Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=3^x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ luôn nhận giá trị dương, tức $3^x>0$, và mọi giá trị dương đều đạt được. Vậy tập giá trị là $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=3^x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ luôn nhận giá trị dương, và mọi giá trị $y>0$ đều đạt được (vì $x={\log }_{3}y$). Vậy tập giá trị là $(0;+\infty )$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{3}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $(0;+\infty )$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2^x$ với cơ số $2>0$, $2\ne 1$ xác định với mọi số thực $x$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $(0;+\infty )$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a\ne 1$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và luôn nhận giá trị dương với mọi $x$; hơn nữa khi $x$ chạy khắp $\mathbb{R}$ thì $a^x$ chạy khắp các giá trị dương (ví dụ $a^0=1$, $a^x\to 0$ khi $x\to -\infty$ nếu $a>1$). Vậy tập giá trị là $(0;+\infty )$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=5^x$ là hàm số mũ với cơ số $5>0$. Hàm số mũ $y=a^x$ với $a>0,a\ne 1$ xác định với mọi số thực $x$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_2\left(\frac{8}{a}\right)={\log }_{2}8-{\log }_{2}a=3-{\log }_{2}a$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(2x+5)$ có tập xác định $D=(-\frac{5}{2};+\infty )$. a) Hàm số đồng biến trên toàn tập xác định, mà $(-1;+\infty )\subset D$ nên đồng biến trên $(-1;+\infty )$: Đúng. b) Gọi $A(a,{\log }_2(2a+5))$, $B(-a,{\log }_2(5-2a))$ với $a>0$. Vì $O$ là trung điểm $AB$: ${\log }_2(2a+5)+{\log }_2(5-2a)=0\Rightarrow (2a+5)(5-2a)=1\Rightarrow 25-4a^2=1\Rightarrow a^2=6$. Khi đó $y_A={\log }_2(5+2\sqrt{6})={\log }_2(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2=2{\log }_2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\approx 2\cdot 1,6537\approx 3,3074$. Độ dài $AB=2\sqrt{a^2+y_A^2}=2\sqrt{6+4{\log }_2^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\approx 2\sqrt{16,939}\approx 8,23\approx 8,2$: Đúng. c) Tập xác định $(-\frac{5}{2};+\infty )$ chỉ chứa 2 số nguyên âm là $-2$ và $-1$, không phải 3: Sai. d) Với $x=-\frac{3}{2}$: $y={\log }_2(2\cdot (-\frac{3}{2})+5)={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(-\frac{3}{2};1)$: Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1103: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $(-\frac{5}{2};+\infty )$; hàm ${\log }_2(2x+5)$ đồng biến trên toàn tập xác định nên đồng biến trên $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện trung điểm cho $(2a+5)(5-2a)=1\Rightarrow a^2=6$; $AB=2\sqrt{6+4{\log }_2^2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\approx 8,23\approx 8,2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $(-\frac{5}{2};+\infty )$ chứa đúng 2 số nguyên âm: $-2,-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(-\frac{3}{2})={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(-\frac{3}{2};1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{12}\left(\frac{250}{81}\right)=\frac{{\log }_{2}250}{{\log }_{2}12}$. Mặt khác $250=2\cdot 5^3$ nên ${\log }_{2}250=1+3{\log }_{2}5=3x+1$; và $12=2\cdot 6$ nên ${\log }_{2}12=1+{\log }_{2}6=y+1$. Vậy ${\log }_{12}\left(\frac{250}{81}\right)=\frac{3x+0\cdot y+1}{0\cdot x+1\cdot y+1}$, tức $a=3,b=0,c=1,m=0,n=1,p=1$. Do đó $T=a+b+c+m+n+p=3+0+1+0+1+1=6$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{3}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$ nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Hàm $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Hàm $y={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ có cơ số $\frac{3}{2}>1$ nên đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1103, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_a{a}^x=x$ (đúng), ${\log }_{a}a=1$ (đúng), ${\log }_{a}1=0$ (đúng). Khẳng định C sai vì $x^{{\log }_{a}x}$ nói chung không bằng $x$ (ví dụ $a=2,x=4$: $4^{{\log }_{2}4}=4^2=16\ne 4$). Đáp án trùng với mã đề 1145: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ (B đúng), ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ (D đúng), $a^{{\log }_{a}b}=b$ (C đúng). Mệnh đề A sai vì ${\log }_a(xy)\ne {\log }_{a}x\cdot {\log }_{a}y$ (tích các logarit không bằng logarit của tích). Ví dụ: $a=2,x=y=2$ thì ${\log }_{2}4=2$ nhưng ${\log }_{2}2\cdot {\log }_{2}2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng hai logarit cùng cơ số: ${\log }_{2}3+{\log }_{2}a={\log }_2(3a)$ với $a>0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ thì ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét các phương án: A. $y=e^{-x}={\left(\frac{1}{e}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\frac{1}{e}\in (0;1)$. B. $y=x^{10}$ có biến số $x$ ở cơ số, đây là hàm số lũy thừa (đa thức), không phải hàm số mũ. C. $y=2026^x$ là hàm số mũ với cơ số $2026>1$. D. $y=\frac{1}{3^x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\frac{1}{3}\in (0;1)$. Vậy hàm số không phải hàm số mũ là $y=x^{10}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số logarit có dạng $y={\log }_{a}x$ với $a>0$, $a\ne 1$. Các hàm $y=\log x$, $y={\log }_{\sqrt{3}}x$, $y=\ln x$ đều là hàm số logarit. Hàm $y=(x+3)\ln 2$ là hàm bậc nhất (vì $\ln 2$ là hằng số), không phải hàm số logarit.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_7(x-3)$ xác định khi $x-3>0$, tức $x>3$. Vậy $D=(3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=a^x$ và $y=b^x$ đều là hàm số tăng nên $a>1,b>1$. Trong hai đường này, đường $y=a^x$ dốc hơn (tăng nhanh hơn) đường $y=b^x$ nên với $x>1$ ta có $a^x>b^x$, suy ra $a>b>1$. Đường $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $c<b<a$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $375=3\cdot 5^3$ nên ${\log }_{5}375=b+3$. Và $25000=25\cdot 1000=5^2\cdot 2^3\cdot 5^3=2^3\cdot 5^5$ nên ${\log }_{5}25000=3a+5$. Do đó $P={\log }_{25000}375=\frac{{\log }_{5}375}{{\log }_{5}25000}=\frac{b+3}{3a+5}$. Vậy đáp án B.