Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $y=x^3-12x+6$ . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-3;3]$ là

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm đó $\left(0<x\le 2000\right)$, tổng số tiền doanh nghiệp thu được (đơn vị: chục nghìn đồng) là $f(x)=2000x-x^2$ và tổng chi phí (đơn vị: chục nghìn đồng) doanh nghiệp chi ra là $g(x)=x^2+1440x+50$. Giả sử mức thuế thu phụ trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) $\left(0<t<300\right)$. Tìm mức thuế thu phụ $t$ (trên một đơn vị sản phẩm, đơn vị là nghìn đồng) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế thu phụ lớn nhất và doanh nghiệp cũng được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế thu phụ đó. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng) (Nguồn: Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Hướng dẫn giải bài tập Toán Cao cấp cho các nhà kinh tế, phần 2: Giải tích toán học, Nhà xuất bản Thống kê 2007).

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức $p=\frac{354}{1+0,01x}$, $x\ge 0$, trong đó $p$ (nghìn đồng) là giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm khi mà $x$ sản phẩm được bán ra.

Một người đổ xăng vào bình xăng ô tô và sau 30 giây, bình xăng được đổ đầy. Biết rằng lượng xăng trong bình $V$ (lit) tính theo thời gian bơm xăng $t$ (phút) được cho bởi công thức $V(t)=-300t^3+300t^2+7,5$ và $V^{\prime }(t)$ (lít/phút) là tốc độ tăng thể tích xăng tại thời điểm $t$ với $0\le t\le 0,5$. Trong quá trình đổ xăng, tốc độ tăng thể tích xăng tối đa của bình xăng đó là bao nhiêu lít/phút?

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong công viên giải trí. Trong mô hình được vẽ minh họa dưới đây, hồ nước được giới hạn bởi đồ thị hàm số
$$y=\frac{1}{10}\left(-x^3+9x^2-15x+56\right)$$
và các trục tọa độ.
Trong công viên có một con đường chạy dọc theo đồ thị hàm số $y=-1,5x+18$. Người ta dự định xây trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Khi đó khoảng cách ngắn nhất bằng bao nhiêu?

Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước $3m\times 8m$. Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh là $x$ để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ):

Một người cần đi từ khách sạn $A$ bên bờ biển đến hòn đảo $C$. Biết rằng khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển B là 10 km, khoảng cách từ khách sạn $A$ đến điểm $B$ trên bờ gần đảo $C$ nhất là 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ). Biết kinh phí đi đường thủy bằng thuyền là 5 USD/km, đi đường bộ bằng xe taxi là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đơn vị ki-lô-mét).
[Hình cần kiểm tra lại: p12_f1]

Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm có chiều ngang 80m, một bên cao 40 m và một bên cao 30 m. Một cây cầu sẽ được xây dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây.
[Hình cần kiểm tra lại: p12_f2]
Con đường $XY$ xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình $y=\frac{x^3}{25600}-\frac{3x}{16}+35$. Hai cột đỡ dọc $MN$ và $PQ$ (song song với trục $Oy$) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường $XY$. Tính tổng độ dài đoạn $MN$ và $PQ$ biết rằng $N$ và $Q$ là hai điểm đối xứng qua $Oy$; $MN$ là đoạn có độ dài lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của đơn vị mét).

Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán x chiếc máy ép hoa quả hằng tháng thì lợi nhuận thu được (triệu đồng) là $P(x)=-0,0002x^3+0,024x^2+1,2x-32$; $x\ge 0$. Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu?

Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x^4+\frac{2}{x^2}$ trên đoạn $[1;2]$. Giá trị $m+2M$ bằng bao nhiêu?

Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=-\frac{t^3}{3}+17t^2+580t$, $t\in \mathbb{N}$, $t\le 30$. Nếu coi $f(t)$ là hàm số xác định trên đoạn $[0;30]$ thì $f^{\prime }(t)$ được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$. Trong 30 ngày đầu tiên, có bao nhiêu ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 860?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2;1]$ của hàm số $y=\left|x^3-3x^2+m-2\right|$ nhỏ hơn 20?

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất chip bán dẫn cho nhà máy $B$. Nhà máy $B$ mua không quá 1500 sản phẩm từ nhà máy $A$. Nếu nhà máy $B$ mua $x$ sản phẩm thì giá bán mỗi sản phẩm là $P(x)=40-0,00001x^2(USD)$. Chi phí nhà máy $A$ sản xuất mỗi sản phẩm khi đó là $C(x)=\frac{10000}{x}+10(USD)$.

Cho hàm số $y={\left(x^3-3x-m+1\right)}^2$. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1;1]$ bằng 4.

Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, anh Khoa mở nhà máy sản xuất vi mạch với thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật có kích thước $a(\mathrm{pm})\times b(\mathrm{pm})$ với $1\mathrm{pm}=10^{-12}\mathrm{m}$. Biết rằng, chi phí để sản xuất vi mạch bao gồm 50 (triệu đồng) chi phí cho nguyên vật liệu ban đầu, 15 (triệu đồng) /1pm chi phí gia công lắp mảng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và 32 (triệu đồng)/ $1{\mathrm{pm}}^2$ tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên). Nếu đơn giá bán ra mỗi chiếc vi mạch là 428 (triệu đồng $/{\mathrm{pm}}^2$ ) và cả 2 kích thước thành phần của vi mạch giảm đi 15 pm thì lợi nhuận thu được mỗi chiếc bằng chi phí sản xuất của mỗi chiếc vi mạch đó. Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì chu vi của vi mạch là bao nhiêu pm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^4-8x^3+22x^2-24x+2$ trên đoạn $[0;4]$

Một nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi hàm chi phí $C(x)=18000+500x-1,6x^2+0,005x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=2012-7x$ (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Một sợi dây kim loại dài $60dm$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $a$, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính $r$. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ bằng bao nhiêu?
[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Bạn Long định gấp một cái hộp có dạng hình lăng trụ tứ giác đều với tổng diện tích tất cả các mặt là $96c{m}^2$ . Thể tích cái hộp mà bạn Long định gấp lớn nhất bằng bao nhiêu?

Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bán được 1000 điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng/1 cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán $x$ cái điện thoại A thì giá mỗi cái là $p(x)$ (triệu đồng) và hàm chi phí hàng tuần là $C(x)=12000-3x$ (triệu đồng). Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi cái điện thoại A với giá bao nhiêu (triệu đồng)?