Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $(\alpha )\parallel (\beta )$ thì mọi đường thẳng $a\subset (\alpha )$ không có điểm chung với $(\beta )$, do đó $a\parallel (\beta )$: mệnh đề A đúng. B sai vì hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau. C sai vì hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $d$, lấy $a\parallel d$ trong $(\alpha )$ và $b\parallel d$ trong $(\beta )$ thì $a\parallel b$ nhưng $(\alpha )$ cắt $(\beta )$). D sai vì qua một điểm ngoài mặt phẳng có vô số đường thẳng song song với mặt phẳng đó (mọi đường thẳng qua điểm đó và song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng có thể cắt nhau (ví dụ hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến a, cả hai đều song song với a). B sai vì thiếu chữ 'phân biệt': hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba có thể trùng nhau, khi đó chúng không song song với nhau. C sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng đi qua hai đường thẳng song song có thể cắt nhau (giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó). D đúng: nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng không thể cắt nhau (nếu cắt nhau tại một điểm thì qua điểm đó có hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba, mâu thuẫn với tính duy nhất), nên chúng song song với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng — tính bắc cầu của quan hệ song song giữa các mặt phẳng phân biệt. B đúng — nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì giao tuyến của chúng là một đường thẳng, nên chúng có vô số điểm chung khác. C đúng — nếu đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó không thể song song hay nằm trong mặt phẳng còn lại, nên nó cắt mặt phẳng còn lại. D sai — hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ hai đường thẳng đi qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, cùng song song với mặt phẳng đó nhưng cắt nhau tại điểm đó). Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P)\parallel (Q)$. Xét từng mệnh đề:
- A: Nếu $d\subset (P)$ và $d^{\prime }\subset (Q)$ thì $d$ và $d^{\prime }$ không thể cắt nhau (vì $(P)\cap (Q)=\varnothing$), nhưng chúng có thể chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng). Ví dụ trong hình hộp, hai cạnh nằm trên hai mặt đáy song song có thể chéo nhau. Vậy mệnh đề A sai.
- B: Đúng, theo tính chất: nếu đường thẳng đi qua điểm $A\in (P)$ và song song với $(Q)$ thì nó nằm trong $(P)$ (vì nếu nó cắt $(P)$ tại $A$ và song song $(Q)$ thì nó phải cắt $(Q)$, mâu thuẫn).
- C: Đúng, vì $a\subset (Q)$ và $(Q)\cap (P)=\varnothing$ nên $a$ không có điểm chung với $(P)$, tức $a\parallel (P)$.
- D: Mệnh đề in trên tài liệu là “$\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(P)$” — rõ ràng là lỗi in, ý đúng là “$\Delta$ cắt $(P)$ thì $\Delta$ cũng cắt $(Q)$”. Với ý này, mệnh đề đúng theo tính chất hai mặt phẳng song song: đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại. Do đó D không phải mệnh đề sai (theo ý nghĩa dự kiến).
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định:
- A đúng: $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành), $M$ là trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SC$.
- C đúng: $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $MN\parallel BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$, suy ra $MN\parallel (SBC)$.
- B đúng: Trong mặt phẳng $(OMN)$ có $MN\parallel BC$ và $OM\parallel SC$, với $MN$ và $OM$ cắt nhau tại $M$, còn $BC$ và $SC$ nằm trong $(SBC)$ và cắt nhau tại $C$. Theo định lý về hai mặt phẳng song song, $(OMN)\parallel (SBC)$.
- D sai: $ON$ chỉ gặp mặt phẳng đáy $(ABCD)$ tại điểm $O$, mà $O$ không thuộc đường thẳng $CB$ (vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$). Mặt khác $ON$ không song song với $CB$ (chiếu lên đáy, hình chiếu của $ON$ là $OD$ không song song $CB$). Vậy $ON$ và $CB$ chéo nhau, không cắt nhau.

Khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu:
- A (SAI): Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng cùng song song với $(Q)$ thì chưa chắc $(P)\parallel (Q)$, vì hai đường thẳng đó có thể song song với nhau (khi đó chúng không đủ để làm cơ sở suy ra $(P)\parallel (Q)$ theo định lý về hai mặt phẳng song song). Định lý yêu cầu hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng kia. Ví dụ: $(P)$ chứa hai đường thẳng song song với nhau và cùng song song với $(Q)$, nhưng $(P)$ có thể cắt $(Q)$.
- B (ĐÚNG): Nếu $(P)\parallel (Q)$ thì mọi đường thẳng $d\subset (P)$ không có điểm chung với $(Q)$, nên $d\parallel (Q)$.
- C (ĐÚNG): Nếu $(P)\parallel (Q)$ và $(R)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $a$ thì $(R)$ cũng cắt $(Q)$ theo giao tuyến $b$, và $a\parallel b$ (do $a\subset (P)$, $b\subset (Q)$, $a,b\subset (R)$ và $a,b$ không cắt nhau).
- D (ĐÚNG): Nếu đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại điểm $M$ và $(P)\parallel (Q)$ thì $M\notin (Q)$, tức $d$ không song song và không nằm trong $(Q)$, nên $d$ cắt $(Q)$.
