Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_8(7x+5)$ xác định khi và chỉ khi $7x+5>0$, tức $x>-\frac{5}{7}$. Vậy tập xác định là $D=\left(-\frac{5}{7};+\infty \right)$, tương ứng với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ nghịch biến, đi qua điểm $(0;1)$ và tại $x=1$ có $y=\frac{1}{5}$ (theo đường đứt nét trên hình). Trong các đáp án: A và C là hàm mũ đồng biến (cơ số lớn hơn 1), B là hàm đa thức lẻ, chỉ có $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ với cơ số $0<\frac{1}{5}<1$ là nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $y(1)=\frac{1}{5}$ khớp với đồ thị. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(6;1)$ và có dạng đường logarit đồng biến (xác định trên $(0;+\infty )$, tăng dần, cắt trục hoành tại $x=1$). Trong các đáp án, chỉ có $y={\log }_{6}x$ thỏa mãn vì ${\log }_{6}6=1$. Các hàm $y=6^x$ và $y={\sqrt{6}}^x$ là hàm mũ (xác định trên $\mathbb{R}$), còn $y={\log }_{\frac{1}{6}}x$ nghịch biến. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình có tập xác định $(0;+\infty )$, đi qua điểm $(3;1)$ và tăng trên $(0;+\infty )$, nên là đồ thị hàm số $y={\log }_{3}x$ vì ${\log }_{3}3=1$. Các phương án khác không thỏa: $y={\log }_{1/3}x$ nghịch biến; $y=3^x$ và $y=(\sqrt{3}{)}^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 16 là đường cong nằm hoàn toàn về phía phải trục $Oy$ (tập xác định $x>0$), đi qua điểm $(1;0)$ và nghịch biến, tiệm cận trục $Oy$ khi $x\to 0^{+}$. Đó là đặc điểm của hàm logarit với cơ số thuộc $(0;1)$, tức $y={\log }_{\frac{1}{7}}x$. Loại các phương án khác: $y=7^x$ và $y=(\sqrt{7}{)}^x$ là hàm mũ đồng biến trên $\mathbb{R}$, đi qua $(0;1)$; $y={\log }_{7}x$ là hàm logarit đồng biến. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=46^x$ có cơ số $46>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó A, B, C sai và D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x={\log }_{a}b$ (với $a>b>0$ thì $x<0$ nhưng các phép biến đổi vẫn hợp lệ).
a) ${\log }_{a^{15}}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^{15}}=\frac{x}{15}$, không bằng $15{\log }_{a}b$ → Sai.
b) $\log (a^{15}b)=\log a^{15}+\log b=15\log a+\log b$ → Đúng.
c) ${\log }_a{b}^4=4x$; ${\log }_{a^6}{b}^2=\frac{2x}{6}=\frac{x}{3}$. Hiệu $4x-\frac{x}{3}=\frac{11x}{3}=\frac{11}{3}{\log }_{a}b$ → Đúng.
d) Từ $a^2+b^2=10ab$ suy ra $(a-b{)}^2=a^2+b^2-2ab=8ab$. Vì $a>b$ nên $a-b>0$, do đó ${\log }_8(a-b)=\frac{1}{2}{\log }_8(8ab)=\frac{1}{2}\left(1+{\log }_{8}a+{\log }_{8}b\right)$, khác $8+{\log }_{8}a+{\log }_{8}b$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{a^{15}}b=\frac{1}{15}{\log }_{a}b$, không phải $15{\log }_{a}b$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\log (a^{15}b)=15\log a+\log b$ theo tính chất logarit của tích và lũy thừa.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a{b}^4-{\log }_{a^6}{b}^2=4{\log }_{a}b-\frac{2}{6}{\log }_{a}b=\frac{11}{3}{\log }_{a}b$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(a-b{)}^2=8ab$ nên ${\log }_8(a-b)=\frac{1}{2}(1+{\log }_{8}a+{\log }_{8}b)$, không bằng $8+{\log }_{8}a+{\log }_{8}b$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: log là phép nhân chia, không có log(a−b) = log a − log b; ví dụ b=50 thì log₂50 − log₂25 = log₂2 ≠ log₂25. b) Đúng: log₃(9b) = log₃9 + log₃b = 2 + log₃b. c) Đúng: log₄b = (1/2)log₂b và (log₃b)/(log₃2) = log₂b, nên vế trái = (1/2)log₂b + 8log₂b = (17/2)log₂b. d) Sai: 1/log_k b = log_b k với k = 9,10,...,110, tổng = log_b(9·10·...·110) = log_b(110!/8!), không phải log_b(110!/9!).
