Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ nằm ở nửa mặt phẳng $x>0$, đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến, tiến lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$ và tiến xuống $-\infty$ khi $x\to 0^{+}$. Đó là đặc điểm của hàm số logarit $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Trong các phương án, chỉ có $y={\log }_{2}x$ thỏa mãn ($y={\log }_{1/2}x$ nghịch biến; $y=2^x$ và $y=\frac{1}{2^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong nằm phía trên trục hoành, đi qua điểm $(0;1)$, giảm dần từ trái sang phải và tiệm cận ngang với trục hoành khi $x\to +\infty$ — đây là đặc trưng của hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Loại C, D vì hàm logarit có tập xác định $(0;+\infty )$ và đi qua điểm $(1;0)$, không phù hợp đồ thị. Loại B vì $y=(\sqrt{2}{)}^x$ với cơ số $\sqrt{2}>1$ là hàm đồng biến. Vậy đồ thị là của $y=(0,4{)}^x$ với $0<0,4<1$ (nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đi qua $(0;1)$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ nghịch biến. Theo hình vẽ, giá trị hàm số thuộc $(1;9)$ khi $1<{\left(\frac{1}{3}\right)}^x<9$, tức $3^0<3^{-x}<3^2$, suy ra $0<-x<2$, tức $x\in (-2;0)$. Vậy $m=-2$, $n=0$. Khi đó $A=2021+m^2+mn=2021+4+0=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a,b>0$: $\log (a^3{b}^2)=\log a^3+\log b^2=3\log a+2\log b$. Đáp án khớp với mã đề 211: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_5{a}^3=3{\log }_{5}a$ với mọi $a>0$. Đáp án trùng với mã đề 211, câu 12 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét các phương án: A. $y={\log }_{5}x$ là hàm số lôgarit; B. $y=\ln x$ cũng là hàm lôgarit cơ số $e$; C. $y=5^x$ có dạng $a^x$ với $a=5>0$, $a\ne 1$ nên là hàm số mũ; D. $y=x^{-5}=\frac{1}{x^5}$ là hàm số lũy thừa (biến số ở cơ số). Vậy hàm số mũ là $y=5^x$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 211, câu 7).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{a}M=\alpha$ (với $a>0$, $a\ne 1$, $M>0$) khi và chỉ khi $a^{\alpha }=M$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 211, câu 9: B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $M>0$, ta có ${\log }_{a}M=\alpha \iff a^{\alpha }=M$. Do đó đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$. Trong các phương án: $y={\log }_{5}x$ và $y=\ln x$ là hàm số logarit; $y=x^{-5}$ là hàm số lũy thừa; chỉ có $y=5^x$ là hàm số mũ. Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 111 (Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: với $a>0$, ${\log }_5{a}^3=3{\log }_{5}a$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV). Hàm số $y={\log }_3(x+1)-{\log }_3(x^2-1)$.

a) Tại $x=2$: $y={\log }_3(2+1)-{\log }_3(2^2-1)={\log }_{3}3-{\log }_{3}3=1-1=0$.

b) Tập xác định: yêu cầu $x+1>0$ và $x^2-1>0$, tức $x>-1$ và $x^2>1\iff x>1$ (do $x>-1$ nên loại $x<-1$). Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(2x-1)-{\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)$.

a) Tại $x=5$: $y={\log }_3(2\cdot 5-1)-{\log }_{\frac{1}{3}}(5-2)={\log }_{3}9-{\log }_{\frac{1}{3}}3=2-(-1)=3$.