Vậy câu sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $A{A}^{\prime }C$: $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel A^{\prime }C$. Mà $A^{\prime }C\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ và $MN\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$, do đó $MN\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

Trong tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AC$, $Q$ là trung điểm $BC$ nên $MQ$ là đường trung bình, suy ra $MQ\parallel AB$. Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ nên $AB\parallel A^{\prime }B$, do đó $MQ\parallel A^{\prime }B$. Mà $A^{\prime }B\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ và $MQ\not\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$, do đó $MQ\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

Hai đường thẳng $MN$ và $MQ$ cắt nhau tại $M$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(MNQ)$, đồng thời $M\notin (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$. Theo định lý về điều kiện song song của hai mặt phẳng (hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng lần lượt song song với mặt phẳng kia), ta có:
$$(MNQ)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }C).$$

Điều phải chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $I$ là trọng tâm nên $I$ nằm trên trung tuyến từ $A$, tức $AI=\frac{2}{3}AM$ với $M$ là trung điểm $BC$. Tương tự trong tam giác $ABD$, $J$ nằm trên trung tuyến từ $A$ với $AJ=\frac{2}{3}AN$, $N$ là trung điểm $AD$. Trong tam giác $ACD$: $\frac{AI}{AM}=\frac{AJ}{AN}=\frac{2}{3}$, do đó theo định lý Thales $IJ\parallel CD$ (và $IJ=\frac{2}{3}CD$). Vì $CD$ không đi qua $I$ hay $J$ nên $IJ$ song song với $CD$. Vậy đáp án A. Lưu ý $IJ$ không song song với $AB$ (vì $AB$ cắt $CD$... thực ra $AB$ và $CD$ chéo nhau trong tứ diện), $IJ$ không chéo nhau với $CD$ và không cắt $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải thích: Mặt nước là mặt phẳng nằm ngang, đáy bể cũng là mặt phẳng nằm ngang (phương thẳng đứng không đổi), do đó mặt nước song song với mặt đáy. Xét mặt phẳng $(\alpha )$ là mặt bên của bể chứa cả đường mép nước $AB$ và cạnh $CD$. Hai mặt phẳng song song cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song, nên $AB\parallel CD$. Chi tiết: Gọi $(P)$ là mặt nước và $(Q)$ là mặt đáy bể. Vì cả mặt nước lẫn mặt đáy đều là các mặt phẳng nằm ngang nên $(P)\parallel (Q)$. Đường mép nước $AB$ là giao tuyến của $(P)$ với mặt bên $(\alpha )$ của bể: $AB=(P)\cap (\alpha )$. Cạnh $CD$ là giao tuyến của $(Q)$ với $(\alpha )$: $CD=(Q)\cap (\alpha )$. Theo tính chất: nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song, ta có $AB\parallel CD$. Vậy đường mép nước $AB$ song song với cạnh $CD$ của bể nước.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định của Câu 5:
- A đúng: Theo tính chất hai mặt phẳng song song, nếu $(P)\parallel (Q)$ và chúng cùng cắt mặt phẳng thứ ba $(R)$ theo hai giao tuyến $a$, $b$ thì $a\parallel b$.
- B đúng: Đây là tính chất của ba mặt phẳng đôi một song song: chúng chặn trên hai đường thẳng chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ (định lý về ba mặt phẳng song song).
- C đúng: Nếu $(P)\parallel (Q)$ thì $(P)\cap (Q)=\varnothing$, nên mọi đường thẳng $a\subset (P)$ đều không có điểm chung với $(Q)$, tức $a\parallel (Q)$.
- D sai: Điều kiện đúng phải là $(P)$ chứa **hai đường thẳng cắt nhau** cùng song song với $(Q)$. Nếu hai đường thẳng trong $(P)$ chỉ phân biệt (có thể song song với nhau) và cùng song song với $(Q)$ thì $(P)$ vẫn có thể cắt $(Q)$. Ví dụ: cho $(P)$ cắt $(Q)$ theo giao tuyến $c$; lấy trong $(P)$ hai đường thẳng phân biệt $a\parallel b$ cùng song song với $c$, khi đó $a\parallel (Q)$, $b\parallel (Q)$ nhưng $(P)$ không song song với $(Q)$.
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A đúng: hai đáy của hình hộp song song.
- B đúng: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (vì $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ do cùng song song với $AD$), nên $(A{A}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (BC{C}^{\prime })$.
- C sai: $AC$ và $BD$ là hai đường chéo của mặt đáy $ABCD$ nên cắt nhau tại tâm $O$ của hình bình hành $ABCD$. Khi đó mặt phẳng $(AC{C}^{\prime })$ chứa $AC$ cắt mặt phẳng $(BD{D}^{\prime })$ chứa $BD$ tại điểm $O$, hai mặt phẳng này không song song.
- D đúng: $AB\parallel CD$ và $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, nên $(AB{B}^{\prime })\parallel (CD{C}^{\prime })$.
Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$; tương tự $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$. Xét các phương án:
- A sai: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ mà $AC$ không song song với $BD$ (chúng cắt nhau tại tâm $O$ của hình bình hành).
- B sai: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, mà $AB$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ (vì $AB\parallel CD$, $CD$ cắt $(SAD)$ tại $D$), nên $A^{\prime }{B}^{\prime }$ không song song $(SAD)$.
- C sai: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, mà $AC$ cắt $BD$ tại $O\subset (SBD)$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }$ cắt mặt phẳng $(SBD)$, không song song.
- D đúng: Trong mặt phẳng $(SAC)$: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\subset (ABC)$; trong mặt phẳng $(SAD)$: $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD\subset (ABC)$. Mà $A^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A^{\prime }$ và không nằm trong $(ABC)$, nên theo định lí về hai mặt phẳng song song: $(A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN//AC$. Trong tam giác $SBC$: $N$ là trung điểm $BC$, $K$ là trung điểm $SB$ nên $NK$ là đường trung bình, suy ra $NK//SC$. Vì $MN//AC\subset (SAC)$, $NK//SC\subset (SAC)$, $MN$ và $NK$ cắt nhau tại $N$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(MNK)$, theo định lí về điều kiện để hai mặt phẳng song song ta có $(MNK)//(SAC)$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét của Thủy đúng. Bánh ga-tô hình hộp nên mặt trên và mặt dưới là hai mặt phẳng song song. Vết cắt là một mặt phẳng (P) cắt hình hộp. Gọi (α) là mặt trên, (β) là mặt dưới của bánh, thì (α) ∥ (β). Mặt phẳng (P) cắt (α) theo một đường thẳng a và cắt (β) theo một đường thẳng b. Theo tính chất của hai mặt phẳng song song: nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau, suy ra a ∥ b. Vậy hai vết cắt ở mặt trên và mặt dưới của bánh là hai đường thẳng song song, nhận xét của Thủy đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$. Xét hai mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$: ta có $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ (cùng nằm trong mặt phẳng $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$) và $AB\parallel DC$ (giả thiết $ABCD$ là hình thang). Do đó $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$. Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ cắt hai mặt phẳng song song này theo hai giao tuyến $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $D^{\prime }{C}^{\prime }$, suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$. Hơn nữa, vì $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $D^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt bằng và song song với $AB$ và $DC$ (do $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là các hình bình hành), mà $AB\ne DC$ (hai đáy của hình thang $ABCD$), nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\ne D^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy tứ giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }\ne D^{\prime }{C}^{\prime }$, tức là $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình thang. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Hai khung sắt hình chữ nhật cùng xoay quanh một trục chung nằm ngang (song song với mặt đất). Trong mỗi khung hình chữ nhật, cạnh phía trên (cạnh đỡ mặt bàn) song song với cạnh đối diện là cạnh nằm dọc theo trục xoay, nên cạnh đỡ đó luôn song song với trục xoay, tức luôn song song với mặt đất. Vậy hai cạnh đỡ của hai khung (nơi mặt bàn đặt lên) là hai đường thẳng song song với nhau và cùng song song với mặt đất. Hai đường thẳng song song đó xác định một mặt phẳng, và mặt phẳng này chứa hai đường thẳng đều song song với mặt đất nên song song với mặt đất (hai mặt phẳng có hai đường thẳng cắt nhau tương ứng song song thì song song). Mặt bàn nằm trọn trên mặt phẳng đó, do đó mặt bàn luôn song song với mặt đất, bất kể hai khung xoay đến vị trí nào.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt bàn nằm ngang nên song song với mặt đất. Mặt bìa cũng song song với mặt đất. Theo định lí: nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau (hoặc trùng nhau). Vì tấm bìa được đặt lên một góc của mặt bàn, tức là nằm phía trên mặt bàn và không nằm trong mặt bàn, nên hai mặt phẳng phân biệt. Do đó mặt bìa song song với mặt bàn và không trùng với mặt bàn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A đúng vì hai mặt đáy song song; B đúng vì hai mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ song song; C đúng vì $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ nên $(BD{A}^{\prime })\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$; D sai vì mặt $(AB{A}^{\prime })$ chính là mặt $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa điểm $B^{\prime }$, mà $B^{\prime }\in (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$, nên hai mặt phẳng này cắt nhau tại $B^{\prime }$ (chứ không song song). Vậy mệnh đề sai là D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A đúng: $B{A}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$ (vì $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{D}^{\prime }}$... thực chất $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ do $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$) và $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$, nên $(BD{A}^{\prime })\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$.
- B đúng: $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là hai mặt bên song song của hình hộp.
- D đúng: $(ABCD)\parallel (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ là hai mặt đáy song song.
- C sai: mặt $(AB{A}^{\prime })$ chứa điểm $B$, còn mặt $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ chứa $B^{\prime }$ với $B{B}^{\prime }$ là đường thẳng không song song với mặt này; hai mặt phẳng này cắt nhau (chúng cùng chứa các điểm có thể nối bởi đường thẳng nằm trong cả hai mặt, ví dụ giao tuyến qua $B$), nên chúng không song song.
Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn.