Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ nằm ở số mũ. Xét các phương án: A. $y=x^{-8}$ là hàm số lũy thừa (biến $x$ ở cơ số). B. $y=8^x$ có dạng $a^x$ với $a=8>0$, $a\ne 1$ nên là hàm số mũ. C. $y={\log }_{8}x$ là hàm số logarit. D. $y=x^8$ là hàm số lũy thừa. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[5]{a}=a^{1/5}$, nên ${\log }_a\sqrt[5]{a}={\log }_a{a}^{1/5}=\frac{1}{5}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đặt $x={\log }_{a}b$. Ta có $\frac{1}{{\log }_{b}a}+\frac{1}{{\log }_{a}b}={\log }_{a}b+{\log }_{b}a=x+\frac{1}{x}=\sqrt{2026}$. Mặt khác $\frac{1}{{\log }_{ab}b}={\log }_b(ab)=1+\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{{\log }_{ab}a}={\log }_a(ab)=1+x$, nên hiệu hai giá trị này là $\frac{1}{x}-x$. Do đó ${\left|\frac{1}{x}-x\right|}^2={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-4=2026-4=2022$, suy ra biểu thức bằng $\sqrt{2022}$. Khẳng định Đúng.
b) ${\log }_{3}70=\frac{\log 70}{\log 3}=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$. Đúng.
c) ${\log }_a{b}^2\cdot {\log }_{\sqrt{b}}c\cdot {\log }_{c^2}{a}^3=2{\log }_{a}b\cdot 2{\log }_{b}c\cdot \frac{3}{2}{\log }_{c}a=6\ne \frac{1}{6}$. Sai.
d) $9^{3/2}=(3^2{)}^{3/2}=3^3=27$. Đúng.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1001: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{a}b$, ta có $x+1/x=\sqrt{2026}$ và biểu thức cần tính là $|1/x-x|=\sqrt{2026^2-4}$... chính xác là $\sqrt{2022}$ vì $(1/x-x{)}^2=(x+1/x{)}^2-4=2022$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}70=\frac{\log 7+\log 10}{\log 3}=\frac{n+1}{m}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích bằng $2\cdot 2\cdot \frac{3}{2}\cdot {\log }_{a}b{\log }_{b}c{\log }_{c}a=6\ne \frac{1}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$9^{3/2}=3^3=27$.

Từ giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}f(0)=300\\ f(1)=705\end{array}\iff \{\begin{array}{l}C\cdot e^0=300\\ C\cdot e^k=705\end{array}\iff \{\begin{array}{l}C=300\\ e^k=\frac{47}{20}\end{array}.$

Vậy $f(x)=300\cdot {\left(e^k\right)}^x=300\cdot {\left(\frac{47}{20}\right)}^x$.

Số vi khuẩn sau 5 giờ là $f(5)=300\cdot {\left(\frac{47}{20}\right)}^5\approx 21501$ con.

(Thang điểm: 0.5 | 0.3 | 0.2)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $D=(0;+\infty )$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ tăng ($a>1$), đi qua điểm $(1;3)$. Với $y=3^x$ thì $y(1)=3$, khớp với đồ thị. Các hàm $y=(1/3{)}^x$ và $y=(1/2{)}^x$ nghịch biến nên loại; $y=2^x$ cho $y(1)=2\ne 3$ nên loại. Đáp án khớp với key: B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với $0<a\ne 1$, $x>0$: A đúng vì $a^0=1$ nên ${\log }_{a}1=0$. B đúng theo định nghĩa logarit: ${\log }_a{a}^x=x$. D đúng vì $a^1=a$ nên ${\log }_{a}a=1$. C sai: nói chung $x^{{\log }_{a}x}\ne x$ (ví dụ $a=2,x=4$: $4^{{\log }_{2}4}=4^2=16\ne 4$). Đáp án khớp với mã đề 1001: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với mọi $a,b>0$ ta có $\log (ab)=\log a+\log b$. Các phương án A, B, C đều sai (A là công thức của $\log \frac{a}{b}$, B và C không phải tính chất logarit nào). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102 (câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\log }_{16}5=b$, ta có ${\log }_{2}5={\log }_{16}5/{\log }_{16}2=b/(1/4)=4b$ (vì ${\log }_{16}2=1/4$).
a) ${\log }_{3}5={\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}5=a\cdot 4b=4ab$ → Đúng.
b) ${\log }_{3}12={\log }_3(4\cdot 3)=2{\log }_{3}2+1=2a+1\ne 2+a$ → Sai.
c) ${\log }_{27}180=(1/3){\log }_{3}180=(1/3)(2{\log }_{3}2+2+{\log }_{3}5)=(1/3)(2a+2+4ab)$. Biểu thức này chứa số hạng $4ab$ (tức ${\log }_{3}5$) nên không thể viết dưới dạng $xa+yb+z$ với $x,y,z$ nguyên sao cho khẳng định $x+y+z=4$ đúng → Sai.
d) ${\log }_{2}5=4b$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}5={\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}5=a\cdot 4b=4ab$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{3}12=2{\log }_{3}2+1=2a+1$, không bằng $2+a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{27}180=(2a+2+4ab)/3$ chứa số hạng $4ab$ nên không viết được dưới dạng $xa+yb+z$ với $x,y,z$ nguyên thỏa $x+y+z=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}5={\log }_{16}5/{\log }_{16}2=b/(1/4)=4b$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $y=a^x$ tăng nhanh hơn nên $a>b>1$. Đường thẳng $y=k$ cắt trục tung tại $H(0;k)$, cắt đồ thị $y=a^x$ tại $M(x_M;k)$ và $y=b^x$ tại $N(x_N;k)$. Vì $M$ nằm giữa $H$ và $N$ và $HM=MN$ nên $x_M=k$... chính xác hơn: hoành độ $x_M={\log }_{a}k$, $x_N={\log }_{b}k$, và $x_N=2x_M$ (do $HM=MN$ với $H$ có hoành độ 0). Suy ra ${\log }_{b}k=2{\log }_{a}k$. Đặt $x={\log }_{a}k$, khi đó $k=a^x$ và $k=b^{2x}$ nên $a^x=b^{2x}\Rightarrow a=b^2$. Thay vào $a^2+b^2=20$: $b^4+b^2=20$. Đặt $t=b^2>1$: $t^2+t-20=0\Rightarrow t=4$ (nhận $t>1$). Vậy $b^2=4$, $a=b^2=4$, do đó $a^4=4^4=256$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (256).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y={\log }_3\left(x^2-2mx+6m-5\right)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$
Hàm số xác định khi $x^2-2mx+6m-5>0$.
Để hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}$ thì $x^2-2mx+6m-5>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1>0\\ m^2-6m+5<0\end{array}\iff 1<m<5$.
Vậy $m\in (1;5)$.

