuất và tiền trả lãi vốn vay ngân hàng được tính bình quân là 100 nghìn đồng cho mỗi chiếc áo. Giả sử tất cả số áo sản xuất ra đều được bán hết.