b) Tập xác định: cần $2x-1>0$ và $x-2>0$, tức $x>\frac{1}{2}$ và $x>2$, suy ra $x>2$. Vậy tập xác định là $D=(2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0,a\ne 1,b>0$, ta có ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$. Do đó khẳng định đúng là phương án B. Các phương án A, C, D đều sai vì viết sai vị trí các số trong đẳng thức mũ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$; $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $b>1$. Vậy $0<a<1<b$, đáp án A (khớp đáp án nguồn mã đề 112).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mọi hàm $y={\log }_{t}x$ đều đi qua $(1;0)$. b) Sai: từ đồ thị $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$. c) Đúng: $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a,b>1$; với $x>1$ đồ thị $y={\log }_{a}x$ nằm trên $y={\log }_{b}x$ nên $a<b$; $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$. d) Đúng: với $x=k>1$, $AM={\log }_{a}k>0$, $AN={\log }_{c}k<0$ nên $AM=2AN\iff {\log }_{a}k=-2{\log }_{c}k\iff \frac{\ln k}{\ln a}=\frac{-2\ln k}{\ln c}\iff \ln c=-2\ln a\iff c=a^{-2}\iff a\sqrt{c}=1$. Khớp đáp án mã đề 112: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_{t}1=0$ với mọi cơ số $t>0$, $t\ne 1$, nên cả ba đồ thị đều đi qua $I(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y={\log }_{a}x$ đồng biến nên $a>1$; hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a,b>1$; với $x>1$, ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x$ nên $a<b$. Đường $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=k>1$: $AM={\log }_{a}k$, $AN={\log }_{c}k<0$. Điều kiện $AM=2AN$ (theo độ dài, $AM=2|AN|$) cho $\frac{\ln k}{\ln a}=-\frac{2\ln k}{\ln c}\Rightarrow \ln c=-2\ln a\Rightarrow c=a^{-2}\Rightarrow a\sqrt{c}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a\left(\frac{1}{a^3}\right)={\log }_a{a}^{-3}=-3$ và ${\log }_a\left(a\sqrt{a}\right)={\log }_a{a}^{3/2}=\frac{3}{2}$. Do đó $T=-3+20\cdot \frac{3}{2}=-3+30=27$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (27).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{a}1=0$ và ${\log }_{a}a=1$, nên khẳng định ở phương án A (${\log }_{a}1=a$ và ${\log }_{a}a=0$) là sai. Các phương án B, C, D đều là các tính chất đúng của lôgarit với $0<a\ne 1$, $x>0$, $y>0$: ${\log }_a{x}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}x$, ${\log }_{a}xy={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$, ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong đồng biến, chỉ xác định với $x>0$, có tiệm cận dọc là trục $Oy$, và đi qua điểm $(2;1)$ (theo đường chấm trong hình). Loại A vì $y=x-1$ là đường thẳng; loại C vì $y=2^x$ xác định với mọi $x$ và đi qua $(0;1)$; loại D vì $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến. Với $y={\log }_{2}x$: ${\log }_{2}2=1$ khớp điểm $(2;1)$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình có tập xác định $(0;+\infty )$, đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến, tăng chậm dần — đây là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ với cơ số $a>1$. Loại A và C vì $y=e^{-x}$ và $y=e^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$, đi qua điểm $(0;1)$. Loại B vì $y={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến. Hàm $y={\log }_{\sqrt{7}}x$ có $\sqrt{7}>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$, phù hợp với hình vẽ. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a>1,b>1$; $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$.
a) Vì ${\log }_{a}1={\log }_{b}1={\log }_{c}1=0$ nên cả ba đồ thị đều đi qua $I(1;0)$ → Đúng.
b) $y={\log }_{b}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi $b>1$; từ đồ thị $b>1$ → Đúng.
c) Khẳng định $0<a<b<1<c$ sai vì thực tế $a>1,b>1,0<c<1$ (đúng là $0<c<1<a<b$) → Sai.
d) Với $x=k>1$: $AM={\log }_{a}k=\frac{\ln k}{\ln a}$, $AN={\log }_{b}k=\frac{\ln k}{\ln b}$. $AM=2AN\Rightarrow \ln b=2\ln a\Rightarrow b=a^2$. Khi đó $a\sqrt{b}=a\cdot a=a^2\ne 1$ vì $a>1$ → Sai. Khớp đáp án mã đề 111: Đ, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{a}1={\log }_{b}1={\log }_{c}1=0$ nên cả ba đồ thị đi qua $I(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $b>1$, do đó hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $a>1,b>1,0<c<1$, nên khẳng định $0<a<b<1<c$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AM={\log }_{a}k$, $AN={\log }_{b}k$. $AM=2AN\Rightarrow \ln b=2\ln a\Rightarrow b=a^2$. Suy ra $a\sqrt{b}=a^2\ne 1$ vì $a>1$.