b) $A=\mathrm{100.000.000},r=0,8\%,n=24$.
$m=\frac{\mathrm{100.000.000}\cdot 0,008\cdot (1,008{)}^{24}}{(1,008{)}^{24}-1}\approx \mathrm{4.596.000}$ đồng.
Đáp số: 4596 (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi cơ số $a>1$. Xét các phương án: A có $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707<1$ nên nghịch biến; B có $\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến; C có $0,2<1$ nên nghịch biến; D có $\pi \approx 3,14>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x+5)$ xác định khi và chỉ khi $x+5>0$, tức $x>-5$. Vậy tập xác định là $(-5;+\infty )$. Khớp với đáp án B trong bảng tra mã đề 1102.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x-4)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương: $x-4>0\iff x>4$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(4;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án B trong đề và với bảng đáp án mã đề 1101 (Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm của một tích: với $a,b,c>0$, $a\ne 1$, ta có ${\log }_a(b.c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Đáp án trùng với phiếu đáp án (Câu 10, mã đề 1101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $a>b>1$ và $m>1$. Đường thẳng $y=m$ cắt trục tung tại $H(0;m)$, cắt đồ thị $y=a^x$ tại $M({\log }_{a}m;m)$ và $y=b^x$ tại $N({\log }_{b}m;m)$. Vì $a>b>1$ nên ${\log }_{a}m<{\log }_{b}m$, do đó $HM={\log }_{a}m$ và $MN={\log }_{b}m-{\log }_{a}m$. Điều kiện $HM=2MN$ cho ${\log }_{a}m=2({\log }_{b}m-{\log }_{a}m)\Rightarrow 3{\log }_{a}m=2{\log }_{b}m\Rightarrow \frac{3}{\ln a}=\frac{2}{\ln b}\Rightarrow 3\ln b=2\ln a$. Kết hợp $a=2b$: $3\ln b=2\ln (2b)=2\ln 2+2\ln b\Rightarrow \ln b=2\ln 2\Rightarrow b=4$, suy ra $a=8$. Vậy $S=a^2+b^2=64+16=80$, khớp với đáp án nguồn (80).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số $y={\log }_3\left(x^2-2mx+3m-2\right)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$
Hàm số xác định khi $x^2-2mx+3m-2>0$.
Để hàm số có tập xác định $D=\mathbb{R}$ thì $x^2-2mx+3m-2>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1>0\\ m^2-3m+2<0\end{array}\iff 1<m<2$.
Vậy $m\in (1;2)$.

b) Đặt $r=3,5\%$ là lãi suất hàng tháng.
Gọi số tiền bác Minh phải trả góp cho cửa hàng mỗi tháng là $m$ đồng.
Số tiền vay là $A=11500000$ đồng.
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 1: $T_1=A+Ar-m=A(1+r)-m$
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 2 là: $T_2=T_1+T_{1}r-m=T_1(1+r)-m=A(1+r{)}^2-m(1+r+1)$
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 3 là: $T_3=T_2+T_{2}r-m=T_2(1+r)-m=A(1+r{)}^3-m\left((1+r{)}^2+(1+r)+1\right)$
Số tiền bác Minh còn nợ sau tháng thứ 12: $T_{12}=T_{11}+T_{11}r-m=T_{11}(1+r)-m=A(1+r{)}^{12}-m\left((1+r{)}^{11}+(1+r{)}^{10}+...+(1+r)+1\right)$
$=A(1+r{)}^{12}-m\frac{(1+r{)}^{12}-1}{(1+r)-1}$
Bác Minh trả đúng 12 tháng thì hết nợ nên: $T_{12}=0\iff m=\frac{A(1+r{)}^{12}r}{(1+r{)}^{12}-1}\approx 1190065$ đồng $\approx 1190$ (nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_a{a}^8=8{\log }_{a}a=8\cdot 1=8$ (với $a>0$, $a\ne 1$). Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=9^x$ có cơ số $a=9>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó A, B, C sai và D đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(\frac{1}{2},-1)$ và là đường cong tăng dần, xác định trên $(0,+\infty )$, nên đó là đồ thị hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1. Kiểm tra: $y={\log }_{2}x$ tại $x=\frac{1}{2}$ cho $y={\log }_2\frac{1}{2}=-1$ (khớp điểm trên đồ thị), đồng thời hàm đồng biến. Hàm $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến nên loại; $y=(\frac{1}{2}{)}^x$ xác định trên $\mathbb{R}$ và nghịch biến nên loại; $y=x^2$ là parabol nên loại. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\log }_{2}x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 5: B).