Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit, với $a>0$, $a\ne 1$ ta có ${\log }_{a}a=1$ vì $a^1=a$. Vậy khẳng định đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: P = log((d+1)/d).
a) Khi d=3: P = log(4/3) = log4 − log3, nên P = log4 − log3, không phải P > log4 − log3 → sai.
b) Khi d=1: P = log(2/1) = log2 → đúng.
c) P = log(d+1) − log d theo tính chất log của thương → đúng.
d) log((d+1)/d) > log(4/d) ⟺ (d+1)/d > 4/d ⟺ d+1 > 4 ⟺ d > 3. Các chữ số nguyên dương d ≤ 9 thỏa mãn: 4,5,6,7,8,9 — có 6 chữ số, không phải 5 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi d=3 thì P = log(4/3) = log4 − log3, tức P bằng chứ không lớn hơn log4 − log3.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = log((1+1)/1) = log2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của thương: log((d+1)/d) = log(d+1) − log d.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương d+1 > 4 ⟺ d > 3, nên d ∈ {4,5,6,7,8,9}: có 6 chữ số, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. Hàm số $y=a^x$ với đồ thị đi qua điểm $(1;3)$ và tăng dần.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$. Vì $a>0$ nên $a^x>0$ với mọi $x$, do đó tập giá trị là $\left(0;+\infty \right)$.

b) Trên đồ thị, khi $x$ tăng thì $y$ tăng (đường cong đi lên từ trái sang phải), nên hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ (tương ứng $a>1$).

c) Đồ thị đi qua điểm $(1;3)$, thay vào: $a^1=3\Rightarrow a=3$ (thỏa mãn $a>1$). Vậy $a=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa và logarit: đặt $x={\log }_a{a}^m$ thì $a^x=a^m$, vì $a>0$, $a\ne 1$ nên hàm số $a^t$ đơn điệu, suy ra $x=m$. Vậy ${\log }_a{a}^m=m$, khẳng định đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số logarit: ${\log }_{a}b=\frac{\log b}{\log a}$ (với $a,b>0$, $a\ne 1$). Vậy khẳng định đúng là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log x^4$ xác định khi $x^4>0$, tức $x\ne 0$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$, trùng với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 1106, câu 6 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log x^4$ xác định khi $x^4>0$, tức là $x\ne 0$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm số mũ $y=a^x$ đi qua điểm $(0;1)$ và đồng biến (tăng dần từ trái sang phải), nên cơ số $a>1$. Kiểm tra các phương án: $\sqrt{2}-1\approx 0,414<1$; $\frac{e}{\pi }\approx \frac{2,718}{3,141}\approx 0,865<1$; $0,3<1$; còn $\sqrt{2}+1\approx 2,414>1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\left(\sqrt{2}+1\right)}^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_3(27a)-{\log }_{3}a={\log }_{3}27+{\log }_{3}a-{\log }_{3}a={\log }_3{3}^3=3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_4(x-5)$ xác định khi $x-5>0$, tức $x>5$. Vậy tập xác định là $(5;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_4(a^4)=4{\log }_{4}a=20$ và ${\log }_4(a^2)=2{\log }_{4}a=10$. Vậy $P=20-10=10$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,x,y>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x$, trong khi $\frac{1}{{\log }_{a}x}$ là giá trị khác. Ví dụ $a=2,x=2$: ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$ nhưng $\frac{1}{{\log }_{2}2}=1$. Vậy mệnh đề A sai.
- B: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ là tính chất đúng của lôgarit.
- C: ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}x=\frac{\ln a}{\ln b}\cdot \frac{\ln x}{\ln a}=\frac{\ln x}{\ln b}={\log }_{b}x$, đúng.
- D: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ là tính chất đúng của lôgarit.
Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $D=(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với $a>0,a\ne 1,b>0,m\ne 0$: A sai vì ${\log }_{a}1=0$. B sai vì ${\log }_a(a^m)=m$. C đúng theo định nghĩa logarit: đặt ${\log }_{a}b=c$ thì $a^c=b$, tức $a^{{\log }_{a}b}=b$. D sai vì ${\log }_{a}a=1$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=2^x$ với cơ số $2>1$. a) Tập xác định của hàm số mũ là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$, nên ý a) sai. b) Vì $2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến, ý b) sai. c) Cắt trục tung tại $x=0$: $f(0)=2^0=1$, nên giao điểm là $A(0;1)$, ý c) đúng. d) Vì $2^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm số mũ $y=2^x$ là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $f(0)=2^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $A(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $2^x>0$ với mọi $x$ nên đồ thị nằm phía trên trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2026\ln (x+3)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương: $x+3>0\iff x>-3$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=(-3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ phải là hàm số mũ với cơ số $0<a<1$ (hàm logarit $y={\log }_{3}x$, $y={\log }_{\frac{1}{4}}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$ nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$; $y=2026^x$ với cơ số $2026>1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$). Hàm $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x=m>1$: $M(m;{\log }_{3}m)$ nằm trên nửa trục dương (vì ${\log }_{3}m>0$), còn $N(m;{\log }_{a}m)$ với $0<a<1$ nên ${\log }_{a}m<0$, tức $N$ nằm dưới trục hoành (phù hợp hình vẽ). Do đó $AM={\log }_{3}m$ và $AN=-{\log }_{a}m$. Điều kiện $AM=2AN$ với mọi $m>1$: ${\log }_{3}m=-2{\log }_{a}m$, tức $\frac{\ln m}{\ln 3}=-2\frac{\ln m}{\ln a}$. Vì $\ln m\ne 0$ nên $\frac{1}{\ln 3}=\frac{-2}{\ln a}\Rightarrow \ln a=-2\ln 3=\ln \frac{1}{9}\Rightarrow a=\frac{1}{9}$ (thỏa $0<a<1$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: $\log (a{b}^2)=\log a+\log b^2=\log a+2\log b$ (với $a,b>0$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên R phải là hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$ (hàm logarit không xác định trên toàn R). Vì $e\approx 2,718<\pi \approx 3,1416$ nên $0<\frac{e}{\pi }<1$, do đó $y={\left(\frac{e}{\pi }\right)}^x$ nghịch biến trên R. Các đáp án A, B là hàm logarit chỉ xác định trên $(0;+\infty )$; đáp án C có cơ số $\frac{\pi }{e}>1$ nên đồng biến trên R.