Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định: $y=(0,5{)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Các hàm $y=\ln x$, $y=\log x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với mã đề 1102 (Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, điều kiện ${\log }_{a}y=b$ tương đương với $y=a^b$ (khi đó $y>0$). Các phương án B, C, D đều sai vì không đúng định nghĩa logarit. Vậy khẳng định đúng là $y=a^b$, trùng với đáp án A trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 1102, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi cơ số lớn hơn 1. Xét từng phương án: A. $y={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. B. $y=(0,5{)}^x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C. $y={\log }_{\sqrt{2}}x$ có cơ số $\sqrt{2}>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. D. $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{5}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy chỉ có hàm số ở phương án C đồng biến trên khoảng xác định của nó, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_3{x}^3$ xác định khi $x^3>0$, tức $x>0$. Trên tập xác định này, $f(x)={\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x$.
a) Với $x>0$, $f(x)=3{\log }_{3}x$ có $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x\ln 3}>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng xác định $(0;+\infty )$. Do đó khẳng định a) là SAI.
b) Với $x>0$: ${\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x$ theo tính chất logarit của lũy thừa. Khẳng định b) ĐÚNG.
c) ${\log }_3{x}^3=0\iff x^3=3^0=1\iff x=1$ (vì $x>0$). Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x=1$. Khẳng định c) ĐÚNG.
d) Vì hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $2025<2026$ nên $f(2025)<f(2026)$. Khẳng định d) ĐÚNG.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng — khớp với đáp án mã đề 1101 (SĐĐĐ) ở trang 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $x>0$, khi đó $f(x)=3{\log }_{3}x$ với $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x\ln 3}>0$, nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$, theo tính chất logarit: ${\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_3{x}^3=0\iff x^3=1\iff x=1$ (thỏa mãn $x>0$), nên $x=1$ là nghiệm (duy nhất).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên với $2025<2026$ ta có $f(2025)<f(2026)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (9-x^2)$ xác định khi $9-x^2>0\iff -3<x<3$. Vậy tập xác định là $(-3;3)$, tức $a=-3$, $b=3$, nên $a.b=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-9).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$ (với $a>0,a\ne 1,x>0$). Do đó khẳng định đúng là $x=a^b$, tương ứng phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một tích: với $a>0$, $a\ne 1$ và $M,N>0$ ta có ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$. Do đó khẳng định đúng là phương án D, trùng với đáp án trong hướng dẫn chấm (mã đề 1101, Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Trong các phương án: $y=3^x$ là hàm số mũ (A đúng); $y=x^3$ là hàm số lũy thừa; $y=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$ cũng là hàm số lũy thừa; $y={\log }_{3}x$ là hàm số lôgarit. Đáp án khớp với mã đề 1101 trong hướng dẫn chấm: Câu 8 = A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{3}-1<1$ nên hàm mũ cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến: $(\sqrt{3}-1{)}^{2018}<(\sqrt{3}-1{)}^{2017}$, do đó khẳng định A sai. Kiểm tra các khẳng định còn lại đều đúng: B đúng vì $\sqrt{2}+1\approx 2.414>\sqrt{3}\approx 1.732$ và cơ số $2>1$; C đúng vì $0<\sqrt{2}-1<1$ nên lũy thừa cao hơn nhỏ hơn; D đúng vì $0<1-\frac{\sqrt{2}}{2}<1$ nên $(1-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^{2019}<(1-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^{2018}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x+2)$ xác định khi và chỉ khi $x+2>0$, tức $x>-2$. Vậy tập xác định là $D=(-2;+\infty )$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b>0$, $a,b\ne 1$, $x,y>0$:
- A: ${\log }_a{x}^2=2{\log }_{a}x$ đúng vì $x>0$ nên công thức lũy thừa của logarit áp dụng được.
- C: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ đúng theo công thức logarit của một thương.
- D: $\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}={\log }_{a}x$ đúng theo công thức đổi cơ số.
- B: ${\log }_{a}x=\frac{1}{{\log }_{x}a}$ chỉ đúng khi $x\ne 1$ (vì ${\log }_{x}a$ yêu cầu cơ số $x\ne 1$). Đề bài chỉ cho $x>0$, nên khi $x=1$ thì ${\log }_{x}a$ không xác định, do đó khẳng định B sai.
Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ nằm bên phải trục tung (tập xác định $x>0$), đi qua điểm $(2;-1)$ và nghịch biến. Loại A, B vì hàm số mũ có tập xác định $\mathbb{R}$. Với $y={\log }_{2}x$ thì ${\log }_{2}2=1\ne -1$ và hàm đồng biến, loại C. Với $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$: ${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$, hàm nghịch biến vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khối lượng còn lại sau $t$ năm: $m(t)=15\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/25}$. Với $t=120$: $m(120)=15\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{120/25}=15\cdot 2^{-4,8}\approx \frac{15}{27,8581}\approx 0,5385\approx 0,54$ gam. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,54.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ đi qua điểm $(1;3)$ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên có dạng $y=a^x$ với $a>1$ và $a^1=3$, tức $y=3^x$. Loại A vì $2^1=2\ne 3$; loại B, C vì hàm số nghịch biến. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 132, Câu 4 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(10-2x)$ xác định khi $10-2x>0\iff x<5$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;5)$, tương ứng đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 132: D).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì ${\log }_{b}x={\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}x$ (công thức đổi cơ số). B đúng theo tính chất logarit của tích. C sai vì ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$, không phải thương hai logarit. D đúng vì ${\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x$. Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 132: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_3(9a)={\log }_{3}9+{\log }_{3}a=2+{\log }_{3}a$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã đề 102), đáp án nguồn: 3a S, 3b Đ, 3c S, 3d Đ — khớp với kết quả giải độc lập.
a) f(x)=g(x) ⇔ log₄x = log₄(x²−12) ⇔ x = x²−12 với điều kiện x>0 và x²−12>0 (tức x>2√3). Giải x²−x−12=0 được x=4 hoặc x=−3; chỉ x=4 thỏa điều kiện. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, mệnh đề 'có 2 nghiệm phân biệt' SAI.
b) f(x)=2 ⇔ log₄x=2 ⇔ x=4²=16, nghiệm duy nhất → ĐÚNG.
c) g(x)=log₄(x²−12) xác định ⇔ x²−12>0 ⇔ x<−2√3 hoặc x>2√3. Tập xác định là (−∞;−2√3)∪(2√3;+∞), không phải (4;+∞) → SAI.
d) f(x)=log₄x có cơ số 4>1 nên đồng biến trên (0;+∞) → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
log₄x=log₄(x²−12) ⇔ x=x²−12, x>2√3. Giải x²−x−12=0 được x=4 hoặc x=−3; chỉ x=4 thỏa điều kiện nên chỉ có 1 nghiệm, không phải 2 nghiệm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
log₄x=2 ⇔ x=4²=16, nghiệm duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
g(x) xác định khi x²−12>0 ⇔ x∈(−∞;−2√3)∪(2√3;+∞), không phải (4;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit cơ số 4>1 nên f(x)=log₄x đồng biến trên (0;+∞).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_8(2x+5)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương: $2x+5>0\iff x>-\frac{5}{2}$. Vậy tập xác định là $D=\left(-\frac{5}{2};+\infty \right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_{2}a=x$, ${\log }_{2}b=y$ nên $P={\log }_2(a^2{b}^3)={\log }_2{a}^2+{\log }_2{b}^3=2{\log }_{2}a+3{\log }_{2}b=2x+3y$. Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: B).