Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{0,7}x$ có cơ số $0<0,7<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Các hàm còn lại: $y=e^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$; $y={\log }_{9}x$ có cơ số $9>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y=(\sqrt{3}+1{)}^x$ có cơ số $\sqrt{3}+1>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên khoảng $(0;+\infty )$:
- $y={\log }_{9}x$: cơ số $9>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
- $y={\log }_{0,7}x$: cơ số $0<0,7<1$ nên hàm số nghịch biến.
- $y=(0,6{)}^x$: cơ số $0<0,6<1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- $y=(\sqrt{3}-1{)}^x$: $\sqrt{3}-1\approx 0,732\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến.
Vậy chỉ hàm $y={\log }_{9}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án của đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và $(1;3)$, đồng biến trên $\mathbb{R}$, có tiệm cận ngang $y=0$ khi $x\to -\infty$, nên là hàm số mũ $y=3^x={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}$. Kiểm tra: $y(0)=1$, $y(1)=3$ đúng theo đồ thị. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 8 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ (với $a,b,c>0$, $a\ne 1$). Các phương án A, B, C đều sai vì A là công thức đổi cơ số sai, B dùng dấu cộng thay cho dấu trừ, C là biểu thức không có nghĩa tương đương. Đáp án khớp với mã đề 1002, câu 1: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Các hàm $y={\log }_{3}x$, $y={\log }_{2}x$, $y=2^x$ đều đồng biến trên tập xác định. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y=f(x)=log_2(x-2). a) Sai: điều kiện xác định là x-2>0 nên D=(2;+∞), không phải [2;+∞). b) Sai: hàm số logarit cơ số 2>1 nên đồng biến trên (2;+∞). c) Đúng: f(6)=log_2(6-2)=log_2 4=2. d) Đúng: f(x)≤0 ⇔ log_2(x-2)≤0 ⇔ 0<x-2≤1 ⇔ 2<x≤3 (do cơ số 2>1, hàm đồng biến). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit xác định khi x-2>0, tức D=(2;+∞), không phải [2;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số 2>1 nên hàm số đồng biến trên (2;+∞), không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(6)=log_2(6-2)=log_2 4=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
log_2(x-2)≤0 ⇔ 0<x-2≤1 ⇔ 2<x≤3.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{9}2=\frac{1}{{\log }_{2}9}=\frac{1}{2{\log }_{2}3}=\frac{1}{2\alpha }$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó: hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét từng phương án: A. $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ có cơ số $0<a<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có cơ số $0<a<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. C. $y=2^x$ có cơ số $a=2>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $0<a<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là $y=2^x$, đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Đáp án 1001, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_3(x-1)$.
a) Tập xác định: $x-1>0⟺x>1$, nên $D=(1;+\infty )$, không phải $(3;+\infty )$ → Sai.
b) Cơ số $3>1$ nên hàm ${\log }_3(x-1)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ → Đúng.
c) $f(10)={\log }_3(10-1)={\log }_{3}9=2$ → Đúng.
d) $f(x)<0⟺{\log }_3(x-1)<0⟺0<x-1<1⟺1<x<2$, không phải $x<2$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=(1;+\infty )$ vì $x-1>0⟺x>1$, không phải $(3;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $3>1$ nên ${\log }_3(x-1)$ đồng biến trên tập xác định $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(10)={\log }_{3}9=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)<0⟺0<x-1<1⟺1<x<2$, không phải $x<2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a>0$, $a\ne 1$ nên theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_a{a}^2=2{\log }_{a}a=2$. Do đó $A=\frac{1}{2}\cdot 2=1$. Vậy $A=1$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm của một tích: với $a,b,c>0$, $a\ne 1$, ta có ${\log }_a(b\cdot c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Các phương án A, C, D đều sai vì logarit của tích không phải là tích, hiệu hay tổng các logarit với các cơ số khác nhau. Đáp án trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm số logarit đồng biến (tăng dần), nên cơ số lớn hơn 1, loại phương án B (cơ số 1/2, nghịch biến). Đồ thị đi qua điểm $(\frac{1}{2},-1)$: với $y={\log }_{2}x$ ta có ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$ (đúng). Kiểm tra các phương án khác: $y={\log }_{2}2x$ tại $x=\frac{1}{2}$ cho ${\log }_{2}1=0\ne -1$; $y={\log }_2{x}^2$ tại $x=\frac{1}{2}$ cho ${\log }_2\frac{1}{4}=-2\ne -1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\log }_{2}x$, đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_2\left(\frac{8}{a}\right)={\log }_{2}8-{\log }_{2}a=3-{\log }_{2}a$ (với $a>0$). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x-4)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương: $x-4>0\iff x>4$. Vậy tập xác định là $(4;+\infty )$, tương ứng với phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một tích: với $a>0,a\ne 1,b>0,c>0$ ta có ${\log }_a(b.c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Xét các phương án: $y=10^{-x}={\left(\frac{1}{10}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{10}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Các hàm $y={\pi }^x$, $y=e^x$, $y=10^x$ đều có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3$ xác định khi $x^3>0\iff x>0$, tập xác định $D=(0;+\infty )$.
a) Với $x>0$: ${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=3{\log }_{\frac{1}{3}}x\ne -3{\log }_{\frac{1}{3}}x$ → Sai.
b) $f^{\prime }(x)=\frac{3x^2}{x^3\ln \frac{1}{3}}=\frac{3}{x\ln \frac{1}{3}}<0$ với mọi $x>0$ (vì $\ln \frac{1}{3}<0$), nên hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$, tức nghịch biến trên từng khoảng xác định → Đúng.
c) Hàm nghịch biến, $2025<2026\Rightarrow f(2025)>f(2026)$ → Đúng.
d) ${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=0\iff x^3=1\iff x=1$; với $x=-1$ thì $x^3=-1<0$ nên logarit không xác định → Sai.
Kết quả a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai khớp đáp án mã đề 1102 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: ${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=3{\log }_{\frac{1}{3}}x\ne -3{\log }_{\frac{1}{3}}x$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=(0;+\infty )$; $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x\ln \frac{1}{3}}<0$ với mọi $x>0$ nên hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(0;+\infty )$, $2025<2026\Rightarrow f(2025)>f(2026)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\frac{1}{3}}{x}^3=0\iff x^3=1\iff x=1$; với $x=-1$ thì $x^3=-1<0$ nên logarit không xác định. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (16-x^2)$ xác định khi $16-x^2>0\iff -4<x<4$. Vậy tập xác định là $(-4;4)$, tức $a=-4$, $b=4$, nên $a.b=-16$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-16).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và $M,N>0$ ta có ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$. Do đó khẳng định đúng là D. Đáp án này cũng khớp với bảng đáp án của đề 1102 (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số logarit có dạng $y={\log }_{a}x$ với $a>0$, $a\ne 1$. Trong các phương án: $y=3^x$ là hàm số mũ, $y=\frac{1}{x^3}$ là hàm số lũy thừa (phân thức), $y=x^3$ là hàm đa thức, còn $y={\log }_{3}x$ là hàm số logarit cơ số 3. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (Câu 7: C).