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì log₂b − log₂25 = log₂(b/25), không phải log₂(b−25); đồng thời b−25 có thể âm nên log₂(b−25) không xác định với mọi b>0, b≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: log₃(9b) = log₃9 + log₃b = 2 + log₃b.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: log₄b = ½log₂b; theo công thức đổi cơ số (log₃b)/(log₃2) = log₂b. Vế trái = ½log₂b + 8log₂b = (17/2)log₂b.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: mỗi số hạng 1/log_k b = log_b k, tổng từ k=9 đến 110 là log_b(9·10·...·110) = log_b(110!/8!), còn đề ghi 110!/9! nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y={\log }_{a}x$ nghịch biến nên $0<a<1$. a) Hàm nghịch biến trên toàn tập xác định nên trên $(7;+\infty )$ cũng nghịch biến → đúng. b) Tập giá trị của hàm logarit là $\mathbb{R}$ → đúng. c) Nếu đồ thị đi qua $(3;343)$ thì ${\log }_{a}3=343$, suy ra $a=3^{1/343}>1$, mâu thuẫn với $0<a<1$ (và với $a<1$ thì ${\log }_{a}3<0$) → sai. d) Hàm logarit liên tục trên tập xác định $(0;+\infty )$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị nghịch biến nên $0<a<1$; hàm logarit nghịch biến trên toàn tập xác định, do đó nghịch biến trên $(7;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y={\log }_{a}x$ là $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{a}3=343\Rightarrow a=3^{1/343}>1$, trái với $0<a<1$; hơn nữa với $0<a<1$ thì ${\log }_{a}3<0$ nên không thể bằng 343.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit liên tục trên tập xác định $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit cơ bản: ${\log }_a{a}^x=x$ với mọi $a>0$, $a\ne 1$. Do đó ${\log }_a{a}^{16}=16$. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn năm 2023 làm mốc, dân số năm 2036 ứng với $t=2036-2023=13$, với $A=96$ (triệu người) và $r=0,0135$. Theo công thức $S=A\cdot e^{rt}$: $S=96\cdot e^{0,0135\cdot 13}=96\cdot e^{0,1755}\approx 96\cdot 1,19187\approx 114,42$ triệu người. Vậy dân số khu vực năm 2036 ước khoảng $114,42$ triệu người (làm tròn $\approx 114$ triệu người).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a\frac{1}{a^{17}}={\log }_a{a}^{-17}=-17$. Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức A, B, C đều là các tính chất đúng của lô-ga-rit (tích, thương, lũy thừa). Công thức D sai vì theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, không phải $-{\log }_{b}a$. Ví dụ với $a=2,b=8$: ${\log }_{2}8=3$ còn $-{\log }_{8}2=-\frac{1}{3}$, hai giá trị khác nhau. Vậy công thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến, tập xác định $D=(0;+\infty )$, đồ thị đi qua điểm $(1;0)$ và nằm về phía phải trục tung, giảm dần — đúng như hình vẽ trong đề. a) Sai vì tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. b) Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ (không đồng biến, và không nói 'trên R' được). c) Đúng vì đồ thị hàm ${\log }_{0,5}x$ giảm dần, qua $(1;0)$, tiệm cận dọc trục $Oy$ — khớp hình bên. d) $f(x)\ge -2\iff {\log }_{0,5}x\ge -2$. Vì cơ số $0,5<1$: $x\le (0,5{)}^{-2}=4$, kết hợp $x>0$ nên tập nghiệm là $(0;4]$, không phải $[4;+\infty )$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0,5<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y={\log }_{0,5}x$ giảm dần, đi qua $(1;0)$, tiệm cận dọc là trục $Oy$, nằm bên phải trục $Oy$ — đúng như hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}x\ge -2\iff x\le (0,5{)}^{-2}=4$ và $x>0$, nên tập nghiệm là $(0;4]$, không phải $[4;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_5(5a)={\log }_{5}5+{\log }_{5}a=1+{\log }_{5}a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_4(4a)={\log }_{4}4+{\log }_{4}a=1+{\log }_{4}a$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: $a^x=b$ (với $a>0,a\ne 1,b>0$) tương đương với $x={\log }_{a}b$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số logarit có dạng $y={\log }_{a}x$ với $a>0$, $a\ne 1$. Xét các phương án: A. $y={\log }_{3}2x={\log }_{3}2+{\log }_{3}x$ là hàm logarit (dạng ${\log }_{3}x$ cộng hằng số). B. $y={\log }_{\sqrt{5}}x$ với $\sqrt{5}>0$, $\sqrt{5}\ne 1$ là hàm logarit. C. $y=-{\log }_{\frac{2}{5}}x$ là hàm logarit nhân với $-1$, vẫn là hàm logarit. D. $y=x{\log }_{5}7=({\log }_{5}7)x$ là hàm số bậc nhất (hàm tuyến tính) vì ${\log }_{5}7$ chỉ là một hằng số, không phải hàm logarit. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x-1)$ xác định khi $x-1>0$, tức $x>1$. Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty )$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y={\left(\frac{e}{3}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $0<\frac{e}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến nhưng chỉ trên tập xác định $(0;+\infty )$, không phải trên $\mathbb{R}$. C) $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ với cơ số $\frac{3}{2}>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y={\log }_{3}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $y={\left(\frac{e}{3}\right)}^x$.