Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất $3$ tại $x=3$ và giá trị nhỏ nhất $-2$ tại $x=2$ (điểm thấp nhất của đồ thị, có đường gióng xuống $-2$ trên trục tung). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $-2$, trùng với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 0102 (Câu 2: A).

Gọi $x$ là số căn hộ bị bỏ trống, với $x\in \mathbb{N},x<210$.
Giá thuê mỗi căn hộ là $5+\frac{x}{30}$ triệu đồng. Số căn hộ được thuê sau khi tăng giá là $100-x$ (0,25 điểm)

Doanh thu của $210-x$ căn hộ cho thuê là: $(210-x)\left(5+\frac{x}{30}\right)=-\frac{1}{30}{x}^2+2x+1050$. (0,25 điểm)

Xét hàm số $f(x)=-\frac{1}{30}{x}^2+2x+1050$, với $x\in \mathbb{N},x<210$.

Ta có $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{15}x+2$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=30$ (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)=-\frac{1}{30}{x}^2+2x+1050$

(0,25 điểm)

Vậy phải đặt giá của mỗi căn hộ là $5+\frac{30}{30}=6$ (triệu đồng).

Gọi ba kích thước của bể là $x,4x,y$ với $(x,y>0)$.
Thể tích bể là $V=x.4x.y=4x^{2}y=400\Rightarrow y=\frac{100}{x^2}$ (0,25 điểm)

Diện tích các mặt cần xây là $S=4x^2+10x.y=4x^2+10x.\frac{100}{x^2}=4x^2+\frac{1000}{x}=f(x)$. (0,25 điểm)

Xét hàm số $f(x)=4x^2+\frac{1000}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{8x^3-1000}{x^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=5$ (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)=4x^2+\frac{1000}{x}$

(0,25 điểm)

Do chi phí thuê nhân công thấp nhất thì bể phải xây dựng có tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy nhỏ nhất. Vậy chi phí thấp nhất là $300.0,4=120$ (triệu đồng)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-30=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{10}$. Trên đoạn $[2;19]$ chỉ có điểm $x=\sqrt{10}$. Tính: $f(2)=8-60=-52$; $f(\sqrt{10})=10\sqrt{10}-30\sqrt{10}=-20\sqrt{10}\approx -63,25$; $f(19)=6859-570=6289$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-20\sqrt{10}$ (tại $x=\sqrt{10}$, vì $-20\sqrt{10}\approx -63,25<-52$). Đáp án khớp với bảng hướng dẫn chấm (mã đề 0102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ có dấu $-0+0-0+$ tại $x=-2,0,2$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đồng biến trên $(-2;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$. Suy ra $f(-2)=1$ (cực tiểu), $f(0)=3$ (cực đại), $f(2)=1$ (cực tiểu). Trên đoạn $[-2;2]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $\max \{f(-2),f(0),f(2)\}=\max \{1,3,1\}=3$. Vậy chọn đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 0102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-3;3]$, hàm số tăng từ $f(-3)=2$ xuống $f(0)=-1$ rồi tăng lên $f(3)=2$. So sánh giá trị tại hai đầu mút và tại điểm cực tiểu trong đoạn: $f(-3)=2$, $f(0)=-1$, $f(3)=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $y=f(x)$ trên đoạn $[-3;3]$ là $-1$, đạt tại $x=0$. Khớp với đáp án B trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 0101).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, trên đoạn $[-1;3]$ hàm số đạt giá trị cao nhất tại điểm đầu mút phải $x=3$ với $f(3)=3$ (đường nét đứt chỉ giá trị $3$ trên trục $Oy$). Các giá trị khác trên đồ thị đều nhỏ hơn $3$ (cực đại cục bộ bằng $2$, giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ tại $x=2$). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;3]$ bằng $3$, khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)$. Trên đoạn $[0;3]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$. Tính: $f(0)=-36$, $f(\sqrt{2})=4-8-36=-40$, $f(3)=81-36-36=9$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;3]$ là $-40$, đạt tại $x=\sqrt{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, Phần III, Câu 2: $-40$).

