Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A sai vì hai mặt phẳng cùng cắt $(R)$ có thể cắt nhau (ví dụ ba mặt phẳng đôi một cắt nhau). B sai vì $(P)$ chỉ cần chứa một đường thẳng song song với $(Q)$ thì $(P)$ và $(Q)$ vẫn có thể cắt nhau. C sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau hoặc song song với giao tuyến nếu $(P)$ cắt $(Q)$. D đúng: nếu $(P)$ và $(Q)$ cùng song song với $(R)$ thì chúng không thể cắt nhau (nếu cắt nhau tại một đường thẳng $d$ thì trong $(R)$ sẽ tồn tại đường thẳng song song với $d$, mâu thuẫn với tính chất hai mặt phẳng song song), nên $(P)\parallel (Q)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $I$ thuộc trung tuyến $CM$ với $\frac{MI}{MC}=\frac{1}{3}$. Tương tự, $J$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $J$ thuộc trung tuyến $DM$ với $\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$. Xét tam giác $MCD$: hai điểm $I\in MC$, $J\in MD$ thỏa mãn $\frac{MI}{MC}=\frac{MJ}{MD}=\frac{1}{3}$, theo định lý Thales (đảo) ta có $IJ\parallel CD$. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án đề (mã 112, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba mặt phẳng là $(P)$, $(Q)$, $(R)$ với $d_1=(P)\cap (Q)$, $d_2=(P)\cap (R)$, $d_3=(Q)\cap (R)$. Vì $d_1$ và $d_2$ cùng nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $d_1\parallel d_2$, nên $d_1$ không cắt $(R)$ tại điểm nào (nếu $d_1$ cắt $(R)$ tại $M$ thì $M\in d_1\cap d_2$, mâu thuẫn với $d_1\parallel d_2$). Mà $d_1\subset (Q)$ và $(Q)\cap (R)=d_3$, suy ra $d_1\parallel d_3$ (định lý: nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng). Vậy $d_1\parallel d_3$, khẳng định đúng là B. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ là trung điểm của $SA$, $SD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $MN\parallel AD$. Mà $AD\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$. Mặt phẳng $(OMN)$ chứa $MN$ và cắt $(ABC)$ theo giao tuyến $d$ đi qua điểm $O$ (vì $O\in (OMN)\cap (ABC)$). Theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, $d\parallel MN$, do đó $d\parallel AD$. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\alpha )//(\beta )$ nên mọi đường thẳng $a\subset (\alpha )$ đều song song với $(\beta )$ (D đúng) và $b\subset (\beta )$ song song với $(\alpha )$ (C đúng). Tuy nhiên $a$ và $b$ có thể chéo nhau, nên khẳng định $a//b$ (B) không luôn đúng, do đó B sai. A đúng vì nếu tồn tại mp $(\gamma )$ chứa cả $a$ và $b$ thì $a,b$ đồng phẳng và không cắt nhau (nếu cắt nhau thì giao điểm thuộc cả hai mp song song, vô lý), nên $a//b$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN\parallel SD$. Vì $SD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ nên $MN\parallel (SCD)$. Trong tam giác $ABD$, $N$ là trung điểm $AD$, $O$ là trung điểm $BD$ (tâm hình bình hành) nên $NO\parallel AB$. Mà $AB\parallel DC$ (hình bình hành) và $DC\subset (SCD)$, $NO\not\subset (SCD)$ nên $NO\parallel (SCD)$. Hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $NO$ cùng song song với mặt phẳng $(SCD)$, do đó $(MNO)\parallel (SCD)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN\parallel SD$. Trong tam giác $ACD$: $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$, mà $N$ là trung điểm $AD$ nên $NO\parallel DC$. Vì $MN\parallel SD\subset (SCD)$, $NO\parallel DC\subset (SCD)$, $MN$ cắt $NO$ tại $N$, và $M,N,O$ không thuộc $(SCD)$, nên $(MNO)\parallel (SCD)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$, suy ra $B{A}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$. Tương tự, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, suy ra $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$. Hai đường thẳng cắt nhau $B{A}^{\prime }$, $B{C}^{\prime }$ thuộc mặt phẳng $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $D{C}^{\prime }$, $A{D}^{\prime }$ thuộc mặt phẳng $(A{D}^{\prime }C)$, do đó $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (A{D}^{\prime }C)$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, tứ giác $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành nên $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$, suy ra $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (AC{D}^{\prime })$. Ta có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, do đó $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$, tức $B{C}^{\prime }\parallel (AC{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng cắt nhau $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ cùng nằm trong mặt phẳng $(A^{\prime }{C}^{\prime }B)$ và cùng song song với $(AC{D}^{\prime })$, nên $(A^{\prime }{C}^{\prime }B)\parallel (AC{D}^{\prime })$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 4567, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}-\overrightarrow{BC}$... xét