Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: hàm số $f(x)={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. b) Sai: hàm $g(x)={\log }_4(x^2-12)$ xác định khi $x^2-12>0\iff x>2\sqrt{3}$ (kết hợp $x>0$), vậy tập xác định là $(2\sqrt{3};+\infty )$, không phải $(4;+\infty )$. c) Sai: $f(x)=g(x)\iff {\log }_{4}x={\log }_4(x^2-12)\iff x=x^2-12\iff x^2-x-12=0\iff x=4$ hoặc $x=-3$. Do điều kiện $x>2\sqrt{3}$ nên chỉ nhận $x=4$: phương trình có đúng 1 nghiệm, không phải 2 nghiệm phân biệt. d) Đúng: $f(x)=2\iff {\log }_{4}x=2\iff x=4^2=16$, nghiệm duy nhất $x=16$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3a Đ, 3b S, 3c S, 3d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $4>1$ nên $f(x)={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x^2-12>0$ và $x>0$ cho tập xác định $(2\sqrt{3};+\infty )$, không phải $(4;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=x^2-12\iff x=4$ hoặc $x=-3$; chỉ $x=4$ thỏa mãn $x>2\sqrt{3}$, nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=2\iff x=16$, đúng một nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_8(2x+5)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương: $2x+5>0\iff x>-\frac{5}{2}$. Vậy tập xác định là $D=\left(-\frac{5}{2};+\infty \right)$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_{2}a=x$ nên ${\log }_2(a^2)=2x$; vì ${\log }_{2}b=y$ nên ${\log }_2(b^3)=3y$. Do đó $P={\log }_2(a^2{b}^3)={\log }_2(a^2)+{\log }_2(b^3)=2x+3y$. Khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0,a\ne 1,b>0$, đẳng thức $a^x=b$ tương đương với $x={\log }_{a}b$. Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1014, câu 11: D).

Đáp án mã đề 1014: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Ta thấy đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ qua điểm $\left(2;\frac{1}{2}\right)$ nên ${\log }_{a}2=\frac{1}{2}\iff a^{\frac{1}{2}}=2\iff a=4$.

Đáp án mã đề 1013: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Ta thấy đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ qua điểm $\left(2;\frac{1}{2}\right)$ nên ${\log }_{a}2=\frac{1}{2}\iff a^{\frac{1}{2}}=2\iff a=4$.

Theo công thức $f(x)=C\cdot e^{kx}$:
- Lúc đầu $(x=0)$: $f(0)=C\cdot e^0=C=300$.
- Sau 1 giờ $(x=1)$: $f(1)=300\cdot e^k=705⟹e^k=\frac{705}{300}=2,35$.
Số vi khuẩn sau 5 giờ $(x=5)$ là:
$$f(5)=300\cdot e^{5k}=300\cdot (e^k{)}^5=300\cdot (2,35{)}^5\approx 21485,\mathrm{142...}$$
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được $21485,1$.
Đồng nhất với dạng $\overline{2ab85,1}$, ta suy ra $a=1$ và $b=4$.
Vậy $T=b-a=4-1=\boxed{3}$.

Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến khi $a>1$. Ta thấy $\sqrt{3}\approx 1,732>1$.
Chọn C

$P=1\cdot 5{\log }_{a}b=5{\log }_{a}b$.
Chọn B

Sử dụng công thức đổi cơ số: ${\log }_{2}a=\frac{1}{{\log }_{a}2}$.
Chọn C

Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:

- Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải, suy ra đây là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Loại đáp án A và C (do cơ số $\sqrt{3}>1$ và $3>1$).
- Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $(-1;3)$.
- Kiểm tra đáp án B: Với $x=-1\Rightarrow y=3^{-(-1)}=3^1=3$ (Thỏa mãn).
- Kiểm tra đáp án D: Với $x=-1\Rightarrow y={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}=\frac{3}{2}=1,5\ne 3$ (Loại).

Vậy đồ thị đã cho là của hàm số $y=3^{-x}$.

Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_2(16a)+{\log }_2\left(\frac{2}{a}\right)={\log }_2\left(16a\cdot \frac{2}{a}\right)={\log }_{2}32=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(b^2)=2{\log }_{a}b$, nên khẳng định A (${\log }_a(b^2)=\frac{1}{2}{\log }_{a}b$) là sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng: B và D là tính chất đổi cơ số (${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$), C là hệ quả ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$. Đáp án khớp với mã đề 246: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_5(3x^2-14x-5)$.
a) Điều kiện: $3x^2-14x-5>0$. Phương trình $3x^2-14x-5=0$ có nghiệm $x=\frac{14\pm \sqrt{196+60}}{6}=\frac{14\pm 16}{6}$, tức $x=-\frac{1}{3}$ hoặc $x=5$. Vì $a=3>0$ nên biểu thức dương khi $x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>5$. Vậy $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup (5;+\infty )$: ĐÚNG.
b) $f(-2)={\log }_5(12+28-5)={\log }_{5}35={\log }_5(5\cdot 7)=1+{\log }_{5}7$: ĐÚNG.
c) $f(x)=2\iff 3x^2-14x-5=25\iff 3x^2-14x-30=0$ (đều xác định vì hai nghiệm thuộc tập xác định). Theo Vi-ét: $x_1+x_2=\frac{14}{3}$: ĐÚNG.
d) $f(x)\le 2\iff 0<3x^2-14x-5\le 25$. Vế phải: $3x^2-14x-30\le 0$ với $x\in \left[\frac{14-\sqrt{556}}{6};\frac{14+\sqrt{556}}{6}\right]\approx [-1,597;6,263]$. Kết hợp điều kiện xác định $x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>5$ ta được tập nghiệm $\left(\frac{14-\sqrt{556}}{6};-\frac{1}{3}\right)\cup \left(5;\frac{14+\sqrt{556}}{6}\right]$. Các nghiệm nguyên: $x=-1$ và $x=6$ (lưu ý $x=5$ không thuộc tập xác định vì $3\cdot 25-70-5=0$ không dương). Nghiệm nguyên lớn nhất là $x=6$: ĐÚNG.
Khớp đáp án nguồn (đề 2, Phần II Câu 2: DDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$3x^2-14x-5>0$ với nghiệm $-\frac{1}{3}$ và $5$ nên $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup (5;+\infty )$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)={\log }_{5}35=1+{\log }_{5}7$: đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3x^2-14x-30=0$ nên theo Vi-ét $x_1+x_2=\frac{14}{3}$: đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm của $f(x)\le 2$ chứa các số nguyên $-1$ và $6$ ($x=5$ không thuộc tập xác định); nghiệm nguyên lớn nhất là $x=6$: đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(3-x)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương: $3-x>0\iff x<3$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;3)$. Kết quả này trùng với đáp án A và với bảng đáp án (Câu 9, mã đề 246: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_2(4x^2-15x-4)$.

a) Điều kiện xác định: $4x^2-15x-4>0$. Phương trình $4x^2-15x-4=0$ có nghiệm $x=4$ và $x=-\frac{1}{4}$, nên $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;+\infty )$. Mệnh đề Đúng.

b) $f(-2)={\log }_2(4\cdot 4+30-4)={\log }_{2}42={\log }_{2}2+{\log }_{2}21=1+{\log }_{2}21$. Mệnh đề Đúng.

c) $f(x)=2\iff 4x^2-15x-4=4\iff 4x^2-15x-8=0$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=\frac{15}{4}\ne \frac{15}{8}$. Mệnh đề Sai.

d) $f(x)\le 2\iff 0<4x^2-15x-4\le 4$, tức $4x^2-15x-8\le 0$ kết hợp điều kiện xác định. Nghiệm của $4x^2-15x-8\le 0$ là $x\in \left[\frac{15-\sqrt{353}}{8};\frac{15+\sqrt{353}}{8}\right]\approx [-0,474;4,224]$. Kết hợp tập xác định được tập nghiệm $\left[-0,474;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;4,224]$, không chứa số nguyên nào. Do đó bất phương trình không có nghiệm nguyên, khẳng định nghiệm nguyên lớn nhất là $x=5$ là Sai. (Đáp án đúng-sai theo nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai — khớp với kết quả giải.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$4x^2-15x-4>0\iff x<-\frac{1}{4}$ hoặc $x>4$, nên $D=\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)={\log }_{2}42=1+{\log }_{2}21$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2\iff 4x^2-15x-8=0\Rightarrow x_1+x_2=\frac{15}{4}\ne \frac{15}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm của $f(x)\le 2$ là $\left[-0,474;-\frac{1}{4}\right)\cup (4;4,224]$, không chứa số nguyên nào nên không có nghiệm nguyên lớn nhất $x=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x-3)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương: $x-3>0\iff x>3$. Vậy tập xác định là $D=(3;+\infty )$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 123, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b>0$, $a\ne 1$, $b\ne 1$:
- A: ${\log }_a(b^2)=2{\log }_{a}b$ đúng theo tính chất lũy thừa của logarit.
- B: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, không phải $-{\log }_{b}a$. Ví dụ $a=2,b=4$: ${\log }_{2}4=2$ còn $-{\log }_{4}2=-\frac{1}{2}\ne 2$. Vậy B sai.
- C: ${\log }_{a^3}b=\frac{\ln b}{3\ln a}=\frac{1}{3}{\log }_{a}b$ đúng.
- D: ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$ đúng (tính chất hai logarit cơ số nghịch đảo).
Khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 123, câu 8: B).