Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $a,b>0$, theo tính chất logarit của một tích và lũy thừa: $\log (a^3{b}^2)=\log a^3+\log b^2=3\log a+2\log b$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (đề 1120, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_3(9-2x)$. a) Điều kiện xác định: $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên tập xác định là $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$, khẳng định Sai. b) $f(0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$, khẳng định Đúng. c) Hàm số chỉ xác định trên $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$ nên không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$; hơn nữa $f$ nghịch biến trên tập xác định của nó vì $9-2x$ nghịch biến và ${\log }_{3}t$ đồng biến, khẳng định Sai. d) Trên đoạn $[-9;3]$ (nằm trong tập xác định), $9-2x$ giảm từ $27$ đến $3$, do đó $f(x)$ giảm từ ${\log }_{3}27=3$ đến ${\log }_{3}3=1$, tập giá trị là $[1;3]$, khẳng định Đúng. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1120: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cần $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ xác định trên $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$ và nghịch biến trên tập xác định đó, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-9;3]$, $9-2x$ giảm từ $27$ đến $3$ nên $f(x)$ giảm từ $3$ đến $1$; tập giá trị là $[1;3]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A và C là hàm số logarit nên chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B: $y=e^x$ có cơ số $e>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. D: $y={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $0<\frac{4}{5}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1120, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Các hàm $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}$, $y=2025^x$, $y=2^{-x}$ đều có biến $x$ ở số mũ nên là hàm số mũ. Riêng $y=x^{-2}$ có biến $x$ ở cơ số (đây là hàm số lũy thừa), không phải hàm số mũ. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 1120, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_3(9-2x)$. a) Hàm số xác định khi $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên tập xác định $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$ → Sai. b) $f(0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$ → Đúng. c) Hàm số $y={\log }_{3}u$ đồng biến, $u=9-2x$ nghịch biến, nên $f(x)$ nghịch biến trên tập xác định (không đồng biến trên $\mathbb{R}$) → Sai. d) Trên đoạn $[-9;3]$, do hàm nghịch biến: $f(-9)={\log }_{3}27=3$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, nên tập giá trị là $[1;3]$ → Đúng. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng, khớp đáp án mã đề 1110 (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $9-2x>0\iff x<\frac{9}{2}$, nên $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)={\log }_3(9-0)={\log }_{3}9=2$, nên đồ thị đi qua $M(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}u$ đồng biến còn $u=9-2x$ nghịch biến, nên $f(x)$ nghịch biến trên tập xác định của nó, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-9;3]$: $f(-9)={\log }_{3}27=3$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, nên tập giá trị là $[1;3]$.

a) $P=494{\log }_{a^3}b+{\log }_a\left(a{b}^2\right)=494.\frac{1}{3}{\log }_{a}b+{\log }_{a}a+2{\log }_{a}b$ (0,25 điểm)
$=494.\frac{1}{3}.3+1+2.3=501.$ (0,25 điểm)

b) $A=\frac{\sqrt[3]{a^5}.a^{\frac{7}{3}}}{\sqrt[7]{a^{-2}}}=\frac{a^{\frac{5}{3}}.a^{\frac{7}{3}}}{a^{\frac{-2}{7}}}$ (0,25 điểm)
$\frac{a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}}}{a^{\frac{-2}{7}}}=\frac{a^4}{a^{\frac{-2}{7}}}=a^{4+\frac{2}{7}}=a^{\frac{30}{7}}.$
Vậy $m+n=30+7=37.$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên toàn tập xác định cần cơ số nhỏ hơn 1. Xét từng phương án: A) $y={\log }_{\frac{1}{4}}x$ có $0<\frac{1}{4}<1$ nên nghịch biến, nhưng tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. B) $y=e^x$ có cơ số $e>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y={\log }_{0,3}x$ nghịch biến nhưng chỉ trên $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. D) $y={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $0<\frac{4}{5}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1110, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a,b>0$, áp dụng tính chất logarit: $\log (a^3{b}^2)=\log a^3+\log b^2=3\log a+2\log b$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (đề 1110, Câu 7 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$ và biến số $x$ ở số mũ. Xét từng hàm: $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x}={\left(\frac{4}{9}\right)}^x$ là hàm số mũ; $y=2025^x$ là hàm số mũ; $y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ là hàm số mũ; còn $y=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$ có biến số $x$ ở cơ số, không phải hàm số mũ (đây là hàm số lũy thừa). Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (đề 1110, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{a}1=0$ vì $a^0=1$ với mọi $a>0,a\ne 1$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)={\log }_5(x-10)$.
a) Tại $x=1$ thì $x-10=-9<0$ nên $f(1)$ không xác định, do đó đồ thị không đi qua $A(1;15)$ → Sai.
b) $f(x)=-1\iff {\log }_5(x-10)=-1\iff x-10=\frac{1}{5}\iff x=\frac{51}{5}$, phương trình có nghiệm nên khẳng định 'vô nghiệm' là Sai.
c) Hàm số xác định khi $x-10>0$, tức $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$ → Sai.
d) ${\log }_{25}a=2f(x)=2{\log }_5(x-10)={\log }_5\left((x-10{)}^2\right)$, suy ra $a=25^{{\log }_5\left((x-10{)}^2\right)}={\left((x-10{)}^2\right)}^{{\log }_{5}25}={\left((x-10{)}^2\right)}^2=(x-10{)}^4$ → Đúng.
Kết quả S, S, S, Đ khớp đáp án mã đề 1102 (SSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ thì $x-10=-9<0$, $f(1)$ không xác định nên đồ thị không đi qua $A(1;15)$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_5(x-10)=-1\iff x=\frac{51}{5}$, phương trình có nghiệm nên khẳng định vô nghiệm là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-10>0$ nên $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$ → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{25}a=2{\log }_5(x-10)={\log }_5\left((x-10{)}^2\right)\Rightarrow a=25^{{\log }_5\left((x-10{)}^2\right)}={\left((x-10{)}^2\right)}^2=(x-10{)}^4$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2^x$ có cơ số $a=2>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y={\log }_{2}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có cơ số $0<a<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét từng phương án: A. $y=\frac{1}{x^{2025}}=x^{-2025}$ là hàm số lũy thừa (biến số ở cơ số), không phải hàm số mũ. B. $y=2^x$ có dạng $a^x$ với $a=2>0$, $a\ne 1$, đây là hàm số mũ. C. $y=\log x$ là hàm số logarit, không phải hàm số mũ. D. $y=x^3$ là hàm số lũy thừa (đa thức), không phải hàm số mũ. Vậy hàm số mũ là $y=2^x$, chọn B. Kết quả này trùng khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số logarit: ${\log }_{a}M=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a}$ với $a,b>0$, $a,b\ne 1$, $M>0$. Do đó khẳng định A đúng. B sai vì vế phải chính là ${\log }_{a}M$ chia cho ${\log }_{a}b$ (không bằng ${\log }_{a}M$ trừ khi ${\log }_{a}b=1$, tức $b=a$); C và D sai vì đổi cơ số là phép chia chứ không phải phép trừ hay phép nhân. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì hàm số $y={\log }_{5}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên từ ${\log }_{5}b\ge {\log }_{5}c$ suy ra $b\ge c$. Khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_5(x-10)$. a) Điều kiện xác định: $x-10>0\iff x>10$, nên $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$ → Sai. b) ${\log }_{25}a=2f(x)=2{\log }_5(x-10)={\log }_5(x-10{)}^2$, suy ra $a=25^{{\log }_5(x-10{)}^2}=5^{2{\log }_5(x-10{)}^2}=(x-10{)}^4$ → Đúng. c) Tại $x=1$ hàm không xác định (vì $1\notin (10;+\infty )$), nên đồ thị không đi qua $A(1;15)$ → Sai. d) $f(x)=-1\iff x-10=5^{-1}=\frac{1}{5}\iff x=\frac{51}{5}=10,2\in (10;+\infty )$, phương trình có nghiệm → khẳng định 'vô nghiệm' là Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1101: SĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm ${\log }_5(x-10)$ xác định khi $x-10>0\iff x>10$, nên $D=(10;+\infty )$, không phải $[10;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{25}a=2{\log }_5(x-10)={\log }_5(x-10{)}^2\Rightarrow a=25^{{\log }_5(x-10{)}^2}=5^{2{\log }_5(x-10{)}^2}=(x-10{)}^4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=1$ không thuộc tập xác định $(10;+\infty )$ nên đồ thị không đi qua $A(1;15)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-1\iff x-10=5^{-1}=\frac{1}{5}\iff x=10,2$, phương trình có nghiệm nên khẳng định vô nghiệm là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số logarit: ${\log }_{a}M=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a}$ với $a,b>0$, $a,b\ne 1$, $M>0$. Thật vậy, đặt $x={\log }_{a}M$ thì $a^x=M$, lấy logarit cơ số $b$ hai vế: $x{\log }_{b}a={\log }_{b}M$, suy ra $x=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a}$. Các khẳng định A, C, D đều sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì hàm số $y={\log }_{5}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên từ ${\log }_{5}b\ge {\log }_{5}c$ suy ra $b\ge c$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y=2^x$ có cơ số $a=2>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có cơ số $0<a<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{a}1=0$ vì $a^0=1$ với mọi $a>0,a\ne 1$. Do đó khẳng định đúng là A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1101: A).