theo vectơ: $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}-\overrightarrow{DC}$; vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$, suy ra $B{A}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$. Tương tự, $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, suy ra $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$. Hai đường thẳng cắt nhau $B{A}^{\prime },B{C}^{\prime }$ (cùng nằm trong $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$) lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $D{C}^{\prime },A{D}^{\prime }$ (cùng nằm trong $(A{D}^{\prime }C)$), do đó $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (A{D}^{\prime }C)$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$ (vì $AB{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là các hình bình hành), suy ra $B{A}^{\prime }\parallel C{D}^{\prime }$. Tương tự $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, suy ra $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$. Như vậy trong mặt phẳng $(A^{\prime }{C}^{\prime }B)$ có hai đường thẳng $B{A}^{\prime }\parallel C{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$, mà hai mặt phẳng này không trùng nhau (chúng chứa các điểm khác nhau). Theo định lý về điều kiện song song của hai mặt phẳng, $(A^{\prime }{C}^{\prime }B)\parallel (AC{D}^{\prime })$. Các phương án khác đều cắt $(AC{D}^{\prime })$: $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ chứa $A^{\prime }$ nhưng $A^{\prime }\notin (AC{D}^{\prime })$ và các mặt này có giao tuyến; tương tự $(B^{\prime }{C}^{\prime }B)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }B)$ đều cắt $(AC{D}^{\prime })$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0123, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(\alpha )\parallel (\beta )$ và $d\parallel (\alpha )$ nên $d$ hoặc song song với $(\beta )$, hoặc nằm trong $(\beta )$ (khi $d$ nằm trong $(\beta )$ thì do $(\beta )\parallel (\alpha )$ nên $d$ vẫn song song với $(\alpha )$). Vậy có 2 vị trí tương đối của $d$ và $(\beta )$: song song hoặc $d\subset (\beta )$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: Tứ giác $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$ (tức $C^{\prime }D$), mà $C^{\prime }D\subset (C^{\prime }BD)$. Tứ giác $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành nên $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$, mà $BD\subset (C^{\prime }BD)$. Hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $B^{\prime }$, cùng thuộc mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và cùng song song với $(C^{\prime }BD)$. Vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (C^{\prime }BD)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$, suy ra $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$. Tương tự, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$, suy ra $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$. Hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ và nằm trong mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; hai đường thẳng $D{C}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $C^{\prime }$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(C^{\prime }BD)$. Theo dấu hiệu hai mặt phẳng song song (hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia), ta được $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (C^{\prime }BD)$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia, nên khẳng định A đúng. B sai vì hai đường thẳng có thể chéo nhau; C sai vì $a$, $b$ có thể chéo nhau hoặc cắt nhau; D sai vì hai mặt phẳng có thể cắt nhau theo giao tuyến song song với $a$, $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba mặt phẳng (ABCD), (IJKL), (EFGH) song song với nhau. Các đoạn thẳng nối hai mặt phẳng song song và nằm trên hai đường thẳng cắt nhau (AE và CG cùng nằm trong mặt phẳng (ACGE)) bị chia theo cùng một tỉ số bởi mặt phẳng song song thứ ba. Do đó EI/EA = GK/GC = 42/100, suy ra GK = 130 · 42/100 = 54,6 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì các mặt kệ song song với mặt đất, các đoạn thẳng nối hai thanh gỗ dọc tại các vị trí $A,B,C,D$ và $E,F,G,H$ bị cắt bởi hai đường thẳng $d_1,d_2$. Theo định lí Thales, vì $A,B,C,D$ cách đều nhau ($AB=BC=CD$) nên $E,F,G,H$ cũng cách đều nhau: $EF=FG=GH=35$ cm. Do đó $HE=EF+FG+GH=3\cdot 35=105$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\subset (\alpha )$ và $(\alpha )//(\beta )$ nên $a$ không nằm trong $(\beta )$, do đó $a//(\beta )$. Tương tự $b\subset (\beta )$ và $(\beta )//(\alpha )$ nên $b//(\alpha )$. Vậy mệnh đề B đúng. Các mệnh đề A, C sai vì hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau hoặc song song; D không phải kết luận tất yếu.