Gọi $x$ là số căn hộ bị bỏ trống, với $x\in \mathbb{N},x<80$.
Giá thuê mỗi căn hộ là $4+0,1x$ triệu đồng. Số căn hộ được thuê sau khi tăng giá là $80-x$ (0,25 điểm)

Doanh thu của $80-x$ căn hộ cho thuê là: $(80-x)(4+0,1x)=-0,1x^2+4x+320$.
Xét hàm số $f(x)=-0,1x^2+4x+320$, với $x\in \mathbb{N},x<80$. (0,25 điểm)

Ta có $f^{\prime }(x)=-0,2x+4$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=20$ (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)=-0,1x^2+4x+320$

(0,25 điểm)

Vậy phải đặt giá của mỗi căn hộ là $4+0,1.20=6$ (triệu đồng).

Gọi ba kích thước của bể là $x,5x,y$ với $(x,y>0)$.
Thể tích bể là $V=x.5x.y=5x^{2}y=900\Rightarrow y=\frac{180}{x^2}$ (0,25 điểm)

Diện tích các mặt cần xây là $S=5x^2+12xy=5x^2+12x.\frac{180}{x^2}=5x^2+\frac{2160}{x}=f(x)$. (0,25 điểm)

Xét hàm số $f(x)=5x^2+\frac{2160}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{10x^3-2160}{x^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=6$ (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $f(x)=5x^2+\frac{2160}{x}$

(0,25 điểm)

Do chi phí thuê nhân công thấp nhất thì bể phải xây dựng có tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy nhỏ nhất. Vậy chi phí thấp nhất là $540.0,45=243$ (triệu đồng)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-20x=4x(x^2-5)$. Trên $[0;9]$, $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=\sqrt{5}$. Tính: $f(0)=-4$; $f(\sqrt{5})=25-50-4=-29$; $f(9)=9^4-10\cdot 81-4=6561-810-4=5747$. So sánh, giá trị nhỏ nhất là $-29$ tại $x=\sqrt{5}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số điện thoại mỗi lô ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $x\le 600$), khi đó số lô trong năm là $\frac{600}{x}$.

Chi phí vận chuyển cả năm gồm:
- Chi phí theo lô: $50\cdot \frac{600}{x}=\frac{30000}{x}$ (USD).
- Chi phí 3 USD/chiếc chỉ tính cho lần vận chuyển đầu tiên: $3\cdot 600=1800$ (USD) — đây là hằng số, không ảnh hưởng đến việc tìm giá trị nhỏ nhất.

Tổng chi phí: $f(x)=\frac{30000}{x}+1800$.

Vì $f(x)$ giảm dần trên $(0;+\infty )$ (đạo hàm $f^{\prime }(x)=-\frac{30000}{x^2}<0$), chi phí nhỏ nhất khi $x$ lớn nhất, tức $x=600$ (cửa hàng nhập tất cả 600 chiếc trong một lô duy nhất).

Khi đó chi phí vận chuyển cả năm thấp nhất là $f(600)=50+1800=1850$ USD.

Vậy cửa hàng nên nhập mỗi lô 600 chiếc điện thoại.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C$ là điểm trên bờ đối diện gần $A$ nhất, $AC=3$ km, $BC=8$ km. Gọi $CD=x$ (km) với $0\le x\le 8$, khi đó $DB=8-x$. Thời gian: $T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}$. Đạo hàm $T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}=0\Rightarrow 8x=6\sqrt{9+x^2}\Rightarrow 64x^2=36(9+x^2)\Rightarrow 28x^2=324\Rightarrow x=\frac{9}{\sqrt{7}}$ (thỏa $0\le x\le 8$). Khi đó $T=\frac{\sqrt{9+81/7}}{6}+\frac{8-9/\sqrt{7}}{8}=\frac{12/\sqrt{7}}{6}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=\frac{2}{\sqrt{7}}+1-\frac{9}{8\sqrt{7}}=1+\frac{7}{8\sqrt{7}}=1+\frac{\sqrt{7}}{8}$. Vậy $a=1,b=1,c=8,d=7\Rightarrow a+b+c+d=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mảnh vườn: $xy=200\Rightarrow y=\frac{200}{x}$ với $x>0$, nên ý a) Đúng. Tổng độ dài lưới rào ba cạnh (hai cạnh vuông góc và một cạnh song song với bờ tường): $L=2x+y=2x+\frac{200}{x}$, nên ý d) Sai (công thức $2x+\frac{100}{x}$ sai). Xét $L^{\prime }(x)=2-\frac{200}{x^2}=0\iff x=10$; vì $L^{\prime }(x)<0$ khi $x<10$ và $L^{\prime }(x)>0$ khi $x>10$ nên $L$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=10$ m, ý b) Đúng. Khi đó $L_{\min }=2\cdot 10+\frac{200}{10}=40$ m, số tiền tối thiểu là $40\times 250000=10000000$ đồng $=10$ triệu đồng, không phải 2,5 triệu đồng, nên ý c) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)Đ - c)S - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì diện tích $xy=200m^2$ nên $y=\frac{200}{x}$ với $x>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$L=2x+\frac{200}{x}$; $L^{\prime }(x)=2-\frac{200}{x^2}=0\iff x=10$. Do $L$ giảm trên $(0;10)$ và tăng trên $(10;+\infty )$, $L$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=10$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$L_{\min }=2\cdot 10+\frac{200}{10}=40$ m, số tiền tối thiểu là $40\times 250000=10$ triệu đồng, không phải 2,5 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Rào ba cạnh: hai cạnh dài $x$ và một cạnh dài $y$, nên $L=2x+y=2x+\frac{200}{x}$, không phải $2x+\frac{100}{x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AX=x$ (m), $0\le x\le 800$. Quãng đường bơi $XC=\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}$ (m). Tổng thời gian (giờ): $T(x)=\frac{x}{30000}+\frac{\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}}{6000}$. Xét $f(x)=\frac{x}{30}+\frac{\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}}{6}$ (đơn vị km). $f^{\prime }(x)=\frac{1}{30}-\frac{800-x}{6\sqrt{(800-x{)}^2+400^2}}=0\Rightarrow \sqrt{(800-x{)}^2+400^2}=5(800-x)\Rightarrow (800-x{)}^2+160000=25(800-x{)}^2\Rightarrow 24(800-x{)}^2=160000\Rightarrow 800-x=\frac{400}{\sqrt{24}}\approx 81,65\Rightarrow x\approx 718,35$. Kiểm tra: $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x\approx 718,35$ nên là điểm cực tiểu (cận biên cho $T$ lớn hơn). Làm tròn: $X$ cách $A$ khoảng $718$ m. Khớp đáp án nguồn 718.

(AI giải đề cho tôi)
Sau khi cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc và gập lên, đáy hộp là hình vuông cạnh $3-2x$, chiều cao $x$, với $0<x<\frac{3}{2}$.

Thể tích: $V(x)=x(3-2x{)}^2=9x-12x^2+4x^3$.

$V^{\prime }(x)=9-24x+12x^2=3(3-2x)(3-6x)$.

$V^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{1}{2}$ (nhận, vì $x=\frac{3}{2}$ ngoài miền xác định).

Trên $(0;\frac{1}{2})$ có $V^{\prime }(x)>0$, trên $(\frac{1}{2};\frac{3}{2})$ có $V^{\prime }(x)<0$, nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{1}{2}$.

$V_{\max }=V\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot (3-1{)}^2=\frac{1}{2}\cdot 4=2$ (decimét khối).

Kết quả trùng với đáp án nguồn: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy hình vuông là $x$ (dm), $x>0$, chiều cao là $h$ (dm). Thể tích $x^{2}h=10$ (lít $=10\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$) nên $h=\frac{10}{x^2}$. Diện tích toàn phần: $S=2x^2+4xh=2x^2+\frac{40}{x}$. Xét $S^{\prime }(x)=4x-\frac{40}{x^2}=0\iff x^3=10\iff x=\sqrt[3]{10}$. Với $0<x<\sqrt[3]{10}$ thì $S^{\prime }<0$, với $x>\sqrt[3]{10}$ thì $S^{\prime }>0$, nên $S$ đạt nhỏ nhất tại $x=\sqrt[3]{10}$. Khi đó $S_{\min }=2\cdot 10^{2/3}+\frac{40}{10^{1/3}}=6\cdot 10^{2/3}\approx 27,8495\approx 27,8\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2$. Kết quả trùng với đáp án đề cho (27,8).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm hình vuông ban đầu (cạnh $6dm$) đến đỉnh của hình vuông nhỏ phía trong (các đỉnh nằm trên các đường chéo, hình vuông nhỏ bị xoay $45^{\circ }$). Khi đó cạnh đáy của khối chóp là $a=d\sqrt{2}$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $d$.

Mỗi tam giác bị cắt có cạnh đáy là cạnh hình vuông lớn bằng $6$ và đỉnh là đỉnh của hình vuông nhỏ, nên cạnh bên (cạnh bên của khối chóp) có độ dài $l=\sqrt{3^2+(3-d{)}^2}$ (khoảng cách từ đỉnh hình vuông nhỏ đến một góc của cạnh đáy lớn).

Chiều cao khối chóp: $h=\sqrt{l^2-d^2}=\sqrt{9+(3-d{)}^2-d^2}=\sqrt{18-6d}$ với $0<d<3$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{2d^2}{3}\sqrt{18-6d}$.

Xét $f(d)=d^4(18-6d)$, $f^{\prime }(d)=72d^3-30d^4=6d^3(12-5d)=0\Rightarrow d=\frac{12}{5}=2,4$ (thỏa $0<d<3$). $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $V$ lớn nhất tại $d=2,4$.

$V_{\max }=\frac{2\cdot (2,4{)}^2}{3}\sqrt{18-14,4}=\frac{11,52}{3}\sqrt{3,6}=3,84\sqrt{3,6}\approx 7,286\approx 7,3d{m}^3$.

Câu 1. (1,5 điểm)
Cách 1: Giả sử khách sạn tăng giá 40x (nghìn đồng) → Giá 1 phòng thuê / ngày là 400+40x
Số phòng có khách thuê là 100-8x
Doanh thu của khách sạn là $f(x)=(100-8x)(400+40x)=-320x^2+800x+40000$, $x\ge 0$
$$f^{\prime }(x)=-640x+800=0\leftrightarrow x=1,25$$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x=1,25
Giá thuê 1 phòng /ngày là 400 + 1,25.40 = 450 (nghìn đồng).

Cách 2: Giả sử khách sạn cho thuê phòng / ngày là x (nghìn đồng)
→ số phòng khách thuê là $100-\frac{x-400}{40}.8$
Doanh thu của khách sạn là $f(x)=\left(100-\frac{x-400}{40}.8\right)x$, $x\ge 400$
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x=450
Giá thuê 1 phòng /ngày là 450 (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f(x)$ trong Hình, xét trên đoạn $[0;4]$:
- $f(0)=0$ (đồ thị đi qua gốc $O$).
- Hàm số giảm và đạt giá trị nhỏ nhất $f(1)=-1$ tại điểm cực tiểu có hoành độ $x=1$.
- Sau đó hàm tăng, đạt cực đại $f(3)=1$, rồi giảm trở lại với $f(4)=0$.
So sánh các giá trị trên $[0;4]$: giá trị nhỏ nhất là $f(1)=-1$.
Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án của đề (Mã đề 110, Câu